2011年浙江省高考数学【理】（含解析版）.doc

2011年浙江省高考数学试卷和答案（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1、（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（　　）
A、﹣4或﹣2 B、﹣4或2
C、﹣2或4 D、﹣2或2
2、（2011•浙江）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（　　）
A、3﹣i B、3+i
C、1+3i D、3
3、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）
A、 B、
C、 D、
4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（　　）
A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5、（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（　　）
A、14 B、16
C、17 D、19
6、（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（　　）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
7、（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（　　）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
8、（2011•浙江）已知椭圆的离心率e=，则k的值为（　　）
A、4或 B、4
C、4或﹣ D、﹣
9、（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（　　）
A、 B、
C、 D、
10、（2011•浙江）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）
A、{S}=1且{T}=0 B、{S}=1且{T}=1
C、{S}=2且{T}=2 D、{S}=2且{T}=3
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11、（2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=　_________　．
12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是　_________　．

13、（2011•浙江）若二项式（x﹣）n（a＞0）的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是　_________　．
14、（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是　_________　．
15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=　_________　．
16、（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　_________　．
17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为　_________　．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18、（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．
（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．
19、（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；
（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．
20、（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知
BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

21、（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程．

22、（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．
注：e为自然对数的底数．

答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1、（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（　　）
A、﹣4或﹣2 B、﹣4或2
C、﹣2或4 D、﹣2或2
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。
专题：计算题。
分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件 的a值．
解答：解：当a≤0时
若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4
当a＞0时
若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）
故实数a=﹣4或a=2
故选B
点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．
2、（2011•浙江）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（　　）
A、3﹣i B、3+i
C、1+3i D、3
考点：复数代数形式的混合运算。
专题：计算题。
分析：求出，然后代入（1+z）•，利用复数的运算法则展开化简为：a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到答案．
解答：解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，=1﹣i，则（1+z）•=（2+i）（1﹣i）=3﹣i
故选 A．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型．
3、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：由三视图还原实物图。
分析：根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．
解答：解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形
故该几何体上部分是一个三棱柱
下部分是三个矩形
故该几何体下部分是一个四棱柱
故选D
点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．
4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（　　）
A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
考点：平面与平面垂直的性质。
专题：常规题型。
分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．
解答：解：由题意可知：
A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；
D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．
故选D．
点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．
5、（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（　　）
A、14 B、16
C、17 D、19
考点：简单线性规划。
专题：计算题。
分析：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．
解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．
故选B．

点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
6、（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（　　）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
考点：三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。
分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．
解答：解：∵0＜a＜，﹣＜β＜0，
∴＜+α＜，＜﹣＜
∴sin（+α）==，sin（﹣）==
∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=
故选C
点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．
7、（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（　　）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。
专题：计算题。
分析：因为“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．
解答：解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，
∴“0＜a＜”或“0＞b＞”
∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．
“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．
故选A．
点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用．
8、（2011•浙江）已知椭圆的离心率e=，则k的值为（　　）
A、4或 B、4
C、4或﹣ D、﹣
考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合。
专题：计算题。
分析：分椭圆的焦点在x轴时和椭圆的焦点在y轴时两种情况进行讨论，分别表示出椭圆的离心率求得k．
解答：解：当椭圆的焦点在x轴时，a2=k+8，b2=9
∴c2=k﹣1，由e=求得k=4，
当椭圆的焦点在y轴时，b2=k+8，a2=9
∴c2=1﹣k，=，求得k=﹣
故选C．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为1+k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
9、（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率。
专题：计算题。
分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55种结果，满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，共有C21A22A33种结果，得到概率．
解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，
下分类研究同类数不相邻的排法种数
假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32种可能；
假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8种可能；
假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8种可能．
∴同一科目的书都不相邻的概率P=，
故选B．
点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现．
10、（2011•浙江）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）
A、{S}=1且{T}=0 B、{S}=1且{T}=1
C、{S}=2且{T}=2 D、{S}=2且{T}=3
考点：集合的包含关系判断及应用。
专题：计算题。
分析：通过给a，b，c赋特值，得到A，B，C三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案．
解答：解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a
当b2﹣4c=0时，f（x）=0还有一根只要b≠﹣2a，f（x）=0就有2个根；当b=﹣2a，f（x）=0是一个根
当b2﹣4c＜0时，f（x）=0只有一个根；
当b2﹣4c＞0时，f（x）=0只有二个根或三个根
当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0
当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1
当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2
故选D
点评：本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11、（2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=　0　．
考点：偶函数。
专题：计算题。
分析：根据f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出a的值．
解答：解：∵f（x）为偶函数
∴f（﹣x）=f（x）恒成立
即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立
即|x+a|=|x﹣a|恒成立
所以a=0
故答案为：0
点评：本题考查偶函数的定义：f（x）=f（﹣x）对于定义域内的x恒成立．
12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是　5　．

考点：程序框图。
专题：图表型。
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．
解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
第一圈 k=3 a=43b=34
第二圈 k=4 a=44b=44
第三圈 k=5 a=45b=54
此时a＞b，退出循环，k值为5
故答案为：5．
点评：对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
13、（2011•浙江）若二项式（x﹣）n（a＞0）的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是　2　．
考点：二项式系数的性质。
专题：计算题。
分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，0求出A，B；列出方程求出a．
解答：解：展开式的通项为
令得r=
所以A=
令得
所以B=
∵B=4A
∴
解得a=2
故答案为：2
点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14、（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是　[30°，150°]　．
考点：数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．
解答：解：∵||||sinθ=
∴sinθ=，
∵||=1，||≤1，
∴sinθ，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈[30°，150°]，
故答案为：[30°，150°]，或[]，
点评：本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目．
15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=　　．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．
解答：解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，
∵P（X=0）=，
∴，
∴p=，
p（x=1）=+=
P（X=2）==，
p（x=3）=1﹣=，
∴EX==，
故答案为：
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目．
16、（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　　．
考点：基本不等式。
专题：计算题；转化思想。
分析：设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．
解答：解：∵4x2+y2+xy=1
∴（2x+y）2﹣3xy=1
令t=2x+y则y=t﹣2x
∴t2﹣3（t﹣2x）x=1
即6x2﹣3tx+t2﹣1=0
∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0
解得
∴2x+y的最大值是
故答案为
点评：本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．
17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为　　．
考点：椭圆的简单性质。
专题：计算题。
分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
解答：解：∵2c=×2×
∴3c2=a2，
∴e==
故答案为：
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18、（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．
（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．
解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得
故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，
进而求得a=1，c=或a=，b=1
（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，
即p2=+cosB，
因为0＜cosB＜1，
所以p2∈（，2），由题设知p＞0，所以＜p＜
点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．
19、（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；
（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由（）2=•，
得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a
所以an=na，Sn=
（Ⅱ）解：∵=（﹣）
∴An=+++…+=（1﹣）
∵=2n﹣1a，所以
Bn=++…+=•=•（1﹣）
当n≥2时，2n=Cn0+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1﹣＜1﹣
所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn．
点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．
20、（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知
BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。
分析：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标．
（I）我们易求出，的坐标，要证明AP⊥BC，即证明•=0；
（II）要求满足条件使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长．
解答：解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（I）则=（0，3，4），=（﹣8，0，0）
由此可得•=0
∴⊥
即AP⊥BC
（II）设=λ，λ≠1，则=λ（0，﹣3，﹣4）
=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）
=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）
设平面BMC的法向量=（a，b，c）
则

令b=1，则=（0，1，）
平面APC的法向量=（x，y，z）
则
即
令x=5
则=（5，4，﹣3）
由=0
得4﹣3=0
解得λ=
故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3

点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等0是解答本题的关键．
21、（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程．

考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：综合题。
分析：（I）由题意抛物线C1：x2=y，可以知道其准线方程为，有圆C2：x2+（y﹣4）2=1的方程可以知道圆心坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；
（II）由于已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，也可以设出点A，B的坐标，再设出过P的圆C2的切线方程，利用交与抛物线C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．
解答：解：（I）由题意画出简图为：
由于抛物线C1：x2=y，
利用抛物线的标准方程易知其准线方程为：y=﹣，
利用圆C2：x2+（y﹣4）2=1的方程得起圆心M（0，4），
利用点到直线的距离公式可以得到距离为．
（II）设点P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；
由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，
设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①
则，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0，
设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，
∴，；
代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0 则x1，x2应为此方程的两个根，
故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0
∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=
由于MP⊥AB，∴kAB•KMP=﹣1⇒
故P∴．

点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．
22、（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．
注：e为自然对数的底数．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：（I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．
（II）对a分类讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围．
解答：解：（I）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜3a≤1时，对于任意的实数x∈（0，3a]，恒有f（x）≤0＜4e2成立，即0＜a≤符合题意
②当3a＞1时即a＞时，由①知，x∈（0，1]时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a]上的最大值，
首先有f（3a）=（3a﹣a）2ln3a=4a2ln3a此值随着a的增大而增大，故应有
4a2ln3a≤4e2即a2ln3a≤e2，
故参数的取值范围是0＜a≤或a＞且a2ln3a≤e2，
点评：本题考查函数的极值点的导数值为0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值．