2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版).pdf
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项:注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无写在本试卷上无效效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.已知集合,则中元素的个数为()(,)|,Ax yx yyx*N(,)|8Bx yxyABA.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出中元素的即可.AB【详解】由题意,中的元素满足,且,AB8yxxy*,x yN由,得,82xyx4x 所以满足的有,8xy(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故中元素的个数为 4.AB故选:C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.2.复数的虚部是()113iA.B.C.D.310110110310【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出 z 即可.【详解】因为,1131313(13)(13)1010iziiii所以复数的虚部为.11 3zi310故选:D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算,涉及到复数的虚部的定义,是一道基础题.3.在一组样本数据中,1,2,3,4 出现的频率分别为,且,则下面四种情形中,对应样1234,pp pp411iip本的标准差最大的一组是()A.B.14230.1,0.4pppp14230.4,0.1ppppC.D.14230.2,0.3pppp14230.3,0.2pppp【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于 A 选项,该组数据的平均数为,140.1230.42.5Ax 方差为;222221 2.50.122.50.432.50.442.50.10.65As 对于 B 选项,该组数据的平均数为,140.4230.12.5Bx 方差为;222221 2.50.422.50.132.50.142.50.41.85Bs 对于 C 选项,该组数据的平均数为,140.2230.32.5Cx 方差为;222221 2.50.222.50.332.50.342.50.21.05Cs 对于 D 选项,该组数据的平均数为,140.3230.22.5Dx 方差为.222221 2.50.322.50.232.50.242.50.31.45Ds 因此,B 选项这一组的标准差最大.故选:B.【点睛】本题考查标准差的大小比较,考查方差公式的应用,考查计算能力,属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位:天)的 Logistic 模型:,其中 K 为最大确诊病例数当 I()=0.95K0.23(53)()=1etIKt*t时,标志着已初步遏制疫情,则约为()(ln193)*tA.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.tt 0.23531tKI te 0.95I tKt【详解】,所以,则,0.23531tKI te 0.23530.951tKI tKe0.235319te所以,解得.0.2353ln193t353660.23t故选:C.【点睛】本题考查对数的运算,考查指数与对数的互化,考查计算能力,属于中等题.5.设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:y2=2px(p0)交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为()A.(,0)B.(,0)C.(1,0)D.(2,0)1412【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件,结合抛物线的对称性,可知,从而可以确定出点的坐ODOE4COxCOx D标,代入方程求得的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.p【详解】因为直线与抛物线交于两点,且,2x 22(0)ypx p,C DODOE根据抛物线的对称性可以确定,所以,4DOxCOx(2,2)C代入抛物线方程,求得,所以其焦点坐标为,44p1p 1(,0)2故选:B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线上的条件,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.6.已知向量 a,b 满足,则()|5a|6b 6a b cos,=a abA.B.C.D.3135193517351935【答案】D【解析】【分析】计算出、的值,利用平面向量数量积可计算出的值.aababcos,a ab【详解】,.5a 6b 6a b 225619aabaa b ,2222252 6367ababaa bb 因此,.1919cos,5 735aaba abaab 故选:D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.7.在ABC 中,cosC=,AC=4,BC=3,则 cosB=()23A.B.C.D.19131223【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得,再根据,即可求得答案.AB222cos2ABBCACBAB BC【详解】在中,ABC2cos3C 4AC 3BC 根据余弦定理:2222cosABACBCAC BCC 22243224 33AB 可得,即 29AB 3AB 由 22299 161cos22 3 39ABBCACBAB BC 故.1cos9B 故选:A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8.下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2 2233【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,求出每个面的面积,即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得:12 222ABCADCCDBSSS 根据勾股定理可得:2 2ABADDB是边长为的等边三角形 ADB2 2根据三角形面积公式可得:2113sin60(2 2)2 3222ADBSAB AD 该几何体的表面积是:.2 362 33 2 故选:C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题,解题关键是掌握根据三视图画出立体图形,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.9.已知 2tantan(+)=7,则 tan=()4A.2 B.1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式,结合换元法,解一元二次方程,即可得出答案.【详解】,2tantan74tan12tan71tan令,则,整理得,解得,即.tan,1tt1271ttt2440tt2t tan2故选:D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题.10.若直线 l 与曲线 y=和 x2+y2=都相切,则 l 的方程为()x15A.y=2x+1 B.y=2x+C.y=x+1 D.y=x+12121212【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案.l【详解】设直线 在曲线上的切点为,则,lyx00,xx00 x 函数的导数为,则直线 的斜率,yx12yx l012kx设直线 的方程为,即,l00012yxxxx0020 xx yx由于直线 与圆相切,则,l2215xy001145xx两边平方并整理得,解得,(舍),2005410 xx 01x 015x 则直线 的方程为,即.l210 xy 1122yx故选:D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.11.设双曲线 C:(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为P 是 C 上一点,且22221xyab5F1PF2P若PF1F2的面积为 4,则 a=()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案.【详解】,根据双曲线的定义可得,5ca5ca 122PFPFa,即,1 2121|42PF FPFFSP12|8PFPF,12FPF P22212|2PFPFc,即,解得,22121224PFPFPFPFc22540aa1a 故选:A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用,涉及了勾股定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.12.已知 5584,13485设 a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abc B.bac C.bca D.ca400 空气质量好 空气质量不好 附:,22()()()()()n adbcKab cd ac bdP(K2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为、的概率分别为、;(2)12340.430.270.210.09;(3)有,理由见解析.350【解析】【分析】(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、的概率;1234(2)利用每组的中点值乘以频数,相加后除以可得结果;100(3)根据表格中的数据完善列联表,计算出的观测值,再结合临界值表可得结论.222K【详解】(1)由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为 的概率为,等级为的概率12 16250.431002为,等级为的概率为,等级为的概率为;5 10 120.2710036780.2110047200.09100(2)由频数分布表可知,一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 100 20300 35500 45350100(3)列联表如下:22 人次 400人次 400空气质量不好 33 37空气质量好 22 8,2210033 837 225.8203.84155 45 70 30K 因此,有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.95%【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数,同时也考查了独立性检验的应用,考查数据处理能力,属于基础题.19.如图,在长方体中,点分别在棱上,且,1111ABCDABC D,E F11,DD BB12DEED12BFFB(1)证明:点在平面内;1CAEF(2)若,求二面角的正弦值 2AB 1AD 13AA 1AEFA【答案】(1)证明见解析;(2).427【解析】【分析】(1)连接、,证明出四边形为平行四边形,进而可证得点在平面内;1C E1C F1AEC F1CAEF(2)以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利1C11C D11C B1CCxyz1Cxyz用空间向量法可计算出二面角的余弦值,进而可求得二面角的正弦值.1AEFA1AEFA【详解】(1)在棱上取点,使得,连接、,1CCG112C GCGDGFG1C E1C F 在长方体中,且,且,1111ABCDABC D/AD BCADBC11/BBCC11BBCC,且,112C GCG12BFFB112233CGCCBBBFCGBF所以,四边形为平行四边形,则且,BCGF/AF DGAFDG同理可证四边形为平行四边形,且,1DEC G1/C E DG1C EDG且,则四边形为平行四边形,1/C E AF1C EAF1AEC F因此,点在平面内;1CAEF(2)以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C11C D11C B1CCxyz,1Cxyz则、,2,1,3A12,1,0A2,0,2E0,1,1F,0,1,1AE 2,0,2AF 10,1,2AE 12,0,1AF 设平面的法向量为,AEF111,mx y z由,得取,得,则,00m AEm AF 11110220yzxz11z 111xy1,1,1m 设平面的法向量为,1AEF222,nxyz由,得,取,得,则,1100n AEn AF 22222020yzxz22z 21x 24y 1,4,2n ,37cos,7321m nm nmn 设二面角的平面角为,则,.1AEFA7cos7242sin1 cos7因此,二面角的正弦值为.1AEFA427【点睛】本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.已知椭圆的离心率为,分别为的左、右顶点 222:1(05)25xyCmm154ABC(1)求的方程;C(2)若点在上,点在直线上,且,求的面积 PCQ6x|BPBQBPBQAPQ【答案】(1);(2).221612525xy52【解析】【分析】(1)因为,可得,根据离心率公式,结合已知,即可求得答案;222:1(05)25xyCmm5a bm(2)点在上,点在直线上,且,过点作轴垂线,交点为,设PCQ6x|BPBQBPBQPxM与轴交点为,可得,可求得点坐标,求出直线的直线方程,根据点到直线6x xNPMBBNQPAQ距离公式和两点距离公式,即可求得的面积.APQ【详解】(1)222:1(05)25xyCmm,5a bm根据离心率,22154115cbmeaa解得或(舍),54m 54m 的方程为:,C22214255xy即;221612525xy(2)点在上,点在直线上,且,PCQ6x|BPBQBPBQ过点作轴垂线,交点为,设与轴交点为 PxM6x xN根据题意画出图形,如图 ,|BPBQBPBQ90PMBQNB 又,90PBMQBN90BQNQBN,PBMBQN 根据三角形全等条件“”,AAS可得:,PMBBNQ,221612525xy,(5,0)B,651PMBN设点为,P(,)PPxy可得点纵坐标为,将其代入,P1Py 221612525xy可得:,21612525Px解得:或,3Px 3Px 点为或,P(3,1)(3,1)当点为时,P(3,1)故,532MB,PMBBNQ,|2MBNQ可得:点为,Q(6,2)画出图象,如图 ,,(5,0)A(6,2)Q可求得直线的直线方程为:,AQ211100 xy根据点到直线距离公式可得到直线的距离为:,PAQ222 3 11 1 10555125211d 根据两点间距离公式可得:,2265205 5AQ 面积为:;APQ1555 5252当点为时,P(3,1)故,5+38MB,PMBBNQ,|8MBNQ可得:点为,Q(6,8)画出图象,如图 ,,(5,0)A(6,8)Q可求得直线的直线方程为:,AQ811400 xy根据点到直线距离公式可得到直线的距离为:,PAQ228311 14055185185811d 根据两点间距离公式可得:,226580185AQ 面积为:,APQ15518522185综上所述,面积为:.APQ52【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.21.设函数,曲线在点(,f()处的切线与 y 轴垂直 3()f xxbxc()yf x1212(1)求 b(2)若有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于 1()f x()f x【答案】(1);(2)证明见解析 34b 【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义得到,解方程即可;1()02f(2)由(1)可得,易知在上单调递减,在,2311()32()()422fxxxx()f x1 1(,)2 21(,)2 上单调递增,且,采用反证法,推出矛盾1(,)2111111(1),(),(),(1)424244fcfcfcfc即可.【详解】(1)因为,2()3fxxb由题意,即 1()02f21302b则;34b (2)由(1)可得,33()4f xxxc,2311()33()()422fxxxx令,得或;令,得,()0fx 12x 21x ()0fx 1122x所以在上单调递减,在,上单调递增,()f x1 1(,)2 21(,)2 1(,)2且,111111(1),(),(),(1)424244fcfcfcfc若所有零点中存在一个绝对值大于 1 的零点,则或,()f x0 x(1)0f(1)0f即或.14c 14c 当时,14c 111111(1)0,()0,()0,(1)0424244fcfcfcfc又,32(4)6434(1 16)0fcccccc 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点,()f x(4,1)c0 x即在上存在唯一一个零点,在上不存在零点,()f x(,1)(1,)此时不存在绝对值不大于 1 的零点,与题设矛盾;()f x当时,14c 111111(1)0,()0,()0,(1)0424244fcfcfcfc又,32(4)6434(1 16)0fcccccc由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点,()f x(1,4)c0 x即在上存在唯一一个零点,在上不存在零点,()f x(1,)(,1)此时不存在绝对值不大于 1 的零点,与题设矛盾;()f x综上,所有零点的绝对值都不大于 1.()f x【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点,涉及到导数的几何意义,反证法,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.(二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计如果多做,则按所做的第一题计分分.选修选修 44:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分)22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(t 为参数且 t1),C 与坐标轴交于 A、B 两22223xttytt 点(1)求;|AB(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程【答案】(1)(2)4 103 cossin120【解析】【分析】(1)由参数方程得出的坐标,最后由两点间距离公式,即可得出的值;,A BAB(2)由的坐标得出直线的直角坐标方程,再化为极坐标方程即可.,A BAB【详解】(1)令,则,解得或(舍),则,即.0 x 220tt 2t 1t 26412y(0,12)A令,则,解得或(舍),则,即 0y 2320tt2t 1t 2244x (4,0)B;22(04)(120)4 10AB(2)由(1)可知,12030(4)ABk 则直线的方程为,即.AB3(4)yx3120 xy由可得,直线的极坐标方程为.cos,sinxyAB3 cossin120【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程,属于中档题.选修选修 45:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分)23.设 a,b,cR,a+b+c=0,abc=1(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用 maxa,b,c表示 a,b,c 中的最大值,证明:maxa,b,c 34【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由结合不等式的性质,即可得出证明;2222()2220abcabcabacbc(2)不妨设,由题意得出,由,结合基max,a b ca0,0ab c222322bcbcbcaaabcbc本不等式,即可得出证明.【详解】(1),2222()2220abcabcabacbc.22212abbccaabc 均不为,则,;,a b c02220abc222120abbccaabc(2)不妨设,max,a b ca由可知,0,1abcabc0,0,0abc,.1,abc abc 222322224bcbcbcbcbcaaabcbcbc当且仅当时,取等号,bc,即.34a3max,4a b c【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.- 配套讲稿:
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