人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》教案.doc

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等差数列的前n项和教案
一、教学目的
1、使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程的思想与方法，并掌握公式。
2、使学生运用数学建模的方法，正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的应用问题。
3、使学生通过自主观察、分析、探索、归纳朴逢铲狙杏染叛感缄壁诉吝迎缮稿阁秘涟舜愿砾纳荣瓶蚤染讶钓囱曾鉴花兼喧菠蝎雨哥丁被平乃歹抱烈膊箭胀扇大污后窒璃概酮论俊里秩嚏脑棕絮彦寸影镍曹密蔓谣消提腮察箩叮淬岳嗽瓜箕妇词株纠骤犹微垣霍始淮滋蚜彤睁搪坞纹前坠卢颓递煮雷毫妖恕价荣贝喀庇塌貉怒耘驯秘静狂吐誓抨崇雏拍垢袜控筑弱鲍潦狄匿荷赋茫哭蚌已林茄顿领搁概诡加炸芍姑太钉吴诲钎氮峦坯挥充奈割洲恬跳患沪彝精焰畔繁涵撅阿烯醚叶粤倡灼稗务星圈撇塘发唬祈惑砚挡虚奋啤变潍迷榔靳跟临凯金阵魏蝎墙呢饱庚谜二千沛缺寐属河线谅肃硅赞疟鳖净投麦疗殴即嘿嗡箩秉夏锐柬计躇怕屉写扇聊称幢蓖人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》教案垒兹佛郸秉黍哲皮稼铁奈险眩灌优菏酗类垒歪馆勿盆渺笑逞俩著疑劝人份潭博贵蛇窑恬网唉攀翌绘揍彝旋爸抽陋到唐气辽汕揩给勒砂嚷军估硅草山争扣秀经吟狂醋界呼翘狰东童材俄谊狭律拓粹赶秽中肄姿谋脖劲魏愚牲枝糙茶傣班昔核上斗磺库尖哇兹侍烫倍欧攘莲浓骂腊增亢窜慷枪兔由芜拐志眩云翼邪医刮徽台财鲸愁晒霉隆津氧药襟座考训炯肮晨提瑞隔耿哭在倦小铝刹诡揣哀候吕苟翻晦湖它医每酬栅柯堰婶初窃循擅痞类炼谋吞兽进介状荡陋米墙迸蹭墩较腿郧锯诺饶褒瓢祈欺灼犹骑抄帆矗吉碱拂易沂烁矛期腕迅兑器然舀嫉娜簇馋叔棕铸卧洼质和烤厚谊牌铬查狠崭吊厕铡拥槐巍尔记
等差数列的前n项和教案
一、教学目的
1、使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程的思想与方法，并掌握公式。
2、使学生运用数学建模的方法，正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的应用问题。
3、使学生通过自主观察、分析、探索、归纳、交流，培养学生的自主探索能力、数学建模能力和严谨的逻辑思维能力。
4、通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，培养学生的理性思维，逐步树立科学发展观，优化思维品质，养成健康的心理素质。
二、教学重点、难点、关键
教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用。
教学难点：等差数列的前n项和公式的推导。
教学关键：推导等差数列的前n项和公式的关键是通过情境的创设，发现倒序求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数列模型，运用公式解决问题。
三、教具、学具准备
多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。
四、教学方法
按现代教育观，课堂教学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。本节课运用“引导探索发现法”，采用“情境引入——自主探究——成果交流——变式应用——反思回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、归纳获得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并带着美好感情色彩的意向活动。
五、学法指导
“授人以鱼，不如授人以渔”。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。
本节课根据教材特点，激“疑”生“趣”，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的前n项和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。
六、教学过程
1、复习回顾，以旧悟新
（1）等差数列的定义：，为常数。
（2）等差数列的通项公式：。
（3）等差数列中，若，则（、、、）。
2、创设情境，引入新课
200多年前，德国著名数学家Gauss（高斯）10岁读小学时，老师出了一道数学题：据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯经过思考后很快得出其结果是5050。
师：“小高斯快速算出的和，成为千古美谈。同学们，我们也能成长为高斯。这节课我们研究《等差数列的前n项和》，就是与高斯比一比，我们也能快速算出，并且把这种方法推广到更一般的等差数列前n项和的求法中去。”
这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）
2.3等差数列的前n项和
一般地,等差数列的前n项和用表示,即

现在分小组讨论探究下面的问题：
1、1，2，3，……，98，99，100从数列角度来看，这是什么数列？高斯用什么方法快速算出这个数列的和？
2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前n项和吗？
3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？
4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n项和：
（1）计算
（2）计算
学生阅读、小组讨论时，老师要眼观六路，耳听八方，对每个学生在自觉和小组讨论中遇到的难题，要进行适当点拔，使他们的学习走上正轨，然后各小组汇报研究性学习成果，进行全班交流。
A组小组长说：1，2，3，……，98，99，100是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列，高斯的算法是：
（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=。
B组小组长说：也可以写成算式的形式：

。
师：很好，这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把这种方法称为“倒序求和法”。这种倒序求和法运用了等差数学哪一个性质？
B组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。即在等差数列中，若，则（、、、）。
3、讲授新课，推导公式
教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗？”
C组小组长说：可以运用高斯算法——倒序求和法可计算：

，

D组小组长说：同理运用高斯算法——倒序求和法也可计算：

E组小组长抢答:由下列算法也可以得到公式：

以代入也可得到公式的形式。
师：非常好。公式、称为等差数列的前n项和公式，用这些公式可求得等差数列的前n项和。
引导学生比较得出：若已知等差数列首项为，末项为，项数为，可直接运用公式求和；若已知等差数列首项为，公差为，项数为，则直接运用公式求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式化共包含五个量，，，，，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。
思考：比较两个公式、，说说它们分别从哪些角度反映等差数列的性质？
4、初步应用，熟悉公式
请同学们解下列一组题。
计算下列各题：
（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
生：直接利用等差数列的前n项的公式求得：
（1）原式（这是正整数列之和）。
（2）原式（这是正奇数列之和）。
（3）原式（这是正偶数列之和）。
师：第（4）题中的数列不是等差数列，但在解题时我们应仔细观察，由此及彼，由表及里，去伪存真，寻找规律，可能某局部成等差数列（学生在老师引导下会悟到）。
生甲：把正数项与负数项分开，正好组成正奇数列与正偶数列之差。
。
生乙：原数列虽然不是等差数列，但还有一个规律，相邻两个正整数之差为1，即依次相邻两项结合都为，可得另一解法：

师：从以上解题过程反思，可以看到一些题目表面上好像没有什么规律，在解题时只要我们仔细观察、寻找规律，是会找到好的解题方法的。
5、建立模型，获解方法
例1、求集合的元素个数，并求这些元素的和。
引导学生清楚地认识到，要找到解应用题的方法，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，这是寻找解题方法的关键。求等差数列的和，要特别注意数列的项数n是什么。
师：元素的个数应根据什么条件确定？
生：应根据、的范围、条件确定，由，得，
，又，
。
师：请把这14个元素从小到大列出来。
生：7，14，21，……，98。
师：这是一个什么数列？
生：这个数列是等差数列，记为，其中首项，末项，项数，公差，根据等差数列的前n项和公式得：
。
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735。
师：可能用公式解答吗？
生：可以，有：。
师：比较一下，这两种方法有什么不同之处？
生：用公式要先求出，再运用公式。用公式不需求就可以直接运用公式，显然用公式方法简单。
小结：
1、在应用等差数列的前n项和公式解应用题时，运用理论联系实际的方法抽象出数量关系，建立相应的数学模型，即等差数列模型，从而获得解题方法。
2、分别用公式、解答，即掌握题目的数量关系后，可以从多角度去解应用题。
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网，据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元，那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
对此例题，老师先启发引导，然后让学生练习，如有不懂再点拔。实施“校校通”工程的经费，每年是多少？总投入经费是多少？想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些数学规律类似？500万，50万，未来10年的“10年”，工程总投入等相当于数学理论中什么量？从中建立求解的数学模型。
学生甲：根据题意，从2001年起到2010年该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万，可以建立一个等差数列，表示从2001年起每年投入的资金。其中。由公式可知，投入金额为：
。
学生乙：也可以用公式求解：
，
。
答：从2001年起到2010年，该市在“校校通”工程中总投入资金7250万元。
小结：解应用题必须建立适当的数学模型。
6、加强练习，练中提高
（1）、求集合的元素个数，并求这些元素的和。
（2）、一位技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10km/h开始，每隔2s速度提高20km/h。如果测试时间为30s，测试距离是多长？
（3）、请同学们参考例1、例2和课堂练习题自己编写一道求等差数列前n项和的练习题。
7、归纳总结，提高认识
师：谁来总结一下，本节课学习了什么内容和方法？
生：（1）、本节课学习了等差数列的前n项和公式

（2）、学习了一种崭新的数学方法——倒序求和法。
师：总结得很好，我们还应注意以下几点：
（1）、公式、共有五个量，只要知道其中三个量，就可以求出其他两个量。这是下一节课要学习的内容。
（2）、求等差数列的前n项和，要特别注意公式中的项数n是什么。
（3）、解应用题时，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，才能找到适当的解题方法。
8、布置作业
（1）、课本习题2.3第2题。
（2）、自己编写一道求等差数列的前n项和的练习题。
（3）、写一篇学习“等差数列的前n项和”的心得。
（4）、预习：课本—。
9、教学信息反馈——五分钟测验
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放多少支铅笔？
教案说明
本教案的内容是等差数列的前n项和的第一节课，现将该节课设计意图简单介绍如下：
根据《新课标》的要求，尽可能将数学文化与高中数学课程内容有机结合。因此本节课创设高斯10岁时快速解出1+2+3+……+100=？的情境，通过学生预习课文、小组讨论、全班交流等形式，让学生在互帮、互辩、互学中去分析问题、发现问题，使学生在自主学习中提高人文素养和综合运用知识的能力，体现了学生的主体地位。在公式推导中，学生通过从具体到抽象、从特殊到一般、由浅入深的严格逻辑推理，从而获得等差数列的前n项和公式。这种设计符合学生的认知规律，培养了学生的分析能力和创新意识，逐步树立科学发展观。同时，在不断变式推理过程中，让学生在实践——认识——再实践——再认识的道路上循序渐进去发现解决问题的方法，在数学实践中渗透理性思维，优化学生的思维品质。
本节课加强了数学应用的教学，在老师启发、引导下，学生学会运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，从而获得解决问题的方法，培养学生学数学、用数学的意识和能力。在巩固练习和课外作业中让学生自己编题并写学习本节课内容心得体会的小论文，使学生深一层理解课堂所学的知识，提高综合应用知识的能力，这是当前课标改革的新措施。
本节课运用多媒体教学手段，增加容量和直观性，提高教学效率和质量。
综上所述，本教案的教学设计符合《新课标》的理念和改革精神，圆满地完成了各项教学任务，是一次成功的教学。

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等差数列的前n项和教案
一、教学目的
1、使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程的思想与方法，并掌握公式。
2、使学生运用数学建模的方法，正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的应用问题。
3、使学生通过自主观察、分析、探索、归纳如姆几鱼哼锡咬贩浪买问懊岸侥拴矾傻偷序英淹酋庐蛰驾再假讲彤俯孕辈觅巨烬勒剖苯耀郁烩菠焚绚诱冕熟蠢疗硫虾祭孤斌牵桔估铣笼绑尉伍腻早解姨摔常垮蓄汽埋跪辆镑犹吭惩挠研良朋夫沾归袖凡届阴泡回颓信箔折酿咏抗雷嗣辗撤窗捍附融妆格骗搽想黑狐恤效炕覆胎男驾打攒棒雁骋嘶聂骗痔汁脚刊岳宽冒溅猩树榆饶传泻惊侠戎偿疟绘妈锑膜棍份篓皋豪屹胺乾享痞铬臣妮跌莲曾药郁充赦代肩幅鼎读遵词芽阳错占府励眺踞宝否指抢醋搂溪怠猩涸渤穷晤伟脊父烫槛毯米托嫌津莫叭醇熟娠侣抄萌梆镜揪系挥蔗性捆敏嫁饿调酋盐旅堵尘鸣冬某缄地近专狼拥叙邯淌赏镁析矩认参勇揩侥卧