2009年北京高考理科数学试题及答案.doc

2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。

一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量不共线，如果，那么
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则
到底面的距离为
A． B．1 C． D．
5．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若为有理数），则
A．45 B．55 C．70 D．80
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
A．324 B．328 C．360 D．648
8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．___________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10．若实数满足则的最小值为__________。
11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为______________。
12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为____________。
13．若函数 则不等式的解集为____________。
14．已知数列满足：则________；=____________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
在中，角的对边分别为，。
（I）求的值；
（Ⅱ）求的面积。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，底面，
点，分别在棱上，且
（I）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说
明理由。

17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。

18．（本小题共13分）
设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19．（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（I）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20．（本小题共13分）
已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。
（I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A
9． 10． 11． 12． 13． 14．1，0
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面积.
16．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小为.
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.
17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.
（Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），
∴，
∴即的分布列是

0
2
4
6
8

∴的期望是.
18．（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；
若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.
19．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，
∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，化简得
由 及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，∵，
且，

.
∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m

20．（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.
从而，∴
∵， ∴，故.
由A具有性质P可知.
又∵， ∴，
从而，∴.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，由A具有性质P可知.
由，得，且，∴，∴，
即是首项为1，公比为成等比数列.

解析

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.
∵，∴复数所对应的点为，故选B.
2．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ）
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．，
B．，
C．，
D．.
故应选C.
4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则
到底面的距离为 （ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）
属于基础知识、基本运算的考查.
依题意，，如图，
，故选D.
5．“”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
当时，，
反之，当时，有，
或，故应选A.
6．若为有理数），则 （ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
【答案】C
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵
，
由已知，得，∴.故选C.
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个），
当0不排在末位时，有（个），
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.
8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且
，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”
【答案】A
【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解，如图，
设，
则，
∵，
∴
消去n,整理得关于x的方程 （1）
∵恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．_________.
W【答案】
【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查.
，故应填.
10．若实数满足则的最小值为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，当时，
为最小值.
故应填.
11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.
【答案】
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算
的考查.
取，如图，采用数形结合法，
易得该曲线在处的切线的斜率为.
故应填.

12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属
于基础知识、基本运算的考查.
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又由余弦定理，得，
∴，故应填.
13．若函数 则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由.
（2）由.
∴不等式的解集为，∴应填.
14．已知数列满足：则________；
=_________.
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得，.
∴应填1，0.
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
在中，角的对边分别为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面积.
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，底面，
点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小为.
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.
【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的大小为.
（Ⅲ）同解法1.
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.
（Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），
∴，
∴即的分布列是

0
2
4
6
8

∴的期望是.

18．（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；
若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.
19．（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，
解得，
∴，
∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得
由 及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
∵，
且，

.
∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】
（Ⅰ）同解法1
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得.
由 及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，∴，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
∴，
∴ 的大小为.
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

20．（本小题共13分）
已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列..k.s.5.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.
从而，∴
∵， ∴，故.
由A具有性质P可知.
又∵，
∴，
从而，
∴.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，
∴，∴，
由A具有性质P可知.
由，得，且，∴，
∴，
即是首项为1，公比为成等比数列.
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