2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1.已知集合 A=x|x|1，xZ，则 AB=（）A.B.3，2，2，3）C.2，0，2 D.2，2【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.,A B【详解】因为，3,2,1,0,1,2Ax xxZ 或，1,1Bx xxZx x1,xxZ 所以.2,2AB 故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1i）4=（）A.4 B.4 C.4i D.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】.42 2222(1)(1)(1 2)(2)4iiiii 故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，a12.设 1ijb0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且22221xyab与 x 轴重直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|=|AB|43（1）求 C1的离心率；（2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程【答案】（1）；（2）：，：.121C2211612xy2C28yx【解析】【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出2C,A C点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；,A B C D4|3CDAB（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中1C(c,0)F2C24ycx.22cab不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，,A C1C22221xyab所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；xc222221cybyaba ,A B2ba2ba又因为抛物线的方程为，所以当时，有，2C24ycxxc242yc cyc 所以的纵坐标分别为，故，.,C D2c2c22|bABa|4CDc由得，即，解得（舍去），.4|3CDAB2843bca2322()ccaa2ca 12ca所以的离心率为.1C12（2）由（1）知，故，所以的四个顶点坐标分别为，2ac3bc22122:143xyCcc1C(2,0)c，的准线为.(2,0)c(0,3)c(0,3)c2Cxc 由已知得，即.312cccc 2c 所以的标准方程为，的标准方程为.1C2211612xy2C28yx【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F （1）证明：AA1/MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO=AB=6，AO/平面 EB1C1F，且MPN=，求四棱锥 BEB1C1F 的体积 3【答案】（1）证明见解析；（2）.24【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，根据条件可得，可证，要证平面,M NBC11BC1/MN CC11/AABB1MN AA/平面，只需证明平面即可；11EBC F1A AMNEF 1A AMN（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.1 1EB C FS四边形MPN1 1B EB C FV【详解】（1）分别为，的中点，,M NBC11BC 1/MN BB又 11/AABB 1/MN AA在等边中，为中点，则 ABCMBCBCAM又侧面为矩形，11BBC C 1BCBB 1/MN BB MNBC由，平面 MNAMM,MN AM 1A AMN平面 BC1A AMN又，且平面，平面，11/BCBC11BC ABCBC ABC平面 11/BCABC又平面，且平面平面 11BC 11EBC F11EBC F ABCEF 11/BCEF/EF BC又平面 BC 1A AMN平面 EF 1A AMN平面 EF 11EBC F平面平面 11EBC F1A AMN（2）过作垂线，交点为，MPNH画出图形，如图 平面/AO11EBC F平面，平面平面 AO 1A AMN1A AMN 11EBC FNP/AO NP又/NO AP 6AONP为的中心.O111A BC 1111sin606 sin60333ONAC 故：，则，3ONAP33 3AMAP平面平面，平面平面，11EBC F 1A AMN11EBC F 1A AMNNP平面 MH 1A AMN平面 MH 11EBC F又在等边中 ABCEFAPBCAM即 3623 3AP BCEFAM由（1）知，四边形为梯形 11EBC F四边形的面积为：11EBC F1 11126=62422EB C FEFBCSNP四边形，1 11 113B EB C FEB C FVSh四边形为到的距离，hMPN2 3 sin603MH.124 3243V 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数 f（x）=2lnx+1（1）若 f（x）2x+c，求 c 的取值范围；（2）设 a0 时，讨论函数 g（x）=的单调性()()f xf axa【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间 1c ()g x(0,)a(,)a【解析】【分析】（1）不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行()2f xxc()20f xxc求解即可；（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，()g x()g x()m x()m x()m x判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.()m x()g x()g x【详解】（1）函数的定义域为：()f x(0,)，()2()202ln120()f xxcf xxcxxc 设，则有，()2ln12(0)h xxxc x 22(1)()2xh xxx当时，单调递减，1x()0,()h xh x当时，单调递增，01x()0,()h xh x所以当时，函数有最大值，1x()h x即，max()(1)2ln1 1 2 11h xhcc 要想不等式在上恒成立，()(0,)只需；max()0101h xcc （2）且 2ln1(2ln1)2(lnln)()(0 xaxag xxxaxa)xa因此，设，22(lnln)()()xaxxxag xx xa()2(lnln)m xxaxxxa则有，()2(lnln)m xax当时，所以，单调递减，因此有，即 xalnlnxa()0m x()m x()()0m xm a，所以单调递减；()0g x()g x当时，所以，单调递增，因此有，即，所以0 xalnlnxa()0m x()m x()()0m xm a()0g x单调递减，()g x所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间.()g x(0,)a(,)a【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分答第一题评分 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1：（为参数），C2：（t 为参数）.224cos4sinxy，1,1xttytt （1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）；（2）.1:4Cxy222:4Cxy17cos5【解析】【分析】（1）分别消去参数和 即可得到所求普通方程；t（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标P方程.【详解】（1）由得的普通方程为：；22cossin11C4xy由得：，两式作差可得的普通方程为：.11xttytt 2222221212xttytt2C224xy（2）由得：，即；2244xyxy5232xy5 3,2 2P设所求圆圆心的直角坐标为，其中，,0a0a 则，解得：，所求圆的半径，22253022aa1710a 1710r 所求圆的直角坐标方程为：，即，22217171010 xy22175xyx所求圆的极坐标方程为.17cos5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数.2()|21|f xxaxa（1）当时，求不等式的解集；2a()4f x（2）若，求 a 的取值范围.()4f x【答案】（1）或；（2）.32x x112x,13,【解析】【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；3x 34x4x（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.21f xa【详解】（1）当时，.2a 43f xxx当时，解得：；3x 43724f xxxx 32x当时，无解；34x 4314f xxx 当时，解得：；4x 43274f xxxx112x综上所述：的解集为或.4f x 32x x112x（2）（当且仅当 22222121211f xxaxaxaxaaaa 时取等号），221axa，解得：或，214a1a 3a 的取值范围为.a,13,【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.