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两平面垂直的判定和性质

典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．
（１）如图1，已知．在内作于，在内作于．

（２）如图２，已知．作于，在内作于，连结．

（３）已知．作于，于，平面，连结、．

作图与证明在此省略．
说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．
典型例题二

例2. 如图，在立体图形中，若是的中点，则下列命题中正确的是（ ）.

（A）平面⊥平面
（B）平面⊥平面
（C）平面⊥平面，且平面⊥平面
（D）平面⊥平面，且平面⊥平面
分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.
解：因为且是的中点，所以同理有，于是平面.因为平面，所以平面平面.又由于平面,所以平面平面.所以选C.
说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以．
说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

典型例题四

例４．如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上异于、的任意一点，求证：平面平面．

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．
证明：因为是⊙的直径，是圆周上的点，所以有①．
因为平面，平面，则②．
由①②及，得平面．
因为平面，有平面平面．
说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

典型例题五

例５．如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小．

分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．
解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，．再作，交于，连结，则为在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为二面角的平面角．
设，在中，,在△中，
,
是锐角，,即二面角等于．
说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

典型例题六

例６．如图，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角．

（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；
（２）若二面角是直二面角，求的长；
（３）求与平面所成的角；
（４）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正切值．
分析：根据问题及图形依次解决．
解：（１）二面角的面为和面，棱为，二面角的平面角为．
（２）若，．
（３）平面，为与平面所成的角．在直角三角形中，，于是．
（４）取的中点，连结、，
，
为二面角的平面角．

在直角三角形中，．
说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．

典型例题七

例7　正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小．
分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是．再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了．

解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结．
∵面，面，
∴，
又，∴面．
又∵，∴，
∴为所求二面角的平面角．
∵∽，∴．
而，，，∴．
在中，．
∵，∴．
在中，，
在中，，
∴．
典型例题八

例8　在所在平面外有一点，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且．求二面角的大小．
分析：由题设易证，由已知得平面，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作平面于，连结并延长交于，连结．
∵平面，
∴是与平面所成角，．
∵平面，，
∴，．
∴是二面角的平面角，．
∵，∴．
又∵，∴平面，
∴平面平面，
∴二面角的大小为．
说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意不满足第(3)条，不是二面角的平面角．
在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为，反之亦然．
典型例题九

例9　如果，，，那么．
分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明的目的；(2)要证，只要证明平行于平面的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．
证法一：如图所示，设，，
过平面内一点作于，作于．

∵，∴．
又，∴，同理可证．
∵且，∴．
证法二：如图所示，

设，在平面内作直线．
∵，∴．
设，在平面内作直线．同理可证，因此．
由于，，∴．
而，，∴．
故由知，．
证法三：如图所示

过直线上一点作直线．
∵，，
∴，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，
那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），
∴．同理可证，故．
椐公理2可知，直线与直线重合．
∴
说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．
(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．
典型例题十

例10　设由一点发出三条射线、、，，，，、、均为锐角，且．求证：平面平面．
分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．

证明：如图，任取点，作于，过作于，连结．
∵，，
故．
又由，
则，从而可得，
即，已作，故平面，
即有，已作，从而平面，
故平面平面．
说明：本题易犯错误是：作于，作于，连结，由三垂线定理得，∴平面，∴，∴平面．其错误原因是作后，将误认为是平面的垂线．
此题的证明也可以作于，于，连结．在中，由余弦定理及条件，证明，从而，∴面，∴．由此进一步证明，平面平面．
典型例题十一

例11　如果二面角的平面角是锐角，点到、和棱的距离分别为、、，求二面角的大小．
分析：如果二面角内部，也可能在外部，应区别处理．

解：如图甲是点在二面角的内部时，
乙是点在二面角的外部时．
∵，∴．
∵，∴面．
同理，面，
而面面
∴面与面应重合，
即、、、在同一平面内，
是二面角的平面角．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
故（图甲）或（图乙）．
说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

典型例题十二

例12　为的二面角内一点，到和的距离均为10，求点到棱的距离．
分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．
解：如图，

过点作于，于，
设相交直线、确定的平面为，，则，
连结，则
∵，，
∴，而平面，
∴，
∴的长即为点到直线的距离．
又∵，，
∴是二面角的平面角，即．
而四边形为一圆内接四边形，且为该四边形的外接圆直径．
∵四边形的外接圆半径等于由、、、中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求的长可利用．
在中，，，∴．
由正弦定理：．
说明：(1)该题寻找的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．
(2)充分借助于四边形为一圆内接四边形，∵，，∵即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．
典型例题十三

例13　如图，正方体的棱长为1，，求：
(1)与所成的角；
(2)与平面所成角的正切值；
(3)平面与平面所成的角．

解：(1)∵，
∴与所成的角就是．
∵，平面，
∴（三垂线定理）．
在中，，，
∴．
(2)作，平面平面．
∴平面，为与平面所成的角．
在中，，．
∴．
(3)∵，，∴平面．
又∵平面，∴平面平面．
说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角，直线和平面所成角，二面角三种．
典型例题十四

例14　如图，矩形，平面，若，与平面所成的角为，与平面成角，求：
(1)的长；
(2)求与所在的角；
(3)求二面角的余弦值．

分析：从图中可以看出，四面体是一个基础四面体，前面已推导出平面与平面所成的二面角的余弦值为，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何体中．
解：(1)∵平面，∴．
又平面，
∴为与平面所在的角，
即．
同理：即为与平面所成的角，
∴，
在中，∵，∴．
在中，，∴，．
在中，，，∴．
(2)∵，∴与所成的角，
即为与所成的角，即为与所成的角
∵平面，，∴（三垂线定理）．
在中，，，∴．
(3)由点向作垂线，垂足为，由点向作垂线，垂足为，连结．
∵平面，∴．
又，∴平面，
为平面的斜线，由于，
∴由三垂线定理：．
∴为二面角的平面角
在中，，，，
∴．
在中，，，，
∴，
∴．
∴，
∴二面角的余弦值为．
说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；
另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．
典型例题十五

例15　过点引三条不共面的直线、、，如图，，，若截取
(1)求证：平面平面；
(2)求到平面的距离．

分析：要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理，须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线．
(1)证明：∵，
又，
∴和都是等边三角形，
∴，
取的中点，连结，∴．
在中，，
∴，，
∴，∴．
在中，∴，，，
∴，∴，
∴平面．
∵平面，∴平面平面．
或：∵，
∴顶点在平面内的射影为的外心，
又为，∴在斜边上，
又为等腰直角三角形，∴为的中点，
∴平面．
∵平面，∴平面平面．
(2)解：由前所证：，，∴平面，
∴的长即为点到平面的距离，，
∴点到平面的距离为．
典型例题十六

例16　判断下列命题的真假
(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．
(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；
(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．
分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体中，平面平面，平面平面，在上取点，连结，则，即过棱上一点的直线与棱垂直，但与平面不垂直，其错误的原因是没有保证在平面内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体中，平面平面，平面，平面，且，即与相互垂直，但与平面不垂直；

(3)如上图，正方体中，平面平面，平面，平面，与所成的角为，即与不垂直．
说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．
典型例题十七

例17　如图，在二面角内有一点，到、的距离分别为3和5，求到交线的距离．

解：作于，于，
设，所确定的平面为，，
连，，∵，
∴．
同理，∴平面，
∴，则是到的距离．
在四边形中，，
∴是圆的内接四边形，且．
又∵，，
∴，
．
说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明、、、四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．
典型例题十八

例18　如图，四面体中，是等腰三角形，，，且平面，．求点到平面的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点到的垂线，先确定一个过点和平面垂直的平面，∵平面，故作于，连结，则平面平面，平面实际上就是二面角的平面角所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角的平面角的作图过程完全相同．
解：作交于，连结，
∵平面，根据三垂线定理有，又，
∴平面，又平面，
∴平面平面，且平面平面，
∴过点作于，由平面与平面垂直的性质定理可知：平面．
在中，，，
∴，
即点到平面的距离为．
说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．