2009年浙江省高考数学【文】（含解析版）.pdf

绝密考试结束前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页。满分150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共选择题部分（共 50 分）分）注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。参考公式参考公式 台体的体积公式 11221()3Vh SS SS其中,分别表示台体的上、下面积，表示台体的高 1S2Sh柱体体积公式 VSh其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 Sh锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 13VShSh球的表面积公式 24SR球的体积公式 343VR其中表示球的半径 R如果事件互斥，那么,A B()()()P ABP AP B一选择题：一选择题：本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。1设，则,|0,|1UR Ax xBx xUAB A B C D|01xx|01xx|0 x x|1x x 2“”是“”的 0 x 0 x A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3设（是虚数单位），则 1 ix i22zzA B C D 1 i1 i 1 i1 i 4设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是,lA若则 B若则,l l/,/,l lC若则 D若则,/,l l/,l l5已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)/b,c(a+b),则 c=A(,)B(-,-)C(,)D(-,-)79737379737979736已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BFF 轴，直线 AB 交 y 轴22xa22yb于点 P.若=2,则椭圆的离心率是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m APPBA B C D 322213127某程序框图如图所示，该程序运行输出的 k 的值是 A4 B5 C6 D7 8若函数=+(aR),则下列结论正确的是()f x2xaxAaR,在上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()f x(0,)BR,在上是减函数()f x(0,)C是偶函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,()aR f x D是奇函数,()aR f x 9已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1 的圆的公共点的个数最多为 A3 B4 C5 D6 10已知 a 是实数，则函数=1+的图像不可能是()f xsinaax 非选择题部分（共非选择题部分（共 100 分）分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。二填空题二填空题:本大题共本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分。分。11设等比数列的公比，前项和为，则=na12q nnS44Sa12若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的 体积是 3cm13若实数满足不等式组 则的最小,x y2,24,0,xyxyxy23xy值是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下，则在 区间上的数据的频数为 。4,5 15某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）。16设等差数列的前 n 项和为，则,成等差数列.类比以上结论有：设等比 nans4S84SS128SS1612SS数列的前 n 项积为，则 ，成等比数列。nbnT4T1612TT17有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k，k+1，其中 k=0，1，2，19从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9，10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10）不小于 14”为 A，则 P(A)=.三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分 14 分）在中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足，ABC2 5cos25A.3AB AC （）求的面积；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 c=1，求 a 的值.ABC 19（本题满分 14 分）如图，DC平面 ABC,EBDC,AC=BC=EB=2DC=2,ACB=120，P,Q 分别为 AE,AB的中点.（）证明：PQ平面 ACD；（）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.20（本题满分 14 分）设为数列的前 n 项和，+n，nN，其中 k 是常数.nSna2nSkn*（I）求及；1ana（）若对于任意的 m N,a,a,a成等比数列，求 k 的值.*m2m4m 21(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).32（I）若函数 f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求 a，b 的值；（）若函数 f(x)在区间（-1，1）上不单调，求 a 的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22（本题满分 15 分）已知抛物线 C：x=2py（p0）上一点 A（m，4）到焦点的距离为.2174（I）求 p 于 m 的值；（）设抛物线 C 上一点 p 的横坐标为 t（t0）,过 p 的直线交 C 于另一点 Q，交 x 轴于 M 点，过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N.若 MN 是 C 的切线，求 t 的最小值;数学（文科）试题参考答案数学（文科）试题参考答案 一选择题：一选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C D D A C C D 二填空题二填空题 11 15 1218 134 1430 15 16 17 148.481248,TTTT14三解答题三解答题 18.（14 分）解析：（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 531)552(212cos2cos22AA又，而，所以，所以),0(A54cos1sin2AA353cos.bcAACABACAB5bc的面积为：ABC254521sin21Abc（）由（）知，而，所以 5bc1c5b所以 5232125cos222Abccba 19（14 分）（）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又CQDP,ABEQP,ABAE,BEPQ21/，所以，BEDC21/DCPQ/又平面 ACD，DC平面 ACD，所以平面 ACD PQ/PQ（）在中，所以 ABCBQAQBCAC,2ABCQ 而 DC平面 ABC，所以平面 ABC DCEB/EB 而平面 ABE，所以平面 ABE平面 ABC，所以平面 ABE EBCQ由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 CQDP/所以平面 ABE，所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，DP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 DAP 在中，APDRt5122222DCACAD1sin2CAQCQDP所以 5551sinADDPDAP 20（14 分）解析：（）当，1,111kSan （）12)1()1(,2221kknnnknknSSannnn 经验，（）式成立，,1n12kknan （）成等比数列，mmmaaa42,mmmaaa422.即，整理得：，)18)(12()14(2kkmkkmkkm0)1(kmk对任意的成立，Nm10kk或 21.（15 分）解析：（）由题意得)2()1(23)(2aaxaxxf 又，解得，或 3)2()0(0)0(aafbf0b3a1a （）函数在区间不单调，等价于)(xf)1,1(导函数在既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数)(xf)1,1(即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有)(xf)1,1(，即：0)1()1(ff0)2()1(23)2()1(23aaaaaa 整理得：，解得 0)1)(1)(5(2aaa15a 22（15 分）解析（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义 2py点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得)4,(mA41724p21p抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得 yx 2)4,(mA2m（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为 0，设其为。),(2ttPPQk则，当 则。)(:2txktylPQ,02kkttxy)0,(2kkttM联立方程，整理得：yxtxkty22)(0)(2tktkxx即：，解得或 0)()(tkxtx,tx tkx，而，直线斜率为)(,(2tktkQQPQN NQk1，联立方程)(1)(:2tkxktkylNQyxtkxktky22)(1)(整理得：，即：0)()(1122tktkkxkx0 1)()(2tkktkxkx，解得：，或 0)(1)(tkxtkkkxktkkx1)(tkx)1)(,1)(22ktkkktkkN)1()1(1)(1)(2222222ktkktkkkttktkkktkkKNM而抛物线在点 N 处切线斜率：ktkkykktkkx2)(21)(切MN 是抛物线的切线，ktkkktkktk2)(2)1()1(2222整理得 02122ttkk，解得（舍去），或，0)21(422tt32t32t32mint 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设 则 （）,|0,|1,UAx xBx xRUAB A B C D|01xx|01xx|0 x x|1x x 【】是【测量目标】集合的基本运算（交集与补集）.【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的补集与交集.【参考答案】B【试题解析】对于因此|1,UBx x|01UABxx2“”是“”的 （）0 x 0 x A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【测量目标】命题的充分，必要条件.【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件.【参考答案】A【试题解析】对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件 0 x 0 x 0 x 0 x 3设（是虚数单位），则 （）1 iz i22zzA B C D 1 i1 i 1 i1 i【测量目标】复数的代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法乘方形式，考查复数的代数四则运算.【参考答案】D【试题解析】对于 2222(1 i)1 i2i1 i1 izz 4设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 （）,lA若则 B若则,l l,l lC若则 D若则 ,l l,l l【测量目标】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系.【考查方式】给出线面，面面的部分关系，推导直线与平面的关系.【参考答案】C【试题解析】对于均可能出现，而对于 C 是正确的 ,A B Dl5已知向量若向量c满足，则（）(1,2),(2,3)a=b=()()cab,cabcA B C D 7 7(,)9 377(,)397 7(,)3 977(,)93【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出平面向量满足的关系式，通过平面向量的平行和垂直关系运算求解.【参考答案】D【试 题 解 析】不 妨 设，则，对 于，则 有(,)m nc1,2,(3,1)mnacabcab；（步骤 1）3(1)(2)mn又，则有，则有（步骤 2）cab30mn77,93mn 6已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交22221(0)xyababFABBFxAB轴于点若，则椭圆的离心率是 （）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yP2APPB A B C D 32221312【测量目标】椭圆的简单几何性质，解析几何与平面向量结合.【考查方式】考查解析几何与平面向量结合，数形结合求解离心率.【参考答案】D【试题解析】对于椭圆，因为，则 2APPB 12,2,2OAOFace 7 某 程 序 框 图 如 图 所 示，该 程 序 运 行 后 输 出 的的 值 是 k（）A B 45C D 67【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的值.k【参考答案】A【试 题解 析】对 于，而 对于，则，后面是0,1,1ksk 1,3,2ksk2,38,3ksk，不符合条件时输出的 113,382,4ksk 4k 8若函数，则下列结论正确的是 （）2()()af xxaxRA，在上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a R()f x(0,)B，在上是减函数 a R()f x(0,)C，是偶函数 a R()f xD，是奇函数 a R()f x【测量目标】全称量词、存在量词、函数奇偶性与单调性的判断.【考查方式】给出函数式，通过对量词的考查结合函数的性质进行考查.【参考答案】C【试题解析】对于时有是一个偶函数 0a 2f xx9已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为（）3,4,51A B C D 3456【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】通过三角形边与圆相切来考虑公共点.【参考答案】B【试题解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 4 以上的交点不能实现 10已知是实数，则函数的图象不可能是 （）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a()1sinf xaax A B C D 【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】函数式中设定函数，考查三角函数的图象.【参考答案】D【试题解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为（步骤 1）2,1,2TaTa 而 D 不符合要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了（步骤 2）2 非选择题部分（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.11设等比数列的公比，前项和为，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m na12q nnS44Sa【测量目标】等比数列的通项，等比数列的前和.n【考查方式】给出等比数列的公比，考查等比数列前和每项的关系.n【参考答案】15【试题解析】对于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4431444134(1)1,151(1)aqSqSaa qqaqq 12若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 cm3cm【测量目标】三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求几何体的体积.【参考答案】18【试题解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积1 3 39 为，因此其几何体的体积为 18 3 3 19 13 若 实 数满 足 不 等 式 组则的 最 小 值,x y2,24,0,xyxyxy23xy是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平 面 区 域，求出线性目标函数的最小值.【参考答案】4 【试题解析】通过画出其线性规划，可知直线过点23yxz 2,0时，min234xy 14某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频1004,5)数为 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，通过图表解决问题.【参考答案】30 【试题解析】对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为 100，因此频数为 30 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4,50.315某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，200100则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）【测量目标】分段函数模型.【考查方式】考查识图能力及数据处理能力，求解.【参考答案】148.4【试题解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为；对于低峰部分为50 0.568 150 0.598，二部分之和为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 50 0.28850 0.318148.416设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设nannS4S84SS128SS1612SS等比数列的前项积为，则，成等比数列 nbnnT4T1612TT【测量目标】等比数列的性质，等差数列的性质.【考查方式】通过已知条件进行类比推理求解.【参考答案】81248TTTT，【试题解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数 nbnnT4T81248,TTTT1612TT列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中 20,1k k 0,1,2,19k 从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到 20标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于,，9,109 1 010 14A则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()P A【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出排列组合的方式，求在一定条件下出现事件概率.A【参考答案】14【试题解析】对于大于 14 的点数的情况通过列举可得有 5 种情况，即，而基本事件7,8;8,9;16,17;17,18;18,19有 20 种，因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()P A 14三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（本题满分 14 分）在中，角所对的边分别为，且满足，ABC,A B C,a b c2 5cos25A （I）求的面积；（II）若，求的值 3AB AC ABC1c a【测量目标】平面向量的线性运算，正弦定理余弦定理，二倍角，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而求的面积;给ABC出边，根据余弦定理求值.ca【试题解析】（）（步骤 1）531)552(212cos2cos22AA又，（步骤 2）(0,)A54cos1sin2AA而，所以，3cos35AB ACAB ACAbc 5bc所以的面积为：（步骤 3）ABC254521sin21Abc（）由（）知，而，所以 5bc1c5b所以（步骤 4）5232125cos222Abccba 19（本 题 满 分14 分）如 图，平 面，DC ABCEBDC，分别为的中点（I）证22ACBCEBDC120ACB,P Q,AE AB明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值 PQACDADABE【测量目标】线面平行的判定，线面角的求法.【考查方式】线线平行推出线面平行;由几何体中的位置关系，进行求解.【试题解析】（）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，（步CQDP,ABEQP,ABAE,12PQBE骤 1）又，所以，又平面，平面，所以平面（步骤12DCBEPQ DCPQACDDCACDPQACD2）（）在中，所以（步骤 3）ABCBQAQBCAC,2ABCQ 而平面，所以平面 DCABCDCEB/EBABC 而平面，所以平面平面，所以平面（步骤 4）EBABEABEABCCQABE由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 CQDP/所以平面，所以直线在平面内的射影是，（步骤 5）DPABEADABEAP 所以直线与平面所成角是（步骤 6）ADABEDAP 在中，RtAPD5122222DCACAD1sin2CAQCQDP所以（步骤 7）5551sinADDPDAP20（本题满分 14 分）设为数列的前项和，其中是常数 nSnan2nSknn*nNk （I）求及；1ana （II）若对于任意的，成等比数列，求的值*mNma2ma4mak【测量目标】等差数列的通项和等比数列的性质，等差数列前项和.n【考查方式】给出的表达式，求；中部分项呈等比，求解未知数.nS na nak【试题解析】（）当，1,111kSan （）（步骤 1）2212,(1)(1)21nnnnaSSknnk nnknk1 检验，（）式成立，（步骤 2）,1n112kknan （）成等比数列，mmmaaa42,224mmmaaa即，（步骤 3）)18)(12()14(2kkmkkmkkm整理得：，对任意的成立，0)1(kmk*mN（步骤 4）10kk或21（本题满分 15 分）已知函数 32()(1)(2)f xxa xa axb(,)a bR （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；()f x3,a b （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围()f x(1,1)a【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，函数零点的应用.【考查方式】限定函数的图象过定点处的斜率，解出方程中的未知数;给出函数在区间上的单调性，求未知数的取值范围.【试题解析】（）由题意得（步骤 1）)2()1(23)(2aaxaxxf 又，（步骤 2）3)2()0(0)0(aafbf解得，或（步骤 3）0b3a1a （）由,得（步骤 4）()0fx122,3axa x 又在上不单调,即或（步骤 5）()f x(1,1)2311aaa 211323aaa 解得或 1112aa 5112aa 所以的取值范围是.（步骤 6）a11(5,)(,1)2222（本题满分 15 分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为 C22(0)xpy p(,4)A m174 （I）求与的值；pm （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作CP(0)t t PCQxMQ的垂线交于另一点若是的切线，求 的最小值 PQCNMNCt 【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的定点定值问题.【考查方式】给出抛物线上一点到焦点的距离，根据准线方程求方程中未知数;根据直线与抛物线直线与直线的关系，求 的最小值 t【试题解析】（）由抛物线方程得其准线方程：，（步骤 1）2py根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得（步骤 2）)4,(mA41724p21p抛物线方程为：，（步骤 3）yx 2将代入抛物线方程，解得（步骤 4）)4,(mA2m（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为 0，设其为.（步骤 5）),(2ttPPQk则，当则.（步骤 6）)(:2txktylPQ,02kkttxy)0,(2kkttM联立方程，整理得：yxtxkty22)(0)(2tktkxx即：，解得或（步骤 7）0)()(tkxtx,tx tkx，而，直线斜率为（步骤 8）)(,(2tktkQQPQN NQk1，联立方程)(1)(:2tkxktkylNQyxtkxktky22)(1)(整理得：，即：0)()(1122tktkkxkx0 1)()(2tkktkxkx，解得：或（步骤 9）0)(1)(tkxtkkkxktkkx1)(tkx，（步骤 10）)1)(,1)(22ktkkktkkN)1()1(1)(1)(2222222ktkktkkkttktkkktkkKNM而抛物线在点 N 处切线斜率：（步骤 11）ktkkykktkkx2)(21)(切是抛物线的切线，整理得 MNktkkktkktk2)(2)1()1(222202122ttkk，解得（舍去），或，（步骤 12）224(1 2)0tt 23t23t 32mint