2010年海南省高考数学试题及答案（理科）.pdf

1 20102010 年海南高考理科数学试题年海南高考理科数学试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据的标准差 锥体体积公式 nxxx,21 222121()()()nsxxxxxxn13VSh其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 xSh柱体体积公式 球的表面积，体积公式来源:Z。xx。k.Com VSh24SR343VR其中为底面面积，为高 其中R为球的半径 Sh 第第 I I 卷卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合,则|2,AxxR|4,BxxxZAB(A)(0,2)(B)0,2 (C)0,2 (D)0,1,2(2)已知复数，是 z 的共轭复数，则=23(13)izizzzA.B.C.1 D.2 1412(3)曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 2xyx（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（，-），角速度为 1，那么点 P 到 x22轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 （5）已知命题：函数在 R 为增函数，1p22xxy：函数在 R 为减函数，2p22xxy2 则在命题：，：，：和：中，真命题是 1q12pp2q12pp3q12pp4q12pp（A），（B），（C），（D），1q3q2q3q1q4q2q4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（A）100 （B）200 （C）300 （D）400（7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 5N （A）54（B）45（C）65（D）56（8）设偶函数满足，则()f x3()8(0)f xxx|(2)0 x f x(A)(B)|24x xx 或|04x xx或(C)(D)|06x xx或|22x xx 或（9）若，是第三象限的角，则 4cos5 1tan21tan2(A)(B)(C)2(D)-2 1212（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 a(A)(B)(C)(D)2a273a2113a25 a（11）已知函数若互不相等，且则的取值范围是|lg|,010,()16,10.2xxf xxx,a b c()()(),f af bf cabc(A)(B)(C)(D)(1,10)(5,6)(10,12)(20,24)（12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过 F 的直线 与相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为E(3,0)PElE,则的方程式为(12,15)N E(A)(B)22136xy22145xy(C)(D)22163xy22154xy第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分()yf x0,10()1f x，先产生两组（每组 N 个）区间上的均匀随机数和，由此得到 N 个点10()f x dx0,112,Nx xx12,Ny yy，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分11(,)(1,2,)x yiN,11()(1,2,)yf xiN,1N的近似值为 。10()f x dx（14）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）3（15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B（2,1），则圆 C 的方程为_(16)在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC 的面积为，则1233BAC=_ 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤（17）（本小题满分 12 分）设数列满足 na21112,3 2nnnaaa（1）求数列的通项公式；na（2）令，求数列的前 n 项和 nnbnanS(18)（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面PEH 所 成 角的正弦值(19)(本小题 12 分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下：是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由 附：（20）（本小题满分 12 分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为 1 的直线 与相交于两12,F F2222:1(0)xyEabab1FiE,A B点，且成等差数列。22,AFABBF（1）求的离心率；E（2）设点满足，求的方程(0,1)pPAPBE（21）（本小题满分 12 分）设函数。2()1xf xexax（1）若，求的单调区间；0a()f x（2）若当时，求的取值范围 0 x()0f x a请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：（）ACE=BCD；（）BC2=BFCD。（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 4 已知直线 C1（t 为参数），C2（为参数），x1tcossinyt xcossiny（）当=时，求 C1与 C2的交点坐标；3（）过坐标原点 O 做 C1的垂线，垂足为，P 为 OA 中点，当变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项 设函数()241f xxl（）画出函数的图像()yf x（）若不等式的解集非空，求 a 的取值范围。()f xax 5 数学试题参考答案数学试题参考答案 一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B 二、填空题（13）（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）1NN（15）（16）60 22(3)2xy三、解答题（17）解：（）由已知，当 n1 时，111211()()()nnnnnaaaaaaaa 21233(222)2nn。2(1)12n而 12,a 所以数列的通项公式为。na212nna（）由知 212nnnbnan 35211 22 23 22nnSn 从而 23572121 22 23 22nnSn -得 。2352121(1 2)22222nnnSn 即 211(31)229nnSn（18）解：以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则H,HA HB HP,x y zHA(1,0,0),(0,1,0)AB （）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C mPn mn则 1(0,0),(,0).2 2mDmE可得 1(,),(,1,0).2 2mPEn BCm因为 0022mmPE BC所以 PEBC （）由已知条件可得 33,1,33mnC 故(,0,0)313(0,0),(,0),(0,0,1)326DEP 设 为平面的法向量(,)nx y xPEH 则 即,n HEon HPo130260 xyz因此可以取，(1,3,0)n 由，(1,0,1)PA 6 可得 2cos,4PAn所以直线与平面所成角的正弦值为 PAPEH24（19）解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为 7014%500（2）。22500(40 27030 160)9.967200 300 70 430K由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好（20.）解：（I）由椭圆定义知，又，224AFBFABa222 ABAFBF得 43ABa的方程为，其中。lyxc22cab设，则 A、B 两点坐标满足方程组 11,A x y22,B xy 22221yxcxyab化简的 222222220abxa cxacb则 2222121222222,acba cxxx xabab因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB 2211212224xxxxx x得故 22244,3abaab222ab所以 E 的离心率 2222cabeaa（II）设 AB 的中点为，由（I）知 00,N xy，。212022223xxa cxcab 003cyxc由，得，PAPB1PNk 即 0011yx 得，从而 3c 3 2,3ab故椭圆 E 的方程为。221189xy（21）解：）解：（1）时，.0a()1xf xex()1xfxe当时，；当时，.故在单调减少，在单调(,0)x()0fx(0,)x()0fx()f x(,0)(0,)增加（II）()1 2xfxeax 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 1xex 0 x ，()2(1 2)fxxaxa x从而当，即时，而，1 20a12a()0(0)fxx(0)0f于是当时，.0 x()0f x 由可得.从而当时，1(0)xex x 1(0)xex x 12a ，()12(1)(1)(2)xxxxxfxea eeeea 7 故当时，而，于是当时，.(0,ln2)xa()0fx(0)0f(0,ln2)xa()0f x 综合得的取值范围为.a1(,2（22）解：）解：（I）因为,ACBC 所以.BCDABC 又因为与圆相切于点，故，ECCACEABC 所以.ACEBCD （II）因为,ECBCDBEBCBCD 所以，故，BDCECBBCCDBEBC 即.2BCBECD(23)解：（）当时，的 普 通 方 程 为，的 普 通 方 程 为。联 立 方 程 组31C3(1)yx2C221xy，解得与的交点为（1,0）。223(1)1yxxy1C2C1322，（）的普通方程为。1Csincossin0 xyA 点坐标为，2sincossin故当变化时，P 点轨迹的参数方程为：21sin21sincos2xy 为参数P 点轨迹的普通方程为。2211416xy故 P 点轨迹是圆心为，半径为的圆。104，14（24）解：（）由于则函数的图像如图所示。252()23xxf xx，x2()yf x （）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数()yf xyax12a 2a ()yf xyax的图像有交点。故不等式的解集非空时，的取值范围为()f xaxa。122，8 选择填空解析：选择填空解析：一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）（2010海南）已知集合 A=xR|x|2，则 AB=（）A（0，2）B0，2 C0，2 D0，1，2【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先化简集合 A 和 B，注意集合 B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解【解答】解：A=xR|x|2，=xR|2x2，故 AB=0，1，2 应选 D【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题 2（5 分）（2010海南）已知复数，是 z 的共轭复数，则=（）A B C1 D2【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】因为，所以先求|z|再求的值【解答】解：由可得 另解：故选 A【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算 3（5 分）（2010海南）曲线 y=在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=2x+1 By=2x1 Cy=2x3 Dy=2x2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】常规题型；计算题【分析】欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=，y=，所以 k=y|x=1=2，得切线的斜率为 2，所以 k=2；所以曲线 y=f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y+1=2（x+1），即 y=2x+1 故选 A【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 4（5 分）（2010新课标）如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（，），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为（）9 A B C D【考点】函数的图象菁优网版权所有【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点 P 的位置到到 x 轴距离来确定答案【解答】解：通过分析可知当 t=0 时，点 P 到 x 轴距离 d 为，于是可以排除答案 A，D，再根据当时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0，排除答案 B，故应选 C【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题 5（5 分）（2010海南）已知命题 p1：函数 y=2x2x在 R 为增函数，p2：函数 y=2x+2x在 R 为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和 q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3 Bq2，q3 Cq1，q4 Dq2，q4【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】先判断命题 p1是真命题，P2是假命题，故 p1p2为真命题，（p2）为真命题，p1（p2）为真命题【解答】解：易知 p1是真命题，而对 p2：y=2xln2ln2=ln2（），当 x0，+）时，又 ln20，所以 y0，函数单调递增；同理得当 x（，0）时，函数单调递减，故 p2是假命题 由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真 故选 C【点评】只有 p1与 P2都是真命题时，p1p2才是真命题只要 p1与 p2中至少有一个真命题，p1p2就是真命题 6（5 分）（2010海南）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为（）A100 B200 C300 D400【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与 n 次独立重复试验的模型菁优网版权所有【专题】计算题；应用题【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，即不发芽率为 0.1，故没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B（1000，0.1）又没发芽的补种 2 个，故补种的种子数记为 X=2，根据二项分布的期望公式即可求出结果【解答】解：由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B（1000，0.1）而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X 故 X=2，则 EX=2E=210000.1=200 故选 B【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力属于基础性题目 7（5 分）（2010新课标）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于（）A B C D 【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【专题】操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=的值 S=1=故选 D 10【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 8（5 分）（2010海南）设偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），则x|f（x2）0=（）Ax|x2 或 x4 Bx|x0 或 x4 Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2【考点】偶函数；其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案【解答】解：由偶函数 f（x）满足 f（x）=2x4（x0），可得 f（x）=f（|x|）=2|x|4，则 f（x2）=f（|x2|）=2|x2|4，要使 f（|x2|）0，只需 2|x2|40，|x2|2 解得 x4，或 x0 应选：B【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算 9（5 分）（2010海南）若，是第三象限的角，则=（）A B C2 D2【考点】半角的三角函数；弦切互化菁优网版权所有【专题】计算题【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角 与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同【解答】解：由，是第三象限的角，可得，则，应选 A【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力 10（5 分）（2010海南）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2 B C D5a2【考点】球内接多面体菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选 B【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力 11（5 分）（2010海南）已知函数，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c），则 abc 的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）D（20，24）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质菁优网版权所有【专题】作图题；压轴题；数形结合【分析】画出函数的图象，根据 f（a）=f（b）=f（c），不妨 abc，求出 abc 的范围即可【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图，不妨设 abc，则 ab=1，则 abc=c（10，12）故选 C 【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力 12（5 分）（2010海南）已知双曲线 E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于A，B 两点，且 AB 的中点为 N（12，15），则 E 的方程式为（）11 A B C D【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1，设双曲线方程，及 A，B 点坐标代入方程联立相减得 x1+x2=24，根据=，可求得 a 和 b 的关系，再根据 c=3，求得 a 和 b，进而可得答案【解答】解：由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合 x1+x2=24，y1+y2=30 得=，从而=1 即 4b2=5a2，又 a2+b2=9，解得 a2=4，b2=5，故选 B【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程考查了学生综合分析问题和解决问题的能力 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）（2010海南）设 y=f（x）为区间0，1上的连续函数，且恒有 0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上的均匀随机数 x1，x2，xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i=1，2，N），再数出其中满足 yif（xi）（i=1，2，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型菁优网版权所有【专题】计算题【分析】要求f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为 故答案为：【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题 14（5 分）（2010海南）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【考点】简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】阅读型【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等 故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力 15（5 分）（2010海南）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 xy=1 相切于点 B（2，1），则圆 C 的方程为（x3）2+y2=2【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】设圆的标准方程，再用过点 A（4，1），过 B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程【解答】解：设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x3）2+y2=2 故答案为：（x3）2+y2=2【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解 16（5 分）（2010海南）在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC 的面积为，则BAC=60【考点】余弦定理的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先根据三角形的面积公式利用ADC 的面积求得 DC，进而根据三角形 ABC 的面积求得 BD 和 BC，进而根据余弦定理求得 AB最后在三角形 ABC 中利用余弦定理求得 cosBAC，求得BAC 的值【解答】解：由ADC 的面积为可得 12 解得，则 AB2=AD2+BD22ADBDcos120=，则=故BAC=60 【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力