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2006年四川高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则集合＝
（A） （B） （C） （D）
2.复数的虚部为
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2.
3.已知下面结论正确的是
（A）f(x)在x=1处连续 （B）f(1)＝5 （C） （D）
4.已知二面角的大小为，
（A） （B） （C） （D）
5.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
6.已知两定点如果动点P满足条件则点P的轨迹所包围的图形的面积等于
（A） （B） （C） （D）
7.如图,已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是
（A） （B） （C） （D）
8.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为元。月初一次性购进本月用原料A、B各千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为
（A） （B） （C） （D）
9.直线ｙ＝ｘ－3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q　，则梯形APQB的面积为
（A）48 （B）56 （C）64 （D）72.
10.已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是
（A） （B） （C） （D）
11.设分别为的三内角所对的边，则是的
（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件12.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被３整除的概率为　
（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。
14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的数学期望Eξ＝3，则ａ＋ｂ＝______________。
15.如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．
16.非空集合G关于运算满足：（1）对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：
①G＝｛非负整数｝，为整数的加法。
②G＝｛偶数｝，为整数的乘法。
③G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。
④G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。
⑤G＝｛虚数｝，为复数的乘法。
其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号）

三.解答题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知A、B、C是三内角，向量
且
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若

18．（本小题满分12分）
某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。

19．（本小题满分12分）
如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,
M、N分别是AE、的中点,
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。

20．（本小题满分12分）
已知数列，其中记数列的
前n项和为数列的前n项和为
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)设（其中为的导函数），
计算

21．（本小题满分12分）
已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。如果且曲线E上存在点C，使求。

22．（本小题满分14分）
已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，。

2006年四川高考理科数学真题参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
B
D
B
A
C
A
C
A
B
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。
（13）；（14）；（15）；（16）①，③
三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。
解：（Ⅰ）∵∴即
,
∵∴∴
（Ⅱ）由题知，整理得
∴∴
∴或
而使，舍去∴
∴
（18）（本大题满分12分）
本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件
解法1：

解法2：

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件

所以，这三人该课程考核都合格的概率为
（19）（本大题满分12分）
本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分
解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵分别为的中点
∵
∴面，面
∴面面∴面
（Ⅱ）设为的中点
∵为的中点∴∴面
作，交于，连结，则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角。
在中，，从而
在中，
故：二面角的大小为
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴
方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点
∴
（Ⅰ）
取，显然面
，∴
又面∴面
（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵
设，则
又
由，及在直线上，可得:
解得
∴∴即
∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为
（Ⅲ）设为平面的法向量，则
又
∴即∴可取
∴点到平面的距离为
∵，
∴
∴
（20）（本大题满分12分）
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。
解：（Ⅰ）由题意，是首项为，公差为的等差数列
前项和，

（Ⅱ）

（21）（本大题满分14分）
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。
解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知
故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵

依题意得整理后得
∴或但∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积
（22）（本大题满分14分）
本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，满分14分。
证明：（Ⅰ）由
得

而①
又
∴②
∵∴
∵∴③
由①、②、③得

即
（Ⅱ）证法一：由，得
∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设，则
令得，列表如下：

极小值

∴
∴对任意两个不相等的正数，恒有
证法二：由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设，
则，列表：

极小值

∴即
∴
即对任意两个不相等的正数，恒有