2014年海南省高考数学试题及答案（理科）.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )
A. ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝

2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk，则（ ）
A. - 5
B. 5
C. - 4+ i
D. - 4 - i

3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5

4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )
A. 5
B.
C. 2
D. 1

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A. B. C. D.

7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A. B. C. D.

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.本试题由整理

二.填空题

13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

14.函数的最大值为_________.

15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.

16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则的取值范围是________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）
已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

19. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，

20. （本小题满分12分）
设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

21. （本小题满分12分）
已知函数=zxxk
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）ADDE=2

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，
.zxxk
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围.

2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D
（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C

二、 填空题
（13） （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]

三、解答题

（17）解：
（1）由得
又，所以，{ } 是首项为，公比为3的等比数列。
=，因此{}的通项公式为=
（2）由（1）知=
因为当n1时，所以，
于是，=
所以，

（18）解：
（1）连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点
又E为的PD的中点，所以EOPB
EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC
（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则A—xyz,则D(0, ,0),则E(0, ,),=(0, ,)
设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m, ，0）
设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，
则{ 即{
可取=（,-1, ）
又=（1,0,0）为平面DAE的法向量，
由题设=，即
=，解得m=
因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，三棱锥E-ACD的体积为
V==

19解：
（1） 由所得数据计算得
=（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28

=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，
b===0.5
a=-b=4.3-0.54=2.3

所求回归方程为=0.5t+2.3
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元

（20）解：
（Ⅰ）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac
将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）
故C的离心率为
（Ⅱ）由题意，原点O的的中点，M∥y轴，所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，即
①
由=得=
设N（x，y），由题意可知y<0,则 即
代入方程C，得+=1 ②
将①以及c=代入②得到+=1
解得a=7，
a=7，

（21）解
（Ⅰ）+-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递增
（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x
(x)=2[++]=2(+)(+)

（1） 当b2时，g’(x) 0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-,+)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;
（2） 当b>2时，若x满足，2< <2b-2即 0<x<ln(b-1+)时g’(x)<0,而
g（0）=0,因此当0<Xln(b-1+)时，g(x)<0
综上，b的最大值为2
（3） 由（2）知，g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2
当b=2时，g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928
当b=+1时，ln(b-1+)=ln
g(ln)=-2+(3+2)ln2<0
in2<<0.693

(22)解：
（1）连结AB,AC由题设知PA=PD,故PAD=PDA
因为PDA=DAC+DCA
PAD=BAD+PAB
DCA=PAB
所以DAC=BAD,从而。。。。。。。
因此=
（2）由切割线定理得=PB*PC
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD*DE=BD*DC
所以，AD*DE=2

(23)解：
（1）C的普通方程为
+=1(0)
可得C的参数方程（t为参数，0

（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。
tant=，t=π/3.
故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）.

(24)解：
（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.
所以f（x）≥2.
（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.
当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜
当0<a≤3时，f（3）=6-a+，f（3）<5得<a≤3
综上所诉，a的取值范围为（）

选择题填空题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵，∴
答案：D
（2）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵，∴，∴
答案：A
（3）设向量，满足，，则
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
解析：∵，，∴……①，……②．
由①②得：
答案：A
（4）钝角三角形的面积是，，，则
(A) 5
(B)
(C) 2
(D) 1
解析：∵，即：，∴，
即或．又∵
∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：
答案：B
（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
(A) 0.8
(B) 0.75
(C) 0.6
(D) 0.45
解析：此题为条件概率，所以
答案：A
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），
图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底
面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
(A)

(B)
(C)

(D)
解析：原来毛坯体积为：，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：，则切削掉部分的体积为，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
结束
输出
，
开始
输入，

是
否
答案：C
（7）执行右面的程序框图，如果输入的，均为2，
则输出的
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：输入的，均为2．是，，
，；是，，
，，否，输出
答案：D
（8）设曲线在点处的切线方程
为，则
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即
答案：D
（9）设，满足约束条件，则的最大值为
(A)
(B)
(C)
(D)

解析：作出，满足约束条件表示
的平面区域如图阴影部分：做出目标函数：
，∵，∴当的截距
最小时，有最大值。
∴当经过点时，有最大值。
由得：
此时：有最大值
答案：B
（10）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵，设、，∴直线的方程为，代入抛物线方程得：，∴，
由弦长公式得
由点到直线的距离公式得：到直线的距离
∴
答案：D
（11）直三棱柱中，，，分别是，的中点，
，则与所成角的余弦值为
(A)
(B)

(C)
(D)

解析：如图所示，取的中点，连结、
∵，分别是，的中点，
∴四边形为平行四边形，∴
∴所求角的余弦值等于的余弦值
不妨令，则
，∴
答案：C
（12）设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：∵，令得：
∴，又∵，∴
即：，∴，故：
∴，即：，故：或
答案：C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）的展开式中，的系数为，则 ．（用数字填写答案）
解析：∵，∴，即，
∴，解之：
答案：
（14）函数的最大值为 ．
解析：∵

∴的最大值为1
答案：1
（15）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是 ．
解析：∵是偶函数，∴，
又∵在单调递减，∴，解之：
答案：

（16）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是 ．
解析：由图可知点所在直线与圆相切，
又，由正弦定理得：
∴，即：
又∵，∴，即，解之：
答案：