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专题4-运动的合成和分解-曲线运动

专题四 运动的合成和分解 曲线运动
一、新课标要求：
1. 明确曲线运动的概念，产生曲线运动的条件，掌握曲线运动物体的速度方向。
2. 掌握平抛物体的运动规律，熟练运动独立性原理。
3. 熟练运动合成和分解，掌握平行四边形定则和运动的正交分解合成法。
4. 认识匀速圆周运动，掌握匀速圆周运动的有关物理量：线速度、角速度和周期。
5. 理解速度变化量，了解向心加速度、向心力的概念，理解向心加速度和向心力大小不变而方向不断改变，始终指向圆心。
6. 理解几种转动问题。
7. 能用牛顿第二定律处理生活和生产中的圆周运动问题。
8. 了解生活中的离心现象，了解它的益处和危害。
二、知识点详解
1. 力是产生物体运动状态变化的原因。
物体的运动速度反映了物体的运动状态，只要速度的大小或方向有一个发生变化，物体的运动状态就发生了变化。因此，只要物体的速度有变化，则一定有力的作用。因而该物体就会有加速度，物体做曲线运动，至少它的速度方向发生了变化，所以有力的作用，而且这个力还与速度方向有一定的夹角。
必须有一定的初速度，而=0
结论：产生曲线运动的条件：
与方向成一定角度的外力的作用，成角为≠0
如图，

注意：
①如果F的大小不变，方向也不变，我们说物体一定做匀变速曲线运动（为平抛、斜抛运动）
②若力F大小和方向有一个变化，则物体做随意曲线运动，即变加速曲线运动。
③做曲线运动的物体，任何时刻，它的速度方向都在运动轨迹上点的切线方向（如图所示），并指向运动方向。

④因为存在加速度a≠0，所以曲线运动一定是变速运动。
2. 运动的合成与分解
一个复杂的运动可以简化成几种简单的运动，以此种方法就可以用直线运动的规律来研究曲线运动，乃至于复杂的曲线运动。
（1）用已知的分运动求合运动的方法称为运动的合成。
（2）用已知的合运动探求分运动的方法称为运动的分解。
注意：不管是运动的分解还是合成，所包含的物理量都必须是同一参照系，解题前，首先要进行参照系变换，化成相对于同一参照的物理量。
（3）小船过河问题（如图）

令船在岸边A点向彼岸航行，当然在静水中，只要船速与岸垂直，则很容易到达B点，且AB垂直于河岸。若小船保持原运动方向不变，现在河水流速≠0，那么只能到达B’点，河宽为L，船体的速度：
若过河时间为，则
偏移B点的距离
偏移距离
结论：
①水速越大，偏移距离就越大。
②通过小船过河问题我们可以看出：过河的时间实际上由在静止中的速度确定，而偏移距离由水流的速度和过河时间来确定。船体速度实际上是以和为分运动速度的合速度，即。
这就充分体现了两点：一是分运动具有独立性，二是时间具有同一性，即运动合成中分运动具有按本身运动规律运动的独立性（你干你的，我干我的，你用你的方式，我以我的方式），而合运动和分运动时间高度统一（我们共同干一件事，工程同时完工）。
3. 平抛物体的运动
（1）将物体沿水平方向抛出的物体运动称为平抛运动（如图）
（2）要求：平抛物体必须有初速度，只受重力作用（不计空气阻力）
（3）如图，经时间达M点，其速度，m在抛射点到地面的投影O，落地点B，则OB=为抛射距离（位移），AO为抛射高度AO=。若落地时间（运行总时间）为，根据运动合成和分解的规律、运动独立性原理：
水平方向有： （水平方向为匀速直线运动）
竖直方向有： （竖直方向为自由落体运动）
因此：平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的两种运动的合运动，它们时间是高度统一的。

若经过任何的随意时间，则：（令达M点）
水平方向；竖直方向
故它的合速度：，，
它运行的位移：
速度与水平方向夹角为 或表示

（4）如图所示：在高空中飞机以速度向前方匀速飞行，每隔相等时间往下空投一物体，那么：
A. 地面上的观察者认为空投物做什么运动？
B. 飞行员观察空投物做什么运动？
C. 若空投物上又有一观察者，他观察飞机又做什么运动？
D. 空投物会落到地面上一个地点吗？
答案：关于A：做平抛运动。关于B：做自由落体运动。关于C：向上做自由落体运动（即反向落体）。关于D：不能落到一个地点。
解答：
关于A，因为地面上的观察着以地面为参照物，空投的物体具有与飞机相同的初速度，因此，它水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，是这两个运动的合运动。
关于B，抛物水平速度和飞机相同，飞行员以飞机为参照物，所以，空投的物体水平方向与飞机相对静止，物体只有竖直方向的自由落体运动。
关于C：空投物上的观察者以自己所在的空投物为参照物，他认为空投物是静止的，而参照物与飞机水平方向相对静止，且参考物本身有向下的重力加速度，因此观察者所选的参照物是非惯性系，必须给研究物飞机一个与参照物相反的加速度才能准确。当飞机给一个反向的重力加速度以后，观察者当然认为飞机会以初速度为零做竖直向上的自由落体运动了。
关于D：物体不可能落到一个点，他们之间的落地距离应该是，式中为抛物所间隔的时间，所以物体落地所间隔时间为的距离是相等的。
4. 抛物线
对于平抛物体的运动，我们令水平位移为，竖直位移为，那么它的运动轨迹一定是抛物线。

空间任意一点M的坐标M（x，y），
有：
都是常数，令，
显然是是关于的二次函数，在数学中它就是一个顶点O（0，0），对称轴为的抛物线，故平抛物体运动轨迹是抛物线。
5. 根据运动和分解可以看出，斜抛物体可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的两个运动的合运动。

所谓斜抛，实际上就是以与水平方向成一定夹角的将物体斜向上抛出的运动。将运动分解（正交分解）可知：令抛射物抛射速度为，与水平方向夹角为
① 水平方向：，竖直方向：
令达最高点的时间为，则竖直方向速度为0，，
当时，则：，
根据对称性原理：全程时间为
射程为
所以最大射程
时，射程最远
最大高度是仅当 则为达最高点时所用时间。
有：
当时
② 令M点为任意点，有（为随意时间）

两式消去，有
则
令， 上式为：是抛物线
该抛物线顶点坐标
显然，任何复杂的斜抛运动均可以看成水平方向的匀速直线运动，竖直方向的竖直上抛运动的合运动，它的运动轨迹是一条抛物线。
比如：与水平方向成，角速度为100，斜向上抛出的手榴弹，它的最大抛射距离是多少？
解：根据斜抛运动的规律有：
达最大高度的时间是竖直方向速度为0，有：
全程时间为：
故全程距离
即：
故最大抛射距离射程是866米。
6. 圆周运动
（1）定义：物体运动轨迹是一个圆或圆周的一部分的运动时圆周运动。显然圆周运动时曲线运动，它具有曲线运动的基本规律。

讨论匀速圆周运动：匀速圆周运动是指运动物体的运动轨迹是圆或圆周的一部分，且运行速率相等，因此它具有特殊性。
a. 速度的大小（即速率）不变，如图所示，m在水平面上以O为圆心做匀速圆周运动，的方向任何时刻都垂直于半径r，且与圆周相切。
b. 速度是变化的，虽然速率不变，但方向在变化，因此有加速度。这个加速度指向圆心，称为向心加速度，其大小。
c. 角速度：做圆周运动的物体所转过的角度与所用时间的比值称为角速度，用表示，单位是弧度/秒，用表示。
d. 周期T：运动物体旋转一周所用的时间，单位秒，用表示。
e. 由上述可以探索出物体旋转的线速度与角速度之间的关系。
式中为弧长，为通过所用时间
而 式中为旋转的角度
则
即物体的线速度等于角度与旋转半径的积（注意式中的、都要用弧度表示）
7. 力是产生加速度的原因，即向心加速度是由外力提供的，是遵循牛顿第二定律的，即合外力一定指向圆心，它和的方向一致。这个指向圆心产生向心加速度的力称为向心力。
其大小：，即：或
所以只要找到向心力，则向心加速度就可以确定了，反之由向心加速度也可以确定向心力。
解题步骤：首先给做圆周运动的物体进行受力分析，处理这些力，并找出它们的合力，则：（式中为或）。
由式可知：向心力是效果力，它是由作用在物体上的外力提供的。它可以是重力、摩擦力、弹力、电磁力，或者是它们几个力的合力。所以列圆周运动的受力方程，首要任务是给物体进行受力分析。
例1：质量为的小球从B点（如图所示O为竖直的光滑管道）沿管道的半径为（小球可视为质点）的光滑轨道运行，已知到A（最高点）的速度均为0，那么在B点的速度大小是多少？在B点受几个力作用？各力有多大？

解：由是变速圆周运动，因为在A点速度为0，所以由式可知，重力对A做正功。
令达B的速度为，则：，
小球在B受重力，管道底部的支持力，有：

拓展：如果题目这样设问，这题怎样解？
小球达A点下管内壁和上管内壁正好不施力（即管对球的弹力为0），达B点的速度又有多大？（下管内壁施的压力）又是多少？
答案：
提示：小球达A点，下管内壁和上管内壁正好不施力，即重力提供向心力，则小球在A点的动能为，根据机械能守恒可得：，即；
小球在B点的向心力为，所以。为下管内壁对小球的支持力，其大小等于下管内壁施的压力。
综上所述，很清楚地看到，匀速圆周运动实际上本质是变速度的变加速度的圆周运动，不过受到的合力和加速度的方向均指向圆心。在解题中，若不是速率完全相同的情况下，要取特殊，找出物理量间的相应关系，但有一点不能糊涂，那就是受力分析要准确无误，列牛顿动力学方程，方程左边是合外力，右边是效果，效果就是，就是或。
例2： 如图，水平面上的旋转圆盘O，半径为R，转轴为O，一质量为的物块（可视为质点）放在圆盘上，距轴心处，那么：

A： 物块受四个力作用，他们是物块的重力，盘对物块的支持力，物块受到转盘的摩擦力，物块受到向心力。
B： 物块受一个力作用，即向心力的作用。
C： 物块受三个力作用，它们是重力、支持力和摩擦力。
D： 物块只受摩擦力作用，且摩擦力等于向心力。
答：C正确。
注意：向心力并不真正存在，而是物体受到的合外力的合力，之所以叫向心力，是因为这个合力始终指向某个圆的圆心，导致物体做匀速圆周运动。
例3： 圆锥摆问题
小球由轻绳悬挂于O点，并且绕O旋转，旋转面圆面O与水平面平行，此装置即为圆锥摆。当摆角为时（即摆线所划的锥角一半时，如图），求该圆锥运行的周期，以及轻绳的拉力。

解：轻绳为已知，摆角和小球质量已知。
受力分析：小球受二力重力和绳拉力作用。小球旋转半径

即： 而

而拉力（注意：千万不要认为小球受三个力作用！！）
总结：运用在圆周运动上的习题解题方法就两句话：一是给物体受力分析和了解物体运动的意境。二是运用牛顿定律列出牛顿方程。
注意点：受力分析必须准确，各物理量必须清楚，而且要充分运用隐含条件找出物理量间的关系。
8. 离心现象：做圆周运动的物体，当外力作用的效果不能足以提供向心力时，物体会偏离轨迹而远离圆心运动的现象是离心现象。
实际应用有：离心分离器，离心水泵，等等。
9. 圆周运动的几个实例：
（1）火车拐弯和公路弯道。

根据火车运行的速度设计弯道是铁轨修建中的重要技术问题，一般路边有限速牌，根据弯道半径、速度设计外轨与内轨的高度差。当火车速度为，弯道半径为，为确保火车能安全通过弯道，尽可能保证火车本身的重力，轨道面对车轮的支持力，其合力提供过弯道的向心力，由牛顿第二定律知：
令铁轨宽 则
则：
速度不能太大，也不能太慢，否则容易脱轨。
公路建设中也是这样，在弯道中路面要倾斜提供汽车运行的向心力，其倾斜角度与火车铁轨修建原理相同。
（2）拱桥问题：凹桥问题

由图可知：根据牛顿第二定律：
拱桥：，（压力小于重力）
凹桥：，（压力大于重力）
三、巩固训练
1. 如图所示，左边AB两轮同轴轴为O1，B分别是两轮周边的点，C为右轮，轴心为O2，C为O2边缘上的点，两轮B、C半径为，大轮A半径为，且：，当C转动由皮带带动B轮时，则： ， 。

2. 如图所示，物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后，落在斜面上，物体与斜面接触时的速度与水平方向的夹角满足：
A． B.
C. D.

3. 如图：轻杆OA端点A处栓一小球质量为（小球可视为质点），当球和杆沿O点在竖直方向旋转时，那么小球在圆轨道最高处的B和最低处的A点有可能：
A. A处变杆的推力，B处也变杆的推力
B. A处变杆的拉力，B处变杆的推力
C. A处变杆的推力，B处变杆的拉力
D. A处变杆的拉力，B处也变杆的拉力
4. 一个物体被平抛出去，其图像为格纸中画出。已知物体由A到B和由B到C用时相等，均为。画格为正方形，每小格长5cm。求：物体的初速度和B点时的速度。

5. 如图所示，质量为M的质点被轻绳系牢后悬于O点，已知绳长为，O点正下方有一个钉子，那么当将M拉高使绳与水平面平行再放手，则质点M将比没有钉子时在正下方B点：
A. 线速度突然增大 B. 角速度突然增大
C. 向心加速度突然增大 D. 悬线拉力突然增大
6. 如图，转盘水平放置，中心有小孔O，盘以角速度旋转，质量为的木块放在转盘平面上，盘面与的摩擦因素为0.3，轻绳另一端通过小孔O悬一质量的小球，当的角速度转动时，若木块能与转面保持相对静止，则它到O孔的距离有可能是（ ）

A.6 B. 15 C.30 D.36
7. 雨伞半径，当雨伞以角速度旋转时，雨滴将落地，若雨伞边缘平面与地面平行且高2米，则雨水落地的最大半径是多少？（）
8. 如图，转盘光滑且与地面平行，两球由轻绳相连，绳长为。B球到盘心由轻绳相连，距离也为。那么当A、B二球围O点在盘上以相同的角速度旋转时，则两绳上的张力、的比值多大？

9. 如图所示，匀速转动的水平转盘上有一木块，随转盘一起转动，那么该木块在水平转盘上的运动趋势为（ ）
A. 沿圆周切线方向 B. 沿半径指向圆心
C. 沿半径背离圆心 D. 无相对运动趋势
10. 水流星是杂技演员表演的节目。已知：盛水的碗底到旋转中心的半径，圆弧面处于竖直平面内，最高点为A，最低点为B，那么在A点水恰好不流出时，旋转速度多大？到最低点B时，绳的拉力有多大？（碗杯质量，，水的质量）

四、巩固练习答案与解析
1. 2：1：1 1：1：1
2. D

解：物体落在斜面上时，设时间为t，则其水平位移是，竖直位移是，
由几何知识可知：，即
物体的水平速度是v，是不变的，竖直方向的速度为：
再由几何知识可知：
3. BD
解：首先对小球在A点时进行受力分析，可知其受重力和杆对它的力，那么杆对它的力是推力还是拉力呢？小球做圆周运动，其合外力为向心力，当其运动到A点时，向心力向上，而重力向下，所以杆对小球的力必然向上，即拉力；其次再对小球在B点时进行受力分析，重力和杆对它的力，，当其运动到B点时，向心力向下，而重力向下，所以杆对小球的力有两种情况，向上或向下。所以BD正确。
4.
解：AB水平方向的距离为，用时为0.1s，则
竖直方向上，物体做自由落体运动，即匀变速直线运动，则AC竖直方向上的平均速度为B点的竖直方向上的速度，，则B点的和速度为
5. BCD
解：线速度是没有变的，因为机械能守恒，小球的重力势能转化为动能是固定的。另外钉子的存在导致了小球运动半径的减小，根据，可以看出如果v不变，r减小，则F向增大，随之a增大，也必然增大。
6. BC

解：如图有两种情况，第一是，得；第二是，得，则木块到圆心的距离应是。
7. 解：如图所示，设雨滴落地的最大半径是R，雨滴从伞边下落初速度方向与伞边相切，雨伞边缘的雨滴的线速度是，其下落是平抛运动，根据平抛运动规律，有：

和，带入已知数据，得，则。
8. 解：如图所示，易知A、B各自的向心力都是由绳的拉力提供，其各自的向心加速度分别为：
A：；B：

则；
即
9. C。（提示：分析木块受力，可知重力和支持力是平衡力，相互抵消了，还有摩擦力，提供了向心力，向心力是指向圆心的，则摩擦力也是指向圆心，那么木块相对于转动的圆盘（非惯性系）的运动趋势与受力情况相反，所以是沿着半径背离圆心）
10. 解：在A点水恰好不流出，则重力提供向心力：，得；
到达B时有：（式中），
而，得
所以
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