中考题型四-反比例函数与一次函数综合题.doc

题型四　反比例函数与一次函数综合题
针对演练
1. 如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象有公共点A(1，2)，直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC.
(1)求k和m的值；
(2)求点B的坐标；
(3)求△ABC的面积．

第1题图

2. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3. 如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当y＜－1时，写出x的取值范围；
(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝
2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，
k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求两函数图象的另一个交点坐标；
(3)直接写出不等式：kx＋b≤的解集．

第4题图

5. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

第5题图

6. 如图，直线y1＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.
(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；
(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；
(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

第6题图

7. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝(x＜0)交于点A(－1，n)．
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

第7题图

8. (2016金华8分)如图，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.
(1)求点A的坐标；
(2)若AE＝AC.
①求k的值；
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．

第8题图

9. 如图，已知双曲线y＝经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.
(1)求k的值；
(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

第9题图

10. 如图，点B为双曲线y＝(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x轴于点D，双曲线y＝与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.
(1)求k的值；
(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；
(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第10题图

【答案】
1．解：(1)∵点A(1，2)是一次函数y＝kx＋1与反比例函数y＝的公共点，
∴k＋1＝2，＝2，∴k＝1，m＝2；
(2)∵直线l⊥x轴于点N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B，
∴点B的横坐标为3，
将x＝3代入y＝x＋1，得y＝3＋1＝4，
∴点B的坐标为(3，4)；
(3)如解图，过点A作AD⊥直线l，垂足为点D，
由题意得，点C的横坐标为3，
∵点C在反比例函数图象上，
∴y＝＝， ∴C点坐标为(3，)，
∴BC＝BN－CN＝4－＝，
又∵AD＝3－1＝2，
∴S△ABC＝BC·AD＝××2＝.

第1题解图
2．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，
∵△OAP的面积为1，
∴xy＝1，
∴xy＝2，即k＝2，
∴反比例函数的解析式为；
(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，
∵点B的横坐标为2，
∴点B的纵坐标为y＝＝1，
即点B的坐标为（2,1）.
又∵两个函数图象在第一象限交于A点，
∴，
解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
∴y＝2，
∴点A的坐标为(1，2)，
∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，
设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，

∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，
令y＝0，得x＝，
∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(，0)，
即点M的坐标为(，0)．

第2题解图
3．解：(1)∵反比例函数y＝图象上的点A、B的横坐标
分别为1、－2，
∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，
∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，
∴
∴一次函数的解析式为y＝x＋1；
(2)由图象知，对于反比例函数，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0；
(3)存在．
对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1，
∴点D的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，1)，
设点P(m，n)，
∵S△ODP＝2S△OCA，
∴×1×(－n)＝2××1×1，
∴n＝－2，
∵点P(m，－2)在反比例函数图象上，
∴－2＝ ，
∴m＝－1，
∴点P的坐标为(－1，－2)．
4．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，
∴OA＝3，OD＝2.
∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)．
将点A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得，

∴一次函数的解析式为y＝－2x＋6. ……………………(3分)
将x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2×(－2)＋6＝10，
∴点C的坐标为(－2，10)．
将点C(－2，10)代入y＝，得
10＝，解得n＝－20，
∴反比例函数的解析式为；………………………(5分)
(2)将两个函数解析式组成方程组，得
解得x1＝－2，x2＝5. ………………………………………(7分)
将x＝5代入
∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分)
(3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)
【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是－2≤x＜0或x≥5.
5．解：(1)∵点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，
∴m＝－2，
∴反比例函数解析式为，
∴n＝1，
∴点A(－2，1)，
将点A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得

∴一次函数的解析式为y＝－x－1；
(2)结合图象知：当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；
(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′延长交x轴于点C，则点C即为所求，
∵A(－2，1)，
∴A′(－2，－1)，
设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，

∴y＝－x－，
令y＝0，得x＝－5，
则C点坐标为(－5，0)，
∴t的最大值为A′B＝＝.

第5题解图

6．解：(1)∵一次函数y1＝x＋1的图象与x轴交于点A，与
y轴交于点C，
∴A(－4，0)，C(0，1)，
又∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，
∴点P的坐标为(4，2)，
将点P(4，2)代入y2＝，得m＝8，
∴反比例函数的解析式为y2＝；
(2)x>4；
【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.
(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，
∵四边形BCPD为菱形，
∴CE＝DE＝4，
∴CD＝8，
∴D点的坐标为(8，1)，
将D(8，1)代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，
即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时
D点坐标为(8，1)．

第6题解图
7．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，
∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，
∴直线的解析式为y＝x－4，
∵直线也过A点，
∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，
∴A(－1，－5)，
将A(－1，－5)代入y＝(x＜0)，得m＝5，
∴双曲线的解析式为；
(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，
∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，
∴令x＝0，得y＝－4，
∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴在△OMB中，sin45°＝＝，∴OM＝2，
∵AO＝＝，
∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝；

第7题解图

(3)存在．
如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，
∴AB＝＝，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝＝4，
又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠OBA＝∠BCD＝135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴＝或＝，
即＝或＝，
∴CD＝2或CD＝16，
∵点C(4，0)，
∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．
8．解：(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3.
∴点A的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分)
(2)①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F.
设AE＝AC＝t, 点E的坐标是(3，t).
在Rt△AOB中， tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°.
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，
∴点C的坐标是(3＋t，t)．
∵点C、E在y＝的图象上，
∴(3＋t)×t＝3t，
解得t1＝0(舍去)，t2＝2，
∴k＝3t＝6； …………………………………………… (5分)
②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：
由①知，点E的坐标为(3，2)，
设点D的坐标是(x，x－)，
∴x(x－)＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，
∴点D的坐标是(－3，－2)，
∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………(8分)

第8题解图

9．解：(1)∵双曲线y＝经过点D(6，1)，
∴＝1，解得k＝6；
(2)设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，
∴BD＝6，
∴S△BCD＝×6×h＝12，
解得h＝4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1－4＝－3，
∴＝－3，解得x＝－2，
∴点C的坐标为(－2，－3)，
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则

∴直线CD的解析式为y＝x－2；
(3)AB∥CD.理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点D的坐标为(6，1)，
设点C的坐标为(c，)，
∴点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)，
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则

∴直线AB的解析式为y＝－＋1，
设直线CD的解析式为y＝ex＋f，则

∴直线CD的解析式为y＝－＋，
∵AB、CD的解析式中k都等于，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD.
10．解：(1)设D点坐标为(a，0)，
∵AB∥y轴，点A在直线y＝x上，B为双曲线y＝(x＞0)上一点，
∴A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a，)，
∴AB＝a－，BD＝，
在Rt△OBD中，OB2＝BD2＋OD2＝()2＋a2，
∵OB2－AB2＝4，
∴()2＋a2－(a－)2＝4，
∴k＝2；
(2)如解图，过点C作CM⊥AB于点M，

∴C点坐标为(，)，
∵点B的横坐标为4，
∴A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，)，
∴AB＝4－＝，CM＝4－，

附件（一）：∴S△ABC＝CM·AB

4、“体验化” 消费 ＝×(4－)×

三、主要竞争者分析 ＝7－；

第10题解图

大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。除食品外，很大一部分开支都用于。服饰，娱乐，小饰品等。女生都比较偏爱小饰品之类的消费。女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。因此也为饰品业创造了无限的商机。 据调查统计，有50% 的同学曾经购买过DIY饰品，有90% 的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。我们认为：我校区的女生就占了80%。相信开饰品店也是个不错的创业方针。(3)不存在，理由如下：

中式饰品风格的饰品绝对不拒绝采用金属，而且珠子的种类也更加多样。 五光十色的水晶珠、仿古雅致的嵌丝珐琅珠、充满贵族气息的景泰蓝珠、粗糙前卫的金属字母珠片的材质也多种多样。若△APC∽△AOD，
∵△AOD为等腰直角三角形，
∴△APC为等腰直角三角形，∠ACP＝90°，

服饰□ 学习用品□ 食品□ 休闲娱乐□ 小饰品□∴CM＝AP，

标题：大学生“负债消费“成潮流 2004年3月18日设P点坐标为(a，)，则A点坐标为(a，a)，

综上所述，DIY手工艺品市场致所以受到认可、欢迎的原因就在于此。我们认为：这一市场的消费需求的容量是极大的，具有很大的发展潜力，我们的这一创业项目具有成功的前提。∴AP＝|a－|，
∵C点坐标为(，)，
∴CM＝|a－|，
∴|a－|＝|a－|，
∴(a－)2＝×，

送人□ 有实用价值□ 装饰□即(a－)2＝×，
∴4a2－(a＋)2＝0，解得a＝或a＝－(舍去)，
∴P点坐标为(，)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在．

（三）上海的文化对饰品市场的影响