2019年广东高考(理科)数学试题及答案.pdf
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1、绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4 页,23 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
2、求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则=24260MxxNx xx,MNA B C D 43xx 42xx 22xx 23xx2设复数 z 满足,z 在复平面内对应的点为(x,y),则=1iz A B C D 22+11()xy221(1)xy22(1)1yx 22(+1)1yx 3已知,则 0.20.32log 0.220.2abc,A B C D abcacbcabbca4古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至
3、足底的长度之比是(0.618,称512512为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖子下端的长度为 26 512cm,则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 5函数 f(x)=2sincosxxxx在的图像大致为,A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A B C D 5
4、161132213211167已知非零向量 a,b 满足,且b,则 a 与 b 的夹角为|2|ab()abA B C D 6323568如图是求的程序框图,图中空白框中应填入 112122 AA=BA=CA=DA=12A12A112A112A9记nS为等差数列的前 n 项和已知,则 na4505Sa,A B C D 25nan310nan228nSnn2122nSnn10已知椭圆 C 的焦点为,过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点若,121,01,0FF(),()22|2|AFF B,则 C 的方程为 1|ABBFA B C D 2212xy22132xy22143xy22154xy11关
5、于函数有下述四个结论:()sin|sin|f xxxf(x)是偶函数 f(x)在区间(,)单调递增 2f(x)在有 4 个零点 f(x)的最大值为 2,其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为 A B C D 6864626二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13曲线在点处的切线方程为_ 23()exyxx(0)0,14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若,则 S5=_ 214613aaa,
6、15甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束)根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是_ 16已知双曲线 C:的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别22221(0,0)xyabab交于 A,B 两点若,则 C 的离心率为_ 1F AAB 120FB F B 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,
7、考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17(12 分)的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设 ABC22(sinsin)sinsinsinBCABC(1)求 A;(2)若,求 sinC 22abc18(12 分)如图,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N 分别是 BC,BB1,A1D 的中点 (1)证明:MN平面 C1DE;(2)求二面角 A-MA1-N 的正弦值 19(12 分)已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P(1)若|AF|+|BF|=
8、4,求 l 的方程;(2)若3APPB ,求|AB|20(12 分)已知函数,为的导数证明:()sinln(1)f xxx()fx()f x(1)在区间存在唯一极大值点;()fx(1,)2(2)有且仅有 2 个零点()f x21(12 分)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的
9、白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白1鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分1别记为 和,一轮试验中甲药的得分记为 X(1)求的分布列;X(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分,表示“甲药的累计得分为 时,最终认为甲(0,1,8)ip i i药 比 乙 药 更 有 效”的 概 率,则,其 中00p 81p 11iiiipapbpcp(1,2,7)i,假设,(1)aP X(0)bP X(1)cP X0.50.8(i)证明:为等比数列;1iipp(0,1,2,7)i(ii)求,并
10、根据的值解释这种试验方案的合理性 4p4p(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修 44:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为2221141txttyt,(t 为参数)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45:不等式选讲(10 分)已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1证明:(1);222111abcabc(2)333(
11、)()()24abbcca 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学解析理科数学解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1.已知集合,则=24260MxxNx xx,MNA.B.C.D.43xx 42xx 22xx 23xx【答案】C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养采取数轴法,利用数形结合的思想解题【详解】由题意得,则 42,23
12、MxxNxx 故选 C 22MNxx 总结:不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分 2.设复数 z 满足,z 在复平面内对应的点为(x,y),则=1iz A.B.C.D.22+11()xy22(1)1xy22(1)1xy22(+1)1yx【答案】C【分析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易此题可采用几何法,根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案 C【详解】则故选 C,(1),zxyi zixyi 22(1)1,zixy22(1)1xy总结:本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法,利用
13、方程思想解题 3.已知,则 0.20.32log 0.2,2,0.2abcA.B.C.D.abcacbcabbca【答案】B【分析】运用中间量比较,运用中间量 比较 0,a c1,b c【详解】则故选 B 22log 0.2log 10,a 0.20221,b 0.3000.20.21,01,cacb总结:本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法,利用转化与化归思想解题 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(0.618,称512512为黄金分割比例),著名
14、的“断臂维纳斯”便是如此此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则512其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm【答案】B【分析】理解黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至腿根的长为 x cm,肚脐至腿根的长为 y cm,则,得2626511052xxy 又 其 腿 长 为 105cm,头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26cm,所 以 其 身 高 约 为42.07,5.15xcm ycm4207+515+10
15、5+26=17822,接近 175cm故选 B 总结:本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法,利用转化思想解题 5.函数 f(x)=在,的图像大致为 2sincosxxxxA.B.C.D.【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除 A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案()f x【详解】由,得是奇函数,其图象关于原点对称又22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxf xxxxx ()f x故选 D 221422()1,2()2f2()01f 总结:本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值
16、法,利用数形结合思想解题 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A.B.C.D.516113221321116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题,渗透了传统文化、数学计算等数学素养,“重卦”中每一爻有两种情况,基本事件计算是住店问题,该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题,利用直接法即可计算【详解】由题知,每一爻有 2 中情况,一重卦的 6 爻有情况,其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有,所以该重6236C
17、卦恰有 3 个阳爻的概率为=,故选 A 3662C516总结:对利用排列组合计算古典概型问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题,所以基本事件的计算是“住店”问题,满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7.已知非零向量 a,b 满足=2,且(ab)b,则 a 与 b 的夹角为 abA.B.C.D.632356【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角()abb,a b【详解】因为,所以=
18、0,所以,所以=,所()abb2()abba bb 2a bbcos22|12|2a bbabb以与的夹角为,故选 B ab3总结:对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为 0,8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入 112122 A.A=B.A=C.A=D.A=12A12A112A112A【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图,渗透阅读、分析与解决问题等素养,认真分析式子结构特征与程序框图结构,即可找出作出选择【详解】执行第 1 次,是,因为第一次应该计算=,=2,循环,执行第 21,122Ak 11
19、2212A1kk次,是,因为第二次应该计算=,=3,循环,执行第 3 次,22k 11212212A1kk22k 否,输出,故循环体为,故选 A 12AA总结:秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为 12AA9.记为等差数列的前 n 项和已知,则 nSna4505Sa,A.B.C.D.25nan310nan228nSnn2122nSnn【答案】A【分析】等差数列通项公式与前 n 项和公式本题还可用排除,对 B,排除 B,对55a 44(72)1002S C,排除C对D,245540,2 58 50105SaSS ,排除 D,故选 A 2455410,42 40052SaSS 【详解
20、】由题知,解得,故选 A 415144 30245dSaaad 132ad 25nan总结:本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,在适当计算即可做了判断 10.已知椭圆 C 的焦点为,过 F2的直线与 C 交于 A,B 两点.若,121,01,0FF(),()222AFF B,则 C 的方程为 1ABBFA.B.C.D.2212xy22132xy22143xy22154xy【答案】B【分析】可以运用下面方法求解:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有2F Bn212,3AFnB
21、FABn在和中,由余弦定理得121224,22aBFBFnAFaAFn12AFF12BFF,又互补,两式22212221442 22 cos4,422 cos9nnAF FnnnBF Fn 2121,AF FBF F2121coscos0AF FBF F消去,得,解得2121coscosAF FBF F,223611nn32n 所求椭圆方程为,故选 B 222242 3,3,3 12,anabac 22132xy【详 解】如 图,由 已 知 可 设,则,由 椭 圆 的 定 义 有2F Bn212,3AFnBFABn在中,由余弦定理推论得121224,22aBFBFnAFaAFn1AFB在中,由
22、余弦定理得,解得 22214991cos2 233nnnF ABnn12AFF221442 2243nnnn 32n 所求椭圆方程为,故选 B 222242 3,3,3 12,anabac 22132xy 总结:本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 11.关于函数有下述四个结论:()sin|sin|f xxxf(x)是偶函数 f(x)在区间(,)单调递增 2f(x)在有 4 个零点 f(x)的最大值为 2,其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D.【答案】C【分析】画出函数的图象,由图象可得正确,故选 C sinsinf
23、 xxx【详解】为偶函数,故正确当 sinsinsinsin,fxxxxxf xf x2x时,它在区间单调递减,故错误当时,它有两个零 2sinf xx,20 x 2sinf xx点:;当时,它有一个零点:,故在有0 0 x sinsin2sinf xxxx f x,个零点:,故错误当时,;当30 2,2xkkkN 2sinf xx时,又为偶函数,的最大值为,2,22xkkk N sinsin0f xxx f x f x2故正确综上所述,正确,故选 C 总结:化简函数,研究它的性质从而得出正确答案 sinsinf xxx12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=P
24、C,ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为 A.B.C.D.8 64 62 66【答案】D【分析】本题也可用解三角形方法,达到求出棱长的目的适合空间想象能力略差学生 设,分别为中点,2PAPBPCx,E F,PA AB,且,为边长为 2的等边三角形,/EFPB12EFPBxABC又 3CF90CEF213,2CExAEPAx中余弦定理,作于,AEC2243cos2 2xxEACx PDACDPAPC为中点,DQAC1cos2ADEACPAx2243142xxxx,又,两两垂221221222xxx 2PAPBPC=2AB BC AC
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