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一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式及其应用_梁钊.pdf
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1、第 43 卷 第 1 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.1 2023 年 1 月 Journal of Science of Teachers College and University Jan.2023 文章编号:1007-9831(2023)01-0010-05 一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的 计算公式及其应用 梁钊,张量(安徽师范大学 数学与统计学院,安徽 芜湖 241002)摘要:测地曲率是经典微分几何曲面理论中一个重要的内蕴几何量,测地曲率恒为零的曲线即曲面上的测地线给出了一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式,利用该计算公式给出了椭球面上圆截线问题的一种微分
2、几何解决方法.关键词:测地曲率;椭球面;圆截线 中图分类号:O186.11 文献标识码:A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.003 Calculation formula of the geodesic curvature of a curve on a surface represented by the general equation and its applications LIANG Zhao,ZHANG Liang(School of Mathematics and Statistics,Anhui Normal University,Wu
3、hu 241002,China)AbstractAbstract:Geodesic curvature is an important intrinsic geometric quantity in the theory of surfaces in classical differential geometry,and it is known that a curve with constant zero geodesic curvature is a geodesic on a surfaceA formula of the geodesic curvature of a curve on
4、 a surface represented by the general equation was given,and it was used to give a differential geometric solution to the circular transection problem on an ellipsoid.Key wordsKey words:geodesic curvature;ellipsoid;circular transection.1 引言及预备知识 测地曲率可以用来反映曲面上曲线的局部弯曲情况,其本质只与曲面的第一基本形式有关,是经典微分几何曲面理论中一个
5、重要的内蕴几何量目前关于测地曲率的计算方法多数都是在曲线的参数表示下给出的1-7本文给出一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式,并利用该计算公式给出解析几何中椭球面上圆截线问题的一种微分几何解决方法 引理 1119 设曲线()s以弧长为参数,;,TNB为的 Frenet-Serret 标架,则关于;,TNB有 Frenet-Serret 公式,=-+=-TNNTBBN?,式中:“”表示曲线关于弧长参数求导;为曲线的曲率;为曲线的挠率 定义38 设(),r uv为正则曲面S的参数表示,()s是S上以弧长为参数的光滑曲线,U为S的单位法向量,则曲线()s的曲率向量()s?在切平面上的投影向量为
6、 收稿日期:2022-05-10 作者简介:梁钊(2000-),男,安徽淮北人,在读本科生E-mail: 通信作者:张量(1979-),男,安徽芜湖人,副教授,从事几何学研究E-mail: 第 1 期 梁钊,等:一般方程表示下曲面上曲线测地曲率的计算公式及其应用 11()()()(),=,sss=-U UUTUT?称为()s的测地曲率向量,并称(),sUT?为()s的测地曲率,记作g这里表示向量的外积,,表示3R的标准内积 引理 2664 设(),r uv为正则曲面S的参数表示,()s是S上以弧长为参数的光滑曲线,则(),g=U?,式中:(),表示向量的混合积 引理 3217 3R中曲率为非零
7、常数的平面曲线有且仅有圆 2 主要结果及证明 定理 1 设曲线C的一般方程为()(),0,0F xyzG xyz=(1)则曲线C在曲面()1:,0SF xyz=和曲面()2:,0SG xyz=上的测地曲率1g,2g分别为 11,gFGFGGFFG QFF QFFGFGGF =-(2)21,gFGFGGFGG QGF QGFGFGGF=-(3)式中:F,G分别为(),F xyz和(),G xyz的梯度;FQ,GQ分别为以F的 Hessian 矩阵和以G的Hessian 矩阵为度量矩阵的二次型 证明 设曲线C以弧长为参数的参数方程为()()()()(),sx sy sz s=,代入式(1),有()
8、()()()()()()(),0,0F x sy sz sG x sy sz s=(4)分别对s求导,得ddd0dddddd0dddxyzxyzxyzFFFsssxyzGGGsss+=+=,即有 ddd,dddxyzFsss=T,且G T,故FGT/,从而 FGFG=T (5)式(5)两端分别对s求导,由引理 1 可知()dd1ddddddFGFGFGFGGFsFGFGssFGs=+-N (6)式中:ddxxyxzxxyyyzyxzyzzzFFFFFGFFFsFGFFF=;ddxxyxzxxyyyzyxzyzzzGGGGGFGGGsGFGGG=-取曲面1S,2S在点(),xyz处的单位法向量,
9、分别为12,FGFG=-=-UU,故由引理 2 可知,曲线C在1S上的测地曲率为()111,gFGFGGFFG QFF QFFGFGGF=-UTN 同理可得曲线C在2S上的测地曲率为 21,gFGFGGFGG QGF QGFGFGGF=-证毕 12 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 例 1 求半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率 解 设半径为R的球面的一般方程为2222yRxz+=,不妨设球面上半径为a的圆的一般方程为222222xyzRzRa=-+=令222222,FGxyzRzRa=+-=+-,直接计算得()2,2,2Fxyz=,()0,0,1G=,22222FxyzR=+=,()(
10、)000,Hess000000200Hess020002GF=,,2FGz=,,FF=()222244xyzR+=,()222,2,0,2FGyxFGxy=-=+由 定 理 1,直 接 计 算 得1221,4 1gFGFG QFFFGFGRxy =+=()()22222222002122,2,0020220020yzRazyxxaRR xyxy-=+,此即半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率 例 2 求圆柱螺线()22tan1yxzxy=+=在圆柱面221xy+=上的测地曲率 解 令()22tan,1FyxzGxy=-=+-,直接计算得()()2tan,1,cosxFzz=-,()2,2,0
11、Gxy=,()200Hess02 0000G=,,0FG=,()22,=cosFFz,()2cosFz=,()()22tan,2,cosGFzz=-,()2 2cosGFz=由定理 1,直接计算得11 21,gGGFFF QFFGGF-=-=,此即圆柱螺线在正螺面上的测地曲率 椭球面的圆截线问题是解析几何中的一个经典问题8-9,文献10通过将椭球面与平面交线参数化给出了椭球面圆截线问题的一种微分几何解决方法利用定理 1,可得到不通过参数化给出椭球面圆截线问题的另一种微分几何解决方法 定理 2 设a,b,c是两两互异的正常数,为椭球面222222:1xyzSabc+=与平面:0AxByCz+=的
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