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第一章 行列式
　　　　　　　　　　　　王航平
行列式在线性代数中其有重要意义，它是研究线性方程组及线性相关性的有力工具。
学习本章要求理解n阶行列式的定义，了解并应用行列式的基本性质，掌握行列式的基本计算方法，掌握利用行列式解线性方程组的Cramer法则。并通过上述内容的学习，熟悉与掌握代数的抽象表示。
§1.1 基本概念
1.1.1　　n阶行列式的定义
1、 排列的逆序
排列：由n个数１,２,…,n组成的一个有序数组称为一个n元排列。如35124便是一个5元排列。n元排列共有n!个。
逆序：在一个n元排列中，若，则称这两个数组成一个逆序。如45132中，４与１，４与３，４与２均构成逆序，但４与５却构成顺序，不构成逆序。中，顺序与逆序之和为个。
逆序数：一个排列中逆序的总数称为排列的逆序数，记为。如。n元排列中逆序数最大的排列为反排列n(n-1)…21，其逆序数为，（其每一对序均为逆序，或说其没有顺序）；逆序数最小的排列为自然排列，即12…n，其逆序数为０。
奇排列与偶排列：排列中排列的逆序数为奇数时，称该排列为奇排列，逆序数为偶数时称为偶排列。
对换：一个排列中将两个数的位置互换，称为一次对换。对排列施行一次对换将改变排列的奇偶性。任一排列，均可经若干次对换，变为自然排列，且排列的奇偶性与对换次数的奇偶性相同。
２、n阶行列式的定义
１、２、３阶行列式的定义：
；
；

此方法称为对角线法则。注意对角线法则仅适用于１、２、３阶行列式，而不适用于阶数大于３的行列式。
n阶行列式的定义：

（＝＝）。
这时的表示对所有n元排列求和，故共有n!项。
此定义对n＝2、3的解释：
；

。
1.1.2 n阶行列式的性质：
1、 n阶行列式的的性质（五大性质三推论）与按行（列）展开定理：
性质1：行列式转置，其值不变。
即　　
　　注：此性质表明，行列式中行与列的位置是对等的，即所有关于行（列）成立的性质，关于列（行）也同样成立。
性质2：行列式交换两行（列）位置，其值变号。（换法变换）
　　　　即　　
推论1：行列式含有零行，其值为零。
性质3；用数k乘行列式的某一行（列）的和元素，等于以数k此行列式。（倍法变换）
　　　　即　　
推论2：行列式中有两行相等，其值为零。
推论3：行列式中有两行（列）成比例，其值为零。
性质4：分行（列）相加性：
　　　　即　　
性质5：消法变换：
　　　　即　　
1．1．3　　行列式的展开
余子式：在行列式中，去掉元素所在的第i行，第j列，由剩下的元素按原来的相对位置构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为。
代数余子式： 称为元素的代数余子式。
定理： 　
或　
其中
1．1．4　　行列式的其它性质
上（下）三角行列式：上（下）三角行列式的值都等于其对角线上的元素之积。
Vandermonde行列式：

1．1．5　　　Cramer法则：
若n个方程，n个未知量的线性方程组

若它的系数行列式，则该线性方程组有且仅有一个解：。其中为以常数列取代D中的第i列所得行列式。
注意：Cramer法则仅适用于同时满足以下条件的线性方程组：（1）有n个未知量和n个方程的线性方程组；（2）其系数行列式不等于零。
齐次线性方程组

有非零解的充要条件是其系数行列式的值为零。
§1.2 例题解析
1．2．1　n阶行列式的定义
例1：计算下列逆序数:
（1）
（2）
（3）；
（4）。
解：（1）排列315462中，3为首位，可规定3与其前面的数构成的逆序是0；记；1为第2位，1前面仅有3，且构成一个逆序，所以有；同理，有；4前面有3，1，5，而（3，4），（1，4），（5，4）中，（3，4），（1，4）均构成逆序，（5，4）构成顺序，故；同理，，。所以，0＋1＋2＋2＋4＋1＝10。
　　也可以从排列的第2个数开始计算，即
1＋2＋2＋4＋1＝10。
（2）
＝1＋1＋2＋1＋3＋4＋2＝14。
（3）
＝
＝0＋1＋1＋2＋2＋…＋k＋k＋…＋（n-1）+(n-1)+n
＝。
（4）
　　＝
　　＝（1＋2＋…＋n）＋（1＋…＋k＋…＋（n－1））
＝。
例2：设，求。
解：，排列中逆序对有对，其余均为顺序对，而n元排列共有对，所以顺序对共有对。在排列中，序对的顺序刚好与中的相反，所以中有对逆序，对顺序，＝。
例3：求n元排列的逆序数的取值范围；最大、最小值对应的排列分别是怎样的排列？
解：；最大、最小值对应的排列分别为倒排列与自然排列。
评：关于排列的逆序数，关键在于定义。而定义表明排列中所有构成逆序的对数即为。若定义，则
＝。剩余的问题便是关于n，如何针对n寻找规律进行计算。
例4：（1）在四阶行列式中，写出含的所有正项；
（2）试确定8阶行列式中项的符号。
解：（1）4阶行列式的含一般项为，而项，若不计符号，是位于不同行不同列的四个元素乘积，所以，只能取，只能取。所以含一般项为只有，，中的列排列为偶排列，所以所求的项为。
评：要按定义分别计算所有位于不同行不同列的n个元素的乘积及相应的符号，舍去其中必为零的项。
例5：求下列行列式的值：
（1）；
解：进行如下列变换： 得
＝
再施行行变换：得
。
评：利用行列式的性质进行计算。注意，这里用的是消法变换，故系数没有变化；若用的是其它变换，要注意系数的变化。
（2）；
解：＝，而，所以＝4！；
（3）；
解：原式＝，而
原式＝。
评：行列式反主对角线上的元素之积所对应的项不一定是（－1）！不要把适用于2、3阶行列式的对角线法则用于阶数大于3的行列式。
（4）。
解：原式＝。
1．2．2　n阶行列式的计算
基本计算法：
直接用行列式的性质计算：
三角计算法：利用行列式的基本性质，将行列式化为上（下）三角行列式，再利用三角行列式的值是其所有对角元之积计算。
按行（列）展开法：利用行列式的基本性质，将行列式的某一行（列）化为只含一个零元的行（列），再用按行（列）展开定理进行降阶计算。
评：此类计算，需要精确的数值计算能力。故同学在计算时，务必仔细，确保计算准确。
例1：设是四维列向量，且则＝____________。
解：＝＝8×4＋8×（－1）＝24。
例2：求下列行列式的值：
（1）；
解：法1：＝＝
　　　　＝＝＝
＝＝40。
法2：＝＝＝
　　＝＝40。
（2）。
解：＝－＝
　＝＝92。
n阶行列式的几种常用计算方法：
加边法；三线行列式；同时拆行（列）法；递推法；析因子法。
n阶行列式计算中的几种常用技巧：
利用行（列）和相等；利用行列式的特殊对换，将所求行列式变为已知值的行列式。
例3：计算下列n阶行列式：
（1）；
解：法1：利用行（列）和相等：
；
评：利用行（列）和相等是行列式计算中常用的一种技巧，通常利用它化某列（行）均为1，再利用行（列）变换化该列（行）只留一个1，最后用按列（行）展开降阶。
法2：加边法：

　　（三线行列式）
。
法3：同时拆行（拆列）法：

＝
＝＋
＋＋…＋
＝。
评：同时拆行（列）法，主要是把n阶行列式的每行（列）看成两行（列）之和，用分行（列）相加性，可拆成个行列式，若其中绝大多数行列式为零，则可用此法。如此例中的行列式，若拆开以后的行列式中有两列含有b，则此行列式为零，所以仅须考虑至多只有一列含b的行列式，所以只须考虑n+1个行列式即可。
（2）；
析因子法：可将行列式看成多项式，若知道多项式的所有根，则仅需确定其首项系数即可。如：若知道n次多项式的所有根：，则，所以只须确定系数即可。
解：　　是的n+1次多项式，其根有，，所以，而的首项（即最高项）系数是1，所以，即。
（3）
解：此题可用加边法、同时拆行（列）法求解。下用加边法求解：

＝
＝。
（4）
解：可用加边法、同时拆行（列）法、递推法求解。现用递推法求解：
＝
＝＋
＝＋
得递推公式　　　＝＋

。
评：递推法主要是利用递推公式进行计算。而行列式计算中，主要用到两个递推公式：；，其中是常数。
（5）。
解：此类题可利用已知值行列式，如此题可利用Vandermonde行列式求解。
对施行行对换：(n, n-1)、(n-1, n-2)、…、(2, 1)得
＝
（注：此种变换将第n行调到第一行而不改变其余和行的相对顺序。）
　　继续实施此类变换，可得
　　＝
　　＝。
1．2．3　Cramer法则
例1：利用Cramer法则解线性方程组：

解：＝5

，，。
例2：齐次线性方程组

有非零解，求的值。
解：
有非零解，充要条件为其行列式为零，， 。
1．2．3　　自测试卷
一、选择题：（5×3＝15）
1、 若行列式，则___________；
（A）2，　　（B）－2，　　（C）3，　　（D）－3
2、 行列式的值等于_____________；
（A）, (B), (C), (D)
3、 ＝_______________；
（A）12，　　（B）－12，　　（C）16，　　　（D）－16
4、 行列式的充要条件是__________；
（A），　（B），　（C）且，　（D）或
5、 ＝_____________；
（A） ，　　　　　（B），
（C），　　　（D）。
二、填空题：（5×3＝15）
1、＝______________________；
2、 n阶行列式A的值为C，若将A的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式的值为___________________；
3、 5阶行列式中，含的所有正项为_________________________________；
4、 7阶行列式＝___________________________；
5、 设都是3维向量，且行列式
，则＝________________________。
三、计算题：（6×10＝60）
1、 计算数字行列式：
　　；
2、 计算数字行列式：
　　；
3、 求n＋1阶行列式的值：
；
4、 计算行列式：
；
5、 计算行列式：
　　；
6、 用Cramer法则求解线性方程组：
。
四、证明题：（2×5＝10）
1、 利用行列式的性质证明：，则，其中是3维列向量。
2、 证明下列恒等式：