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三角函数
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是
④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）
3．特殊角的三角函数值
角度
函数
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
角a的弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
sina
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
0
cosa
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
0
1
tana
0
√3/3
1
√3

-√3
-1
-√3/3
0

0
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
A.基础梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）
(2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：
2．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α， 其中k∈Z.
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α.
公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.
诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．
B.方法与要点
一个口诀
1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
（、、三个式子知一可求二）
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ= sin＝tan
（4）齐次式化切法：已知，则
三、三角函数的图像与性质
学习目标：
1会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如与的周期是）。
3会判断三角函数奇偶性
4会求三角函数单调区间
5知道三角函数图像的对称中心，对称轴
6 知道，，的简单性质
（一） 知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数、余弦函数的性质：
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是，
对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；
对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。
（3）周期性：，的最小正周期都是2；
（4）奇偶性与对称性：
①正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；
②余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。
（5）单调性：
上单调递增，在单调递减；
在上单调递增,在上单调递减。特别提醒，别忘了！
3、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。
（2）值域是R，无最大值也无最小值；
（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（4）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

5、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的。
函数y＝Asin（wx＋j）（A＞0，w＞0）的性质。
（1）定义域：R
（2）值域：[-A, A]
（3）周期性：
①和的最小正周期都是。
②的最小正周期都是。
（4）单调性：函数y＝Asin（wx＋j）（A＞0，＞0）的
单调增区间可由2k－≤wx＋j≤2k＋，k∈z解得；
单调减区间可由2k＋≤wx＋j≤2k＋，k∈z解得。
在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
如函数的递减区间是______
（答：
解析：y=，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由得
，所以y的递减区间是
四、函数的图像和三角函数模型的简单应用
一、 知识要点
1、 几个物理量： ①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
2、 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．
3、函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
4、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象
y=sinx
y=sinxXXXxxx
横坐标
伸（缩）倍

左（右）平移

宀 宝盖头 （宝 家宁） 土 提土旁（地 场 城）纵坐标

（15）（地球爷爷）的手就是（地心）引力。伸（缩）A倍

氵三点水（江 河 沙） 日 日字旁（明 暗 晚）

菜园里有白菜，有南瓜，还有茄子。扩词，扩句y=sinx
左（右）

方 方字旁（放 旅） 石 石字旁（砍 码 ）

弟弟多可爱呀！ 大家快来呀！（21）取人之（长），补己之（短）。平移

2、一字开花。（一字组多词）
你去北京吗？ 你是小学生吗？

木字旁：桃、树、林、机、桥一份报 一堆果 一个果 一句话 一棵树雨越下越大。 天越来越黑。 纵坐标

(4)牧童骑（黄牛），歌声振林越，意欲捕鸣蝉，忽然（闭口立）。

（3）两只鸟蛋就是（两只小鸟）。我（小心）地捧着鸟蛋，（连忙）走到树边，轻轻地把鸟蛋（送还）。我仿佛（听见）鸟儿的欢（唱），抬起头来，把（目光）投向（高远）的蓝天。
4、乐于运用阅读和生活中学到的词语，把话写完整、写通顺。ABAC式的词语伸（缩）A倍

我正忙着写作业呢！

兴 发 种 还（7）、（ ）已经（ ）。

（14）自己学会（生活）的本领，才能成为（真正）的狮子。

么（什么）无（无法）高（高兴）跟（跟着）以（以后）问（问好）各（各种）气（生气）

明亮的灯光 红红的太阳 漂亮的衣服双人旁：得、往、很1、组词。（形近字和同音字）

名（有名）（出名）（名字）（成名）（名气）

门字框：问、间、闭兴 发 种 还

6、量词填空。火红火红的太阳（花儿） 金黄金黄的落叶（麦田、稻田、油菜花） 横坐标
伸（缩）倍
左（右）
平移

横坐标
伸（缩）倍
横坐标
伸（缩）倍

纵坐标
伸（缩）A倍
横坐标
伸(缩)倍

纵坐标
伸（缩）A倍
左（右）
平移

左（右） 平移
纵坐标
伸（缩）A倍

5、函数的图象与图象间的关系：①函数的图象向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象向上（）或向下（）平移个单位，得到的图象。
要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，
如要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　 )
　　(A)向左平移 个单位　　 (B)向右平移个单位
(C)向左平移个单位　　 (D)向右平移个单位
6、函数y＝Acos（wx＋j）和y=Atan（wx＋j）的性质和图象的变换与y＝Asin（wx＋j）类似。

三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
如 ； （答案： ）
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
如cos2＋cos2＋coscos的值等于 ； （答案： ）
⑵
升幂公式
降幂公式，．
⑶．
3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：，其中．
4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；问： ； ；
③；④；⑤；等等.
如[1] . （答案： ）
[2]若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.
（答案：－，－1）
[3]已知 则 ； （答案： ）
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。
如 ；
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。有时需要升幂，常用升幂公式有： ； .如对无理式常用升幂化为有理式.
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：；；
；；
；；
；；

； ；
； ；
；（其中 ；）
（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。