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2002年天津高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线与圆相切，则的值为　　
A． B． C．1 D．
2．（5分）已知，为异面直线，平面，平面，，则　　
A．与，都相交 B．与，中至少一条相交
C．与，都不相交 D．至多与，中的一条相交
3．（5分）不等式的解集是　　
A． B．且 C． D．且
4．（5分）函数在，上的最大值与最小值的和为3，则　　
A． B．2 C．4 D．
5．（5分）在内，使成立的的取值范围是　　
A．，， B．，
C．， D．，，
6．（5分）设集合，，，，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）椭圆的一个焦点是，那么等于　　
A． B．1 C． D．
8．（5分）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是　　
A． B． C． D．
9．（5分）函数是单调函数的充要条件是　　
A． B． C． D．
10．（5分）已知，则有　　
A． B． C． D．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有　　
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
12．（5分）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）据新华社2002年3月12日电，1958年到2000年间，我国农村人均居住面积如下图所示其中，从　 　到　 　年的五年间增长最快．

14．（4分）已知，则　 　．
15．（4分）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 　 　．
16．（4分）设函数在内有定义，下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中必为奇函数的有　 　（要求填写正确答案的序号）．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）在等比数列中，已知，，求前8项的和．
18．（12分）已知，，求、的值．
19．（12分）选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点、、、的坐标；
（Ⅱ）求与侧面所成的角

乙、如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直．点在上移动，点在上移动，若．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）当为何值时，的长最小；
（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小．

20．（12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
21．（12分）已知，函数，，设，记曲线在点，处的切线为，
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为，证明：
①；
②若则．
22．（14分）已知两点，，且点使，，成公差小于零的等差数列．
（1）点的轨迹是什么曲线？
（2）若点坐标为，，记为与的夹角，求．

参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线与圆相切，则的值为　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：由圆心到直线的距离可知：，，．
故选：．
2．（5分）已知，为异面直线，平面，平面，，则　　
A．与，都相交 B．与，中至少一条相交
C．与，都不相交 D．至多与，中的一条相交
【解答】解：由题意，与，都相交且交点不重合时，，为异面直线；
若与相交且与平行时，，为异面直线；
若与，都不相交时，又因，，所以，同理，则．
故选：．
3．（5分）不等式的解集是　　
A． B．且 C． D．且
【解答】解：求不等式的解集
则分两种情况讨论：
情况即：
则：．
情况即：
则：
两种情况取并集得且．
故选：．
4．（5分）函数在，上的最大值与最小值的和为3，则　　
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：根据题意，由的单调性，
可知其在，上是单调函数，即当和1时，取得最值，
即，
再根据其图象，可得，
则，
即，
故选：．
5．（5分）在内，使成立的的取值范围是　　
A．，， B．，
C．， D．，，
【解答】解：，
，
，
在内，
，
故选：．
6．（5分）设集合，，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：当（为偶数）时，
当（为奇数）时，

故选：．
7．（5分）椭圆的一个焦点是，那么等于　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：椭圆 即，
焦点坐标为，，
，，
故选：．
8．（5分）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接、．
正六棱柱的底面边长为1，则，，
则可知，
故选：．
9．（5分）函数是单调函数的充要条件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数在，上为单调函数
，即．
故选：．
10．（5分）已知，则有　　
A． B． C． D．
【解答】解：，

故选：．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有　　
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共种不同的取法，
而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，
则选法共有种；
故选：．
12．（5分）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：点满足且，
、、三点共线．
点的轨迹是直线
又、，
直线的方程为：整理得
故点的轨迹方程为
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）据新华社2002年3月12日电，1958年到2000年间，我国农村人均居住面积如下图所示其中，从　1995　到　 　年的五年间增长最快．

【解答】解：1985年到1990年五年间人均增长的面积为
1990年到1995年五年间人均增长的面积为
1995年到2000年五年间人均增长的面积为

故答案为：1995；2000
14．（4分）已知，则　　．
【解答】解：由化简得：，即
因为，得到，由，，得到，
所以
故答案为：
15．（4分）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 　甲　．
【解答】解：由题意知，
；
，
．
．
产量比较稳定的小麦品种是甲，
故答案为：甲
16．（4分）设函数在内有定义，下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中必为奇函数的有　（2），（4）　（要求填写正确答案的序号）．
【解答】解：中与不一定相等，所以（1）不是奇函数；
可以看成为两个函数的乘积，其中，是奇函数，是偶函数，故（2）是奇函数．
奇偶性没办法确定．故（3）不是奇函数．
令因为，故（4）是奇函数
故答案为：（2）（4）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）在等比数列中，已知，，求前8项的和．
【解答】解：设数列的公比为，依题意，
，（1）
，

将代入到（1）式，得，，舍去．
将代入到（1）式，得，．
，
．
18．（12分）已知，，求、的值．
【解答】解：由，得

．
因为，所以，且，
所以，即，
所以，即．
19．（12分）选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点、、、的坐标；
（Ⅱ）求与侧面所成的角

乙、如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直．点在上移动，点在上移动，若．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）当为何值时，的长最小；
（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小．

【解答】甲、解：（1）如图，以点为坐标原点，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，
以经过原点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系．
由已知，得，0，，，，，

（2）坐标系如上．取的中点，
于是有，
连，有，
且
由于
所以，面
与所成的角就是与侧面所成的角．
，

而

，
所以，与所成的角，
即与侧面所成的角为
乙、解：（1）作交于点，
交于点，连接，依题意可得，且，
即是平行四边形．
由已知，，，

即

（2）由（1）
所以，当时，
即，分别移动到，的中点时，
的长最小，最小值为
（3）取的中点，连接、，
，，，，
即为二面角的平面角．
又，
所以由余弦定理有．
故所求二面角．

20．（12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
【解答】解：（1）根据题意，可得，“至少3人同时上网”与“至多2人同时上网”互为对立事件，
故“至少3人同时上网”的概率等于1减去“至多2人同时上网”的概率，
即“至少3人同时上网”的概率为．
（2）至少4人同时上网的概率为，
至少5人同时上网的概率为，
因此，至少5人同时上网的概率小于0.3．
21．（12分）已知，函数，，设，记曲线在点，处的切线为，
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为，证明：
①；
②若则．
【解答】解：（1）的导数，
由此得切线的方程；
（2）①依题意，在切线方程中令，
得，
，
，当且仅当时取等成立．
②若，则，，
且由①，
所以．
22．（14分）已知两点，，且点使，，成公差小于零的等差数列．
（1）点的轨迹是什么曲线？
（2）若点坐标为，，记为与的夹角，求．
【解答】解：（1）记，由，得，
，，
，
，
，
，，是公差小于零的等差数列

即，
点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆．
（2）点的坐标为，，则，
，

，
，
，
，，
，

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