2015年浙江省高考数学【理】(含解析版).pdf
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2015 年浙江省高考数学试卷(理科)年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)(理科)1(5 分)(2015浙江)已知集合 P=x|x22x0,Q=x|1x2,则(RP)Q=()A 0,1)B(0,2 C(1,2)D 1,2 2(5 分)(2015浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A 8cm3 B 12cm3 C D 3(5 分)(2015浙江)已知an是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8成等比数列,则()A a1d0,dS40 B a1d0,dS40 C a1d0,dS40 D a1d0,dS40 4(5 分)(2015浙江)命题“nN*,f(n)N*且 f(n)n”的否定形式是()A nN*,f(n)N*且 f(n)n B nN*,f(n)N*或 f(n)n C n0N*,f(n0)N*且 f(n0)n0 D n0N*,f(n0)N*或 f(n0)n0 5(5 分)(2015浙江)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是()A B C D 6(5 分)(2015浙江)设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(AB)card(AB),其中 card(A)表示有限集 A 中的元素个数()命题:对任意有限集 A,B,“AB”是“d(A,B)0”的充分必要条件;命题:对任意有限集 A,B,C,d(A,C)d(A,B)+d(B,C)A 命题和命题都成立 B 命题和命题都不成立 C 命题成立,命题不成立 D 命题不成立,命题成立 7(5 分)(2015浙江)存在函数 f(x)满足,对任意 xR 都有()A f(sin2x)=sinx B f(sin2x)=x2+x C f(x2+1)=|x+1|D f(x2+2x)=|x+1|8(5 分)(2015浙江)如图,已知ABC,D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将ACD 折成ACD,所成二面角ACDB 的平面角为,则()A ADB B ADB C ACB D ACB 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分 9(6 分)(2015浙江)双曲线=1 的焦距是,渐近线方程是 10(6 分)(2015浙江)已知函数 f(x)=,则 f(f(3)=,f(x)的最小值是 11(6 分)(2015浙江)函数 f(x)=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是,单调递减区间是 12(4 分)(2015浙江)若 a=log43,则 2a+2a=13(4 分)(2015浙江)如图,三棱锥 ABCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是 14(4 分)(2015浙江)若实数 x,y 满足 x2+y21,则|2x+y2|+|6x3y|的最小值是 15(6 分)(2015浙江)已知是空间单位向量,若空间向量 满足,且对于任意 x,yR,则x0=,y0=,|=三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(14 分)(2015浙江)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=,b2a2=c2(1)求 tanC 的值;(2)若ABC 的面积为 3,求 b 的值 17(15 分)(2015浙江)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面 ABC的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1的中点(1)证明:A1D平面 A1BC;(2)求二面角 A1BDB1的平面角的余弦值 18(15 分)(2015浙江)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR),记 M(a,b)是|f(x)|在区间1,1上的最大值(1)证明:当|a|2 时,M(a,b)2;(2)当 a,b 满足 M(a,b)2 时,求|a|+|b|的最大值 19(15 分)(2015浙江)已知椭圆上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+对称(1)求实数 m 的取值范围;(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)20(15 分)(2015浙江)已知数列an满足 a1=且 an+1=anan2(nN*)(1)证明:12(nN*);(2)设数列an2的前 n 项和为 Sn,证明(nN*)2015 年浙江省高考数学试卷(理科)年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)(理科)1(5 分)考点:交、并、补集的混合运算菁优网版权所有 专题:集合 分析:求出 P 中不等式的解集确定出 P,求出 P 补集与 Q 的交集即可 解答:解:由 P 中不等式变形得:x(x2)0,解得:x0 或 x2,即 P=(,02,+),RP=(0,2),Q=(1,2,(RP)Q=(1,2),故选:C 点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键 2(5 分)考点:由三视图求面积、体积菁优网版权所有 专题:空间位置关系与距离 分析:判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可 解答:解:由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体,上部是底面为边长 2 的正方形奥为2 的正四棱锥,所求几何体的体积为:23+222=故选:C 点评:本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力 3(5 分)考点等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有:专题:等差数列与等比数列 分析:由 a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断 a1d 和 dS4的符号 解答:解:设等差数列an的首项为 a1,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,由 a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:d0,=0 故选:B 点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题 4(5 分)考点:命题的否定菁优网版权所有 专题:简易逻辑 分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:n0N*,f(n0)N*或 f(n0)n0,故选:D 点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础 5(5 分)考点:直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程 分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可 解答:解:如图所示,抛物线的准线 DE 的方程为 x=1,过 A,B 分别作 AEDE 于 E,交 y 轴于 N,BDDE 于 E,交 y 轴于 M,由抛物线的定义知 BF=BD,AF=AE,则|BM|=|BD|1=|BF|1,|AN|=|AE|1=|AF|1,则=,故选:A 点评:本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键 6(5 分)考点:复合命题的真假菁优网版权所有 专题:集合;简易逻辑 分析:命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可,借助新定义,根据集合的运算,判断即可 解答:解:命题:对任意有限集 A,B,若“AB”,则 ABAB,则 card(AB)card(AB),故“d(A,B)0”成立,若 d(A,B)0”,则 card(AB)card(AB),则 ABAB,故 AB 成立,故命题成立,命题,d(A,B)=card(AB)card(AB),d(B,C)=card(BC)card(BC),d(A,B)+d(B,C)=card(AB)card(AB)+card(BC)card(BC)=card(AB)+card(BC)card(AB)+card(BC)card(AC)card(AC)=d(A,C),故命题成立,故选:A 点评:本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题 7(5 分)考点:函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用 分析:利用 x 取特殊值,通过函数的定义判断正误即可 解答:解:A取 x=0,则 sin2x=0,f(0)=0;取 x=,则 sin2x=0,f(0)=1;f(0)=0,和 1,不符合函数的定义;不存在函数 f(x),对任意 xR 都有 f(sin2x)=sinx;B取 x=0,则 f(0)=0;取 x=,则 f(0)=2+;f(0)有两个值,不符合函数的定义;该选项错误;C取 x=1,则 f(2)=2,取 x=1,则 f(2)=0;这样 f(2)有两个值,不符合函数的定义;该选项错误;D令|x+1|=t,t0,则 f(t21)=t;令 t21=x,则 t=;即存在函数 f(x)=,对任意 xR,都有 f(x2+2x)=|x+1|;该选项正确 故选:D 点评:本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难 8(5 分)考点:二面角的平面角及求法菁优网版权所有 专题:创新题型;空间角 分析:解:画出图形,分 AC=BC,ACBC 两种情况讨论即可 解答:解:当 AC=BC 时,ADB=;当 ACBC 时,如图,点 A投影在 AE 上,=AOE,连结 AA,易得ADAAOA,ADBAOE,即ADB 综上所述,ADB,故选:B 点评:本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题小题,多空题每题 6 分,单空题每题分,单空题每题 4 分,共分,共 36 分分 9(6 分)考点:双曲线的简单性质菁优网版权所有 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程 分析:确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程 解答:解:双曲线=1 中,a=,b=1,c=,焦距是 2c=2,渐近线方程是 y=x 故答案为:2;y=x 点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础 10(6 分)考点:函数的值菁优网版权所有 专题:计算题;函数的性质及应用 分析:根据已知函数可先求 f(3)=1,然后代入可求 f(f(3);由于 x1 时,f(x)=,当 x1 时,f(x)=lg(x2+1),分别求出每段函数的取值范围,即可求解 解答:解:f(x)=,f(3)=lg10=1,则 f(f(3)=f(1)=0,当 x1 时,f(x)=,即最小值,当 x1 时,x2+11,(x)=lg(x2+1)0 最小值 0,故 f(x)的最小值是 故答案为:0;点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题 11(6 分)考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性菁优网版权所有 专题:三角函数的求值 分析:由三角函数公式化简可得 f(x)=sin(2x)+,易得最小正周期,解不等式 2k+2x2k+可得函数的单调递减区间 解解:化简可得 f(x)=sin2x+sinxcosx+1 答:=(1cos2x)+sin2x+1=sin(2x)+,原函数的最小正周期为 T=,由 2k+2x2k+可得 k+xk+,函数的单调递减区间为k+,k+(kZ)故答案为:;k+,k+(kZ)点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题 12(4 分)考点:对数的运算性质菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用 分析:直接把 a 代入 2a+2a,然后利用对数的运算性质得答案 解答:解:a=log43,可知 4a=3,即 2a=,所以 2a+2a=+=故答案为:点评:本题考查对数的运算性质,是基础的计算题 13(4 分)考点:异面直线及其所成的角菁优网版权所有 专题:空间角 分析:连结 ND,取 ND 的中点为:E,连结 ME 说明异面直线 AN,CM 所成的角就是EMC通过解三角形,求解即可 解答:解:连结 ND,取 ND 的中点为:E,连结 ME,则 MEAN,异面直线 AN,CM 所成的角就是EMC,AN=2,ME=EN,MC=2,又ENNC,EC=,cosEMC=故答案为:点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力 14(4 分)考点:函数的最值及其几何意义菁优网版权所有 专题:不等式的解法及应用;直线与圆 分析:根据所给 x,y 的范围,可得|6x3y|=6x3y,再讨论直线 2x+y2=0 将圆 x2+y2=1 分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值 解答:解:由 x2+y21,可得 6x3y0,即|6x3y|=6x3y,如图直线 2x+y2=0 将圆 x2+y2=1 分成两部分,在直线的上方(含直线),即有 2x+y20,即|2+y2|=2x+y2,此时|2x+y2|+|6x3y|=(2x+y2)+(6x3y)=x2y+4,利用线性规划可得在 A(,)处取得最小值 3;在直线的下方(含直线),即有 2x+y20,即|2+y2|=(2x+y2),此时|2x+y2|+|6x3y|=(2x+y2)+(6x3y)=83x4y,利用线性规划可得在 A(,)处取得最小值 3 综上可得,当 x=,y=时,|2x+y2|+|6x3y|的最小值为 3 故答案为:3 点评:本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题 15(6 分)考点:空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算菁优网版权所有 专题:创新题型;空间向量及应用 分析:由题意和数量积的运算可得=,不妨设=(,0),=(1,0,0),由已知可解=(,t),可得|(|2=(x+)2+(y2)2+t2,由题意可得当 x=x0=1,y=y0=2 时,(x+)2+(y2)2+t2取最小值 1,由模长公式可得|解答:解:=|cos=cos=,=,不妨设=(,0),=(1,0,0),=(m,n,t),则由题意可知=m+n=2,=m=,解得 m=,n=,=(,t),()=(xy,t),|(|2=(xy)2+()2+t2=x2+xy+y24x5y+t2+7=(x+)2+(y2)2+t2,由题意当 x=x0=1,y=y0=2 时,(x+)2+(y2)2+t2取最小值 1,此时 t2=1,故|=2 故答案为:1;2;2 点评:本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(14 分)考点:余弦定理菁优网版权所有 专题:解三角形 分析:(1)由余弦定理可得:,已知 b2a2=c2可得,a=利用余弦定理可得 cosC可得 sinC=,即可得出 tanC=(2)由=3,可得 c,即可得出 b 解答:解:(1)A=,由余弦定理可得:,b2a2=bcc2,又 b2a2=c2bcc2=c2b=c可得,a2=b2=,即 a=cosC=C(0,),sinC=tanC=2(2)=3,解得 c=2=3 点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 17(15 分)考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定菁优网版权所有 专题:空间位置关系与距离;空间角 分析:(1)以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1所在直线分别为 x、y、z 轴建系,通过=0 及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面 A1BD 的法向量与平面 B1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可 解答:(1)证明:如图,以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1所在直线分别为 x、y、z 轴建系 则 BC=AC=2,A1O=,易知 A1(0,0,),B(,0,0),C(,0,0),A(0,0),D(0,),B1(,),=(0,0),=(,),=(,0,0),=(2,0,0),=(0,0,),=0,A1DOA1,又=0,A1DBC,又OA1BC=O,A1D平面 A1BC;(2)解:设平面 A1BD 的法向量为=(x,y,z),由,得,取 z=1,得=(,0,1),设平面 B1BD 的法向量为=(x,y,z),由,得,取 z=1,得=(0,1),cos,=,又该二面角为钝角,二面角 A1BDB1的平面角的余弦值为 点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题 18(15 分)考点:二次函数在闭区间上的最值菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用 分析:(1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值,由 a 的范围明确函数的单调性,结合已知以及三角不等式变形所求得到证明;(2)讨论 a=b=0 以及分析 M(a,b)2 得到3a+b1 且3ba1,进一步求出|a|+|b|的求值 解答:解:(1)由已知可得 f(1)=1+a+b,f(1)=1a+b,对称轴为 x=,因为|a|2,所以或1,所以函数 f(x)在1,1上单调,所以 M(a,b)=max|f(1),|f(1)|=max|1+a+b|,|1a+b|,所以 M(a,b)(|1+a+b|+|1a+b|)|(1+a+b)(1a+b)|2a|2;(2)当 a=b=0 时,|a|+|b|=0 又|a|+|b|0,所以0 为最小值,符合题意;又对任意 x1,1有2x2+ax+b2 得到3a+b1 且3ba1,易知|a|+|b|=max|ab|,|a+b|=3,在 b=1,a=2 时符合题意,所以|a|+|b|的最大值为 3 点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解 M(a,b)是|f(x)|在区间1,1上的最大值,以及利用三角不等式变形 19(15 分)考点:直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有 专题:创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题 分析:(1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=my+n,代入椭圆方程可得(m2+2)y22mny+n22=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2)可得0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0),利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P,代入直线 y=mx+,可得,代入0,即可解出(2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n,可得 SOAB=,再利用均值不等式即可得出 解答:解:(1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=my+n,代入椭圆方程,可得(m2+2)y22mny+n22=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2)由题意,=4m2n24(m2+2)(n22)=8(m2n2+2)0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0),则x0=m+n=,由于点 P 在直线 y=mx+上,=+,代入0,可得 3m4+4m240,解得 m2,或 m(2)直线 AB 与 x 轴交点纵坐标为 n,SOAB=|n|=,由均值不等式可得:n2(m2n2+2)=,SAOB=,当且仅当 n2=m2n2+2,即 2n2=m2+2,又,解得 m=,当且仅当 m=时,SAOB取得最大值为 点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题 20(15 分)考点:数列的求和;数列与不等式的综合菁优网版权所有 专题:创新题型;点列、递归数列与数学归纳法 分析:(1)通过题意易得 0an(nN*),利用 anan+1=可得1,利用=2,即得结论;(2)通过=anan+1累加得 Sn=an+1,利用数学归纳法可证明an(n2),从而,化简即得结论 解答:证明:(1)由题意可知:0an(nN*),又a2=a1=,=2,又anan+1=,anan+1,1,=2,12(nN*);(2)由已知,=anan+1,=an1an,=a1a2,累加,得 Sn=+=a1an+1=an+1,易知当 n=1 时,要证式子显然成立;当 n2 时,=下面证明:an(n2)易知当 n=2 时成立,假设当 n=k 时也成立,则 ak+1=+,由二次函数单调性知:an+1+=,an+1+=,即当 n=k+1 时仍然成立,故对 n2,均有an,=,即(nN*)点评:本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题- 配套讲稿:
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