平行四边形专题.doc

第18章 平行四边形 专项训练

专训1：平行四边形的性质
1、(2014宁夏)在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O．求证：OA＝OC．

2、(2015·南通中考)如图，在ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD. (1)求证：△AED≌△CFB. (2)若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF.

专训1.判定平行四边形的五种常用方法
名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．

2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．

3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形ABCD为平行四边形．

4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．

5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

6、（2015遂宁）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
（1）AE=CF； （2）四边形AECF是平行四边形．

7、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由（1）四边形ADEF是什么四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在

8、如图，在□ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足BE＝DF，CG＝AH，连接EF，GH．求证：EF与GH互相平分

专训2.构造中位线的方法
名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．
连接两点构造三角形的中位线
1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，那么四边形GEHF是平行四边形，为什么？

2、如图，四边形ABCD中，E、F、M、N分别为AB、CD、BD、AC的中点，求证：四边形EMFN为平行四边形．

3、已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足______条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？______．

4、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．

5、（2015广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　　．

利用角平分线＋垂直构造中位线
6．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．

7．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

倍长法构造三角形的中位线
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
9.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．

10．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN.

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝AC.

答案
专训1
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE綊BF.∴四边形BFDE为平行四边形．∴BE∥DF.同理，AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形．
2．证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC≌△DBE.∴AF＝AC＝DE.同理，可证△ABC≌△FEC，
∴AD＝AB＝EF.∴四边形ADEF是平行四边形．
3．证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.
∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边ABCD是平行四形．
4．解：四边形BFDE是平行四边形．理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形．
5．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△OAE与△OCF中，∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.同理OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.

专训2
1．(1)证明：如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM綊CD，PN綊AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.
(2)解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易证四边形PFHG为平行四边形，
∴∠MPN＝120°.
2．解：如图，延长BD，CA交于N. 在△AND和△ABD中，
∴△AND≌△ABD(ASA)．
∴DN＝DB，AN＝AB.∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15.
3．解：如图，延长BD交AC于点F，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．∴DE＝CF＝×4＝2.
4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝AN.
∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.
∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，
∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF.
5．解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.
∵M是AD的中点，P是BD的中点，∴PM是△ABD的中位线，
∴PM＝AB＝5.同理可得PN＝CD＝4.在△PMN中，∵PM－PN<MN<PM＋PN，∴1<MN<9.
6．证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝BF，NH＝AE.
∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，
∴MH∥BF，NH∥AE.∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.
∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.
∴NH＝MN.∴AE＝2NH＝2×MN＝MN.
7．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．
又∵H为NC的中点，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.又∵P为AD的中点，∴AP＝PD.∴AP＝EH，
易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.∴AN＝NH＝HC，∴AN＝AC.