大学高等数学06定积分.pptx
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第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念二、定积分的概念 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质引例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形 设函数设函数f(x)在区间在区间 a,b(a,也可能,也可能,但一定要求,但一定要求满足满足 ,即,即 对应于对应于 ,对应于对应于 .例1 求解方法二方法二例例4 求求解例例7证明证明 例例7表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的上的积分性质,即偶函数在积分性质,即偶函数在a,a上的积分等于区间上的积分等于区间0,a上上积分的两倍;奇函数在对称区间上的积分等于零,可积分的两倍;奇函数在对称区间上的积分等于零,可以利用这一性质,简化连续的奇、偶函数在对称区间以利用这一性质,简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算上的定积分的计算.例例8 8解解例例9 证明证明证明证明 应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限.二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例10解解例例12 求求解例例13 求求解解第四节第四节 广义积分广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分 函数f(x)在无穷区间 上的广义积分,记作 ,即定义1 若上述等式右端的极限存在,则称广义积分 收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分 发散.一、无穷区间上的广义积分 类似地,无穷区间 上的广义积分定义为无穷区间 上的广义积分定义为上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.例1 求解例2 求解所以,广义积分 收敛,且例3证明若上式右端极限存在,则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在,就称广义积分发散.定义2 设函数f(x)在(a,b上连续,且极限称为无界函数称为无界函数 在在(a,b上的积分上的积分,记为记为二、无界函数的广义积分 类似地,函数f(x)在a,b)上连续,且 广义积分定义为如果极限存在,则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在,就称广义积分 发散.此时,如果上式右端两个广义积分 都收敛,则称广义积分 收敛,否则称广义积分 发散.上述三种积分统称为无界函数的广义积分,也称为瑕积分.函数f(x)在a,b上除点x=c(a,b)外都连续,且 ,则广义积分定义为例5 计算解由于上面两个极限都不存在由于上面两个极限都不存在,所以所以发散发散.例7解- 配套讲稿:
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