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2002年北京高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）满足条件，2，的集合的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点，，则的值是　　
A． B． C． D．1
3．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间，上为减函数的是　　
A． B． C． D．
4．（5分）在下列四个正方体中，能得出的是　　
A． B．
C． D．
5．（5分）64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则　　
A．且 B．且
C．且 D．且
6．（5分）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围　　
A． B． C． D．
7．（5分）等于　　
A． B． C． D．16
8．（5分）若，则的值为　　
A． B． C． D．
9．（5分）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为　　
A．480 B．240 C．120 D．96
10．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知的定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是　　

A．，， B．
C． D．，，
12．（5分）如图所示，，，，是定义在，上的四个函数，其中满足性质：“对，中任意的和，恒成立”的只有　　
A．， B． C．， D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）从小到大的顺序是　 　．
14．（4分）等差数列中，，公差不为零，且，，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于　 　．
15．（4分）关于直角在定平面 内的射影有如下判断：①可能是的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是的角．其中正确判断的序号是　 　（注把你认为是正确判断的序号都填上）．
16．（4分）圆上的动点到直线距离的最小值为　 　．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）解不等式．
18．（12分）如图，在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于，两点，上、下底面矩形的长、宽分别为，与，，且，，两底面间的距离为．
（Ⅰ）求侧面 与底面所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：面．

19．（12分）数列由下列条件确定：，，．
（Ⅰ）证明：对，总有；
（Ⅱ）证明：对，总有；
（Ⅲ）若数列的极限存在，且大于零，求的值．
20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求个不同的数的和，计算开始前，个数存贮在台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：

机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结 果
被读机号
结 果
被读机号
结 果
1

2

2

1

（1）当时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结 果
被读机号
结 果
被读机号
结 果
1

2

3

4

（2）当时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）
21．（13分）已知，，是的三个顶点．
（Ⅰ）写出的重心，外心，垂心的坐标，并证明，，三点共线；
（Ⅱ）当直线与平行时，求顶点的轨迹．

22．（13分）已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：（b）（a）．
（1）求及（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若（2），，求证数列是等差数列，并求的通项公式．

参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）满足条件，2，的集合的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：，2，
，或，2，
故选：．
2．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点，，则的值是　　
A． B． C． D．1
【解答】解：，，
．
故选：．
3．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间，上为减函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意考察选项，的周期不是，所以不正确；
由于在区间，上为增函数，选项不正确；
以为最小正周期，且在区间，上为减函数，正确；
且在区间，上为增函数，错误；
故选：．
4．（5分）在下列四个正方体中，能得出的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：在中，，，，
平面，又平面，，故正确；
在中，与成角，故错误；
在中，与成角，故错误；
在中，与所成角的正切值为，故错误．
故选：．

5．（5分）64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则　　
A．且 B．且
C．且 D．且
【解答】解：64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；
一个直径为的球，记其体积为，表面积为；
所以且
故选：．
6．（5分）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围　　
A． B． C． D．
【解答】解：联立两直线方程得：，
将①代入②得：③，把③代入①，求得，
所以两直线的交点坐标为，，
因为两直线的交点在第一象限，所以得到，
由①解得：；由②解得或，所以不等式的解集为：，
设直线的倾斜角为，则，所以，．
方法二、直线恒过定点，作出两直线的图象．，
设直线与轴交于点，与轴交于点．从图中看出，
斜率，即，
故直线的倾斜角的取值范围应为，．
故选：．
7．（5分）等于　　
A． B． C． D．16
【解答】解：

故选：．
8．（5分）若，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得到，
则．
故选：．
9．（5分）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为　　
A．480 B．240 C．120 D．96
【解答】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有，
这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有，
分法种数为．
故选：．
10．（5分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点
，整理得，

双曲线的渐近线方程为
故选：．
11．（5分）已知的定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是　　

A．，， B．
C． D．，，
【解答】解：由函数图象可知：当时，；当时，；
而中的，当时，；当时，，，
则，可化为：或即或，
解得：或，
所以所求不等式的解集为：，，，
故选：．
12．（5分）如图所示，，，，是定义在，上的四个函数，其中满足性质：“对，中任意的和，恒成立”的只有　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：由题意可知：函数满足性质：“对，中任意的和，恒成立”．
函数图象在，上为下凹函数，
有所给图象可知：：为上凸函数、为线性函数、为先凹后凸的函数；
故全部不符合题意．从而只有适合下凹的性质．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）从小到大的顺序是　　．
【解答】解：，，，，
，
综上，，
故答案为：．
14．（4分）等差数列中，，公差不为零，且，，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于　4　．
【解答】解：设，，成等比，公比为，则，．
又是等差数列，，．
故答案为4
15．（4分）关于直角在定平面 内的射影有如下判断：①可能是的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是的角．其中正确判断的序号是　①②③④⑤　（注把你认为是正确判断的序号都填上）．
【解答】解：直角在定平面 内的射影有下列几种情况：
当角所在的平面与平面垂直时，
直角的射影可能是的角，可能是的角，故①⑤正确，
当角所在的平面与平面平行时，直角的射影可能是直角，故③正确，
当角所在的平面与平面不平行也不垂直时，平面转到一定角度，
直角的射影可能是锐角或钝角，故②④正确
故答案为：①②③④⑤
16．（4分）圆上的动点到直线距离的最小值为　2　．
【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：，
所以圆心，圆的半径，
则圆心到直线的距离，
所以动点到直线距离的最小值为
故答案为：2
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）解不等式．
【解答】解：原不等式的解集是下面不等式组（1）及（2）的解集的并集：（1）或（2）
解不等式组（1）得解集解不等式组（2）得解集
所以原不等式的解集为
18．（12分）如图，在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于，两点，上、下底面矩形的长、宽分别为，与，，且，，两底面间的距离为．
（Ⅰ）求侧面 与底面所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：面．

【解答】解：（Ⅰ）过作底面的垂直平面，
交底面于，过作，垂足为．
平面平面，
，．
为所求二面角的平面角．
过作，垂足为．
由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，
故四边形为等腰梯形．
，
又，
，
，
即所求二面角的大小为．
（Ⅱ）证明：，是矩形的一组对边，有，
又是面与面的交线，
面．
是面与面的交线，
．
是平面内的一条直线，在平面外，
面．

19．（12分）数列由下列条件确定：，，．
（Ⅰ）证明：对，总有；
（Ⅱ）证明：对，总有；
（Ⅲ）若数列的极限存在，且大于零，求的值．
【解答】证明：（Ⅰ）由，及，
可归纳证明．
从而有，
所以，当时，成立．
（Ⅱ）证法一：当时，
因为，
所以，
故当时，成立．
证法二：当时，因为，，
所以，
故当时，成立．
（Ⅲ）解：记，则，且．
由，得．
由，解得，故．
20．（12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求个不同的数，，，的和．计算开始前，个数存贮在台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结 果
被读机号
结 果
被读机号
结 果
1

2

2

1

（Ⅰ）当时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结 果
被读机号
结 果
被读机号
结 果
1

2

3

4

（Ⅱ）当时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）
【解答】解：（Ⅰ）当时，只用2个单位时间即可完成计算．方法之一如下：
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机号
结 果
被读机号
结 果
被读机号
结 果
1

2

3

2

1

4

3

4

1

4

3

2

（Ⅱ）当时，至少需要7个单位时间才能完成计算．
21．（13分）已知，，是的三个顶点．
（Ⅰ）写出的重心，外心，垂心的坐标，并证明，，三点共线；
（Ⅱ）当直线与平行时，求顶点的轨迹．

【解答】解：（Ⅰ）由三顶点坐标，，，，
可求得重心，
外心，
垂心．
当时，，，三点的横坐标均为，故三点共线；
当时，设，所在直线的斜率为，，所在直线的斜率为．
因为，
，
所以，，，，三点共线．
综上可得，，，三点共线．
（Ⅱ）解：若，由，
得
配方得，即．
即．
所以，顶点的轨迹是中心在，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在轴上的椭圆，
但除去，，，四点．
22．（13分）已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：（b）（a）．
（1）求及（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若（2），，求证数列是等差数列，并求的通项公式．
【解答】解：（1）令，代入得．
令，代入得（1）（1）（1），则（1）．
（2）（1），．
令，，则，
因此是奇函数．
（3）因为，即，所以是等差数列．又首项，公差为1，
所以，．
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