重积分的几何应用.pptx

1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例例1.求曲面例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且例例3.计算双曲抛物面被柱面所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.例例4.计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 球面面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程.(见书 P167)方法方法1 利用球坐标方程.(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研考研)练习题练习题提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.