2013年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.pdf

1 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理理 科科 数数 学学 参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 如果事件如果事件 A、B 独立，那么独立，那么。()()+()P ABP AP B()()()P ABP AP B第卷（共第卷（共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题。每小题小题。每小题 5 分共分共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数满组（为虚数单位），则的共轭复数为 z(3)(2)5zizzz(A)(B)(C)(D)2i2i5i5i2、已知集合，则集合中元素的个数是 0,1,2A,Bxy xA yA(A)1 (B)3 (C)5 (D)9 3、已知函数为奇函数，且当时，则()f x0 x21(),f xxx(1)f(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 4、已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的111ABCABC943P111ABC中心，则与平面所成角的大小为 PAABC(A)(B)(C)(D)5123465、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 sin(2)yxx8(A)(B)(C)(D)344046、在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 的斜率的最xOyM220210,380，xyxyxyOM小值为 (A)2 (B)1 (C)(D)13127、给定两个命题 若是的必要不充分条件，则是的,.p qpqpq(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 8、函数的图象大致为 cossinyxxx (A)(B)(C)(D)9、过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(3,1)22(1)1xy,A BAB(A)(B)(C)(D)230 xy230 xy430 xy430 xy10、用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A)243 (B)252 (C)261 (D)279 11、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点 若211:(0)2Cyxpp222:13xCy1C.M1C在点处的切线平行于的一条渐近线，则 M2Cp(A)(B)(C)(D)316382 334 3312、设正实数满足则当取得最大值时，的最大值为,x y z22340.xxyyzxyz212xyz(A)0 (B)1 (C)(D)943第卷（共第卷（共 90 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分。分。13、执行右图所示的程序框图，若输入的值为 0.25，c则输出的的值为 _.n14、在区间上随机取一个数，-3,3x使得成立的概率为_.121xx15、已知向量与的夹角为，ABAC0120且若，3,2.ABAC APABAC且，则实数的值为_.APBC 16、定义“正对数”：现有四个命题：0,01,lnln,1.xxxx若，则；0,0abln()lnbaba若，则；0,0abln()lnlnabab若，则；0,0abln()lnlnaabbOxyOxyOxyOxy是结 束输出n否开 始输入(0)011,2,1FFn101FFF010FFF1nn11F2 若，则.0,0abln()lnlnln2abab其中的真命题有_.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分分.17、（本小题满分 12 分）设的内角所对的边分别为，且.ABC,A B C,a b c76,2,cos.9acbB （）求的值；,a c （）求的值.sin()AB 18、（本小题满分 12 分）如图所示，在三棱锥中，PABQ平面PBABQ，分别是 BABPBQ,D C E F,AQ BQ AP BP的中点，与交于点，2AQBDPDEQG与交于点，连接.PCFQHGH （）求证：；/ABGH （）求二面角的余弦值。DGHE 19、（本小题满分 12 分）甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。23 （）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率；（）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分。求乙队得分的分布列和数学期望。X 20、（本小题满分 12 分）设等差数列的前项和为，且 nannS4224,21.nnSS aa（）求数列的通项公式；na （）设数列的前项和为，且（为常数）。令，求数列的前 nbnnT12nnnaT22,(*)nncbnN nc项和。nnR 21、（本小题满分 13 分）设函数（是自然对数的底数，）2()xxf xce2.71828ecR（）求的单调区间、最大值；()f x （）讨论关于的方程根的个数。xln()xf x 22、（本小题满分 13 分）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴 2222:1(0)xyCabab12,F F321Fx的直线被椭圆截得的线段长为 1.C（）求椭圆的方程；C （）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交 PC12,PF PF12FPFPMC的长轴于点，求的取值范围；(,0)M mm（）在（）的条件下，过点作斜率为的直线，使得 与椭圆有且只有一个公共点。设直线PkllC的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.12,PF PF12,kk0k1211kkkkFPHEGACBQD3 一、选择题一、选择题 1（5 分）（2013山东）复数 z 满足（z3）（2i）=5（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 为（）A 2+i B 2i C 5+i D 5i 考点：复数的基本概念3253948 专题：计算题 分析：利用复数的运算法则求得 z，即可求得 z 的共轭复数 解答：解：（z3）（2i）=5，z3=2+i z=5+i，=5i 故选 D 点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数 z 是关键，属于基础题 2（5 分）（2013山东）已知集合 A=0，1，2，则集合 B=xy|xA，yA中元素的个数是（）A 1 B 3 C 5 D 9 考点：集合中元素个数的最值3253948 专题：计算题 分析：依题意，可求得集合 B=2，1，0，1，2，从而可得答案 解答：解：A=0，1，2，B=xy|xA，yA，当 x=0，y 分别取 0，1，2 时，xy 的值分别为 0，1，2；当 x=1，y 分别取 0，1，2 时，xy 的值分别为 1，0，1；当 x=2，y 分别取 0，1，2 时，xy 的值分别为 2，1，0；B=2，1，0，1，2，集合 B=xy|xA，yA中元素的个数是 5 个 故选 C 点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题 3（5 分）（2013山东）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，则 f（1）=（）A 2 B 0 C 1 D 2 考点：函数的值3253948 专题：计算题；函数的性质及应用 分析：利用奇函数的性质，f（1）=f（1），即可求得答案 解答：解：函数 f（x）为奇函数，x0 时，f（x）=x2+，f（1）=f（1）=2，故选 A 点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题 4（5 分）（2013山东）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（）A B C D 考点：直线与平面所成的角3253948 专题：空间角 分析：利用三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，APA1为 PA 与平面 A1B1C1所成角，即为APA1为 PA 与平面 ABC 所成角利用三棱锥的体积计算公式可得 AA1，再利用正三角形的性质可得 A1P，在 RtAA1P 中，利用 tanAPA1=即可得出 解答：解：如图所示，AA1底面 A1B1C1，APA1为 PA 与平面 A1B1C1所成角，平面 ABC平面 A1B1C1，APA1为 PA 与平面 ABC 所成角=V三棱柱 ABCA1B1C1=，解得 又 P 为底面正三角形 A1B1C1的中心，=1，在 RtAA1P 中，故选 B 点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键 5（5 分）（2013山东）函数 y=sin（2x+）的图象沿 x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为（）A B C 0 D 考点：函数 y=Asin（x+）的图象变换3253948 4 专题：计算题；三角函数的图像与性质 分析：利用函数 y=Asin（x+）的图象变换可得函数 y=sin（2x+）的图象沿 x 轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案 解答：解：令 y=f（x）=sin（2x+），则 f（x+）=sin2（x+）+=sin（2x+），f（x+）为偶函数，+=k+，=k+，kZ，当 k=0 时，=故 的一个可能的值为 故选 B 点评：本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题 6（5 分）（2013山东）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为（）A 2 B 1 C D 考点：简单线性规划3253948 专题：不等式的解法及应用 分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可 解答：解：不等式组表示的区域如图，当 M 取得点 A（3，1）时，z 直线 OM 斜率取得最小，最小值为 k=故选 C 点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 7（5 分）（2013山东）给定两个命题 p，q若p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是q 的（）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断3253948 专题：规律型 分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为 q 是p 的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案 解答：解：p 是 q 的必要而不充分条件，q 是p 的充分不必要条件，即 qp，但p 不能q，其逆否命题为 pq，但q 不能p，则 p 是q 的充分不必要条件 故选 A 点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为 q 是p 的充分不必要条件，是解答的关键 8（5 分）（2013山东）函数 y=xcosx+sinx 的图象大致为（）A B C D 考点：函数的图象3253948 专题：函数的性质及应用 分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 B，然后利用区特值排除 A 和 C，则答案可求 解答：解：因为函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项 B，由当 x=时，当 x=时，y=cos+sin=0 由此可排除选项 A 和选项 C 5 故正确的选项为 D 故选 D 点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题 9（5 分）（2013山东）过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（）A 2x+y3=0 B 2xy3=0 C 4xy3=0 D 4x+y3=0 考点：圆的切线方程；直线的一般式方程3253948 专题：计算题；直线与圆 分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除 B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可 解答：解：因为过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，所以圆的一条切线方程为 y=1，切点之一为（1，1），显然 B、D 选项不过（1，1），B、D 不满足题意；另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项 C 不满足，A 满足 故选 A 点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习 10（5 分）（2013山东）用 0，1，2，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A 243 B 252 C 261 D 279 考点：排列、组合及简单计数问题3253948 专题：计算题 分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可 解答：解：用 0，1，2，9 十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非 0 的 9 个数字中选取一位，十位数从余下的 9 个数字中选一个，个位数再从余下的 8 个中选一个，所以共有：998=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900648=252 故选 B 点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力 11（5 分）（2013山东）抛物线 C1：的焦点与双曲线 C2：的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p=（）A B C D 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质3253948 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值 解答：解：由，得 x2=2py（p0），所以抛物线的焦点坐标为 F（）由，得，所以双曲线的右焦点为（2，0）则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即 设该直线交抛物线于 M（），则 C1在点 M 处的切线的斜率为 由题意可知，得，代入 M 点得 M（）把 M 点代入得：解得 p=故选 D 点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题 12（5 分）（2013山东）设正实数 x，y，z 满足 x23xy+4y2z=0则当取得最大值时，的最大值为（）A 0 B 1 C D 3 考点：基本不等式3253948 专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用 分析：依题意，当取得最大值时 x=2y，代入所求关系式 f（y）=+，利用配方法即可求得其最大值 解答：解：x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，又 x，y，z 均为正实数，=1（当且仅当 x=2y 时取“=”），=1，此时，x=2y z=x23xy+4y2=（2y）232yy+4y2=2y2，+=+=+11 的最大值为 1 故选 B 点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到 x=2y 是关键，考查配方法求最值，属于中档题 6 二、填空题二、填空题 13（4 分）（2013山东）执行右面的程序框图，若输入的 值为 0.25，则输出的 n 值为3 考点：程序框图3253948 专题：图表型 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出 n 的值 解答：解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，此时，满足条件，退出循环，输出 n=3，故答案为：3 点评：本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题 14（4 分）（2013山东）在区间3，3上随机取一个数 x 使得|x+1|x2|1 的概率为 考点：几何概型；绝对值不等式的解法3253948 专题：不等式的解法及应用；概率与统计 分析：本题利用几何概型求概率先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间3，3的长度求比值即得 解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度 由不等式|x+1|x2|1 可得，或，解可得 x，解可得 1x2，解可得 x2 故原不等式的解集为x|x1，|在区间3，3上随机取一个数 x 使得|x+1|x2|1 的概率为 P=故答案为：点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 15（4 分）（2013山东）已知向量与的夹角为 120，且，若，且，则实数=考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模3253948 专题：计算题；压轴题；平面向量及应用 分析：利用，表示向量，通过数量积为 0，求出 的值即可 解答：解：由题意可知：，因为，所以，所以=12+7=0 解得=故答案为：点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力 16（4 分）（2013山东）定义“正数对”：ln+x=，现有四个命题：若 a0，b0，则 ln+（ab）=bln+a；若 a0，b0，则 ln+（ab）=ln+a+ln+b；7 若 a0，b0，则；若 a0，b0，则 ln+（a+b）ln+a+ln+b+2 其中的真命题有（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用3253948 专题：综合题；压轴题；新定义 分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 a，b 分类讨论，判断出每个命题的真假 解答：解：对于，由定义，当 a1 时，ab1，故 ln+（ab）=ln（ab）=blna，又 bln+a=blna，故有 ln+（ab）=bln+a；当 a1 时，ab1，故 ln+（ab）=0，又 a1 时 bln+a=0，所以此时亦有 ln+（ab）=bln+a由上判断知正确；对于，此命题不成立，可令 a=2，b=，则 ab=，由定义 ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以 ln+（ab）ln+a+ln+b；由此知错误；对于，当 ab0 时，1，此时0，当 ab1 时，ln+aln+b=lnalnb=，此时命题成立；当 a1b 时，ln+aln+b=lna，此时，故命题成立；同理可验证当 1ab0 时，成立；当 1 时，同理可验证是正确的，故正确；对于，可分 a1，b1 与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1 三类讨论，依据定义判断出是正确的 故答案为 点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错 三、解答题三、解答题 17（12 分）（2013山东）设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，（1）求 a，c 的值；（2）求 sin（AB）的值 考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理3253948 专题：解三角形 分析：（1）利用余弦定理列出关于新，将 b 与 cosB 的值代入，利用完全平方公式变形，求出 acb 的值，与 a+c的值联立即可求出 a 与 c 的值即可；（2）先由 cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，再由 a，b 及 sinB 的值，利用正弦定理求出 sinA 的值，进而求出 cosA 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值 解答：解：（1）a+c=6，b=2，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=（a+c）22acac=36ac=4，整理得：ac=9，联立解得：a=c=3；（2）cosB=，B 为三角形的内角，sinB=，b=2，a=3，sinB=，由正弦定理得：sinA=，a=c，即 A=C，A 为锐角，cosA=，则 sin（AB）=sinAcosBcosAsinB=点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18（12 分）（2013山东）如图所示，在三棱锥 PABQ 中，PB平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH（1）求证：ABGH；（2）求二面角 DGHE 的余弦值 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质3253948 专题：空间位置关系与距离；空间角 分析：（1）由给出的 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到 DC 平行于 EF，再利用线面平行的判定和性质得到 DC 平行于 GH，从而得到 ABGH；（2）由题意可知 BA、BQ、BP 两两相互垂直，以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 BA、BQ、BP 的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角DGHE 的余弦值 解答：（1）证明：如图，8 C，D 为 AQ，BQ 的中点，CDAB，又 E，F 分别 AP，BP 的中点，EFAB，则 EFCD又 EF平面 EFQ，CD平面 EFQ 又 CD平面 PCD，且平面 PCD平面 EFQ=GH，CDGH 又 ABCD，ABGH；（2）由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，三角形 ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，分别以 BA、BQ、BP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，则 D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），因为 H 为三角形 PBQ 的重心，所以 H（0，）则，设平面 GCD 的一个法向量为 由，得，取 z1=1，得 y1=2 所以 设平面 EFG 的一个法向量为 由，得，取 z2=2，得 y2=1 所以 所以=则二面角 DGHE 的余弦值等于 点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出 H 点的坐标，是中档题 19（12 分）（2013山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队 3：0，3：1，3：2 胜利的概率；（2）若比赛结果 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分，对方得 1 分，求乙队得分 X 的分布列及数学期望 考点：离散型随机变量的期望与方差3253948 专题：概率与统计 分析：（1）甲队获胜有三种情形，3：0，3：1，3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X 的取值可能为 0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可 解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 3：0，概率为 P1=（）3=；3：1，概率为 P2=C（）2（1）=；3：2，概率为 P3=C（）2（1）2=甲队 3：0，3：1，3：2 胜利的概率：（2）乙队得分 X，则 X 的取值可能为 0，1，2，3 由（1）知 P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1）2（）2=；P（X=3）=（1）3+C（1）2（）=；则 X 的分布列为 X 3 2 1 0 P E（X）=3+2+1+0=点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题 20（12 分）（2013山东）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前 n 项和为 Tn且（为常数）令 cn=b2n（nN）求数列cn的前 n 项和 Rn 9 考点：等差数列的通项公式；数列的求和3253948 专题：等差数列与等比数列 分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列an的通项公式；（2）把an的通项公式代入，求出当 n2 时的通项公式，然后由 cn=b2n得数列cn的通项公式，最后利用错位相减法求其前 n 项和 解答：解：（1）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由 a2n=2an+1，取 n=1，得 a2=2a1+1，即 a1d+1=0 再由 S4=4S2，得，即 d=2a1 联立、得 a1=1，d=2 所以 an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）把 an=2n1 代入，得，则 所以 b1=T1=1，当 n2 时，=所以，Rn=c1+c2+cn=得：=所以；所以数列cn的前 n 项和 点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题 21（13 分）（2013山东）设函数（1）求 f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于 x 的方程|lnx|=f（x）根的个数 考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断3253948 专题：压轴题；导数的综合应用 分析：（1）利用导数的运算法则求出 f（x），分别解出 f（x）0 与 f（x）0 即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：当 0 x1 时，令 u（x）=lnxc，当 x1 时，令 v（x）=lnx利用导数分别求出 c 的取值范围，即可得出结论 解答：解：（1）=，解 f（x）0，得；解 f（x）0，得 函数 f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为 故 f（x）在 x=取得最大值，且（2）函数 y=|lnx|，当 x0 时的值域为0，+）如图所示：当 0 x1 时，令 u（x）=lnxc，c=g（x），则=令 h（x）=e2x+x2x2，则 h（x）=2e2x+14x0，h（x）在 x（0，1单调递增，1=h（0）h（x）h（1）=e21 g（x）0，g（x）在 x（0，1单调递减 c 当 x1 时，令 v（x）=lnx，得到 c=lnx=m（x），则=0，故 m（x）在1，+）上单调递增，cm（1）=综上可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根 10 点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法 22（13 分）（2013山东）椭圆 C：的左右焦点分别是 F1，F2，离心率为，过 F1且垂直于x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0），求 m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1，PF2的斜率分别为 k1，k2，若 k0，试证明为定值，并求出这个定值 考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质3253948 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：（1）把c 代入椭圆方程得，解得，由已知过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1，可得再利用，及 a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得 t+n=2a=4，消去 t 得到，化为，再根据 acna+c，即可得到 m 的取值范围；（3）设 P（x0，y0），不妨设 y00，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到 k1，k2，代入即可证明结论 解答：解：（1）把c 代入椭圆方程得，解得，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1，又，联立得解得，椭圆 C 的方程为（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又 t+n=2a=4，消去 t 得到，化为，acna+c，即，也即，解得 m 的取值范围；（3）证明：设 P（x0，y0），不妨设 y00，由椭圆方程，取，则=，k=，=，=8 为定值 点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力