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专题五：均值不等式与最值、放缩法 专题五：均值不等式与最值、放缩法基础梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：（1） 当且仅当取“”号； （2）；（3），则。2均值不等式：两个正数的均值不等式：； 三个正数的均值不等式：；个正数的均值不等式：。3四种均值的关系：（1）两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：（2）三个正数的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数：小结：“算数平均数几何平均数”的多种表达形式：整式形式根式形式分式形式 倒数形式4.均值不等式求最值：（1）如果（定值），由_，当时，有_；如果（定值），由_，当时，有_；（2）如果（定值），由_，当时，有_；如果（定值），由_，当时，有_。利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！能力巩固考点一：均值不等式与最值1.已知，则的最小值_。2设，最大值是（ ）A. 1 B. C. D. 3.已知，且，若，则的最大值为_。4.已知都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）A B C D5.若是与的等比中项，则的最大值为（ ）A. B. 1 C. D.6设是定义其中分别是的面积，的最小值是_。7若a,b均为正实数，且恒成立，则m的最小值是_。变式：（1）若不等式对任意正实数、都成立，则的最大值是（ ）A1B2C3D5（2）若对于任意的实数且，不等式恒成立，则实数的最大值是_。8. 设都是整数，且满足，则的最大可能值为（ ）A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函数的值域为（ ）A. B. C. D.练习：使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）A B C D10已知且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 练习：若且，则的最小值为_。考点二：放缩法与不等式例1. （1）求证： ；变式：。（2）；（3）；（4）；（5）（其中）。（6）求证：；（7）证明：当时，。例2设各项为正的数列满足：令()求()求证：例3.在数列中，已知，。（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：，。例4在数列中，设数列，的前项和为。（1）若对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对任意的整数，；（3）是否存在实数M，使得对任何的，恒成立，如果存在求出最小的，如果不存在请说明理由。例5.已知数列满足=-1，数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：当时，；（3）求证：当时，。15第 页