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高中复习知识梳理之八
平面向量
一、重点知识
（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；
基线、单位向量、基向量、基底、正交基底： ；
向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量： ；
向量的模（或向量的长度）： ；
（二）向量的基本运算：
1. 向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：
（1）向量求和的三角形法则： ；
（2）向量求和的平行四边形法则： ；
（3）向量求和的多边形法则： ；
（4）向量减法法则： ；
结论１ 在中（加）或（减）称为向量三角形；推广可有，称为封闭折线．
（5）数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作 ；其长为 ；其方向为： ；
数乘向量的几何意义是： ；
向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律： ;(2)加法结合律： ；
数乘向量满足下列运算律：（1） （2） （3） 。
如：①在平行四边形ABCD中,已知,,,,试用表示 .
②如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交
直线，于不同的两点，若，，
则的值为 ．
2. 向量共线的条件：
结论2 （平行向量基本定理）向量与平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使．特别地，三点共线．
3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴，取单位向量，对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得，我们称x为向量在轴上的坐标（或数量）。
设是轴的一个基向量，向量的坐标为AB，则；
若轴为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量的坐标AB=。
4. 向量的分解：
结论3（平面向量基本定理） 设是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使．
这里 称为向量关于基底 的分解式。
特别地若，则有①称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②称为中点向量式（为中点）．
上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：
①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成∶的两条线段。
②求证三条高相交于一点．
5.平面向量的坐标运算：
对于结论3，若是一组单位正交基底，则称是向量在基底下的坐标，记作。
（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设，则有：
； ； ；
；
6.向量的数量积：
结论4 两个向量的数量积为，其中为两个向量的夹角，其范围为 ．数量积有如下性质：
① ；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；
② 夹角公式 ；（坐标形式）
③ 即 （用于求模）；
④ ；（坐标形式）
⑤ （某些不等式放缩证明的根据）
数量积的运算律：（1）交换律： ；（2）数乘律： ；
（3）分配律： 。（请给出证明）
注意：不满足消去律：推不出结论，举例： 。
如：①已知平面上直线l的方向向量=(-)，点O(0,0)和点A(1, -2)在l上的射影分别为和，且λ，其中λ=（ ）
A． B．- C． 2 D．-2
②模公式的应用举例：
（1）求证: ，其几何意义是 。
（2）若,则
（3）已知,,,则与的夹角为
（4）已知中每两个向量夹角都为且,,,求值.
7. 直线的方向向量 ，法向量 ，若再已知定点，而且点，是单位法向量，则点P到直线的距离公式为： 。（向量形式）
8. 结论５： ，称为向量三角形不等式．
（三）三角形的“四心”与向量
1. 关于重心G，有重心公式：
坐标，并有性质；
2. 关于垂心H，有性质；
3. 关于外心O，有性质；
结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉（）线。（如何证明？）
4. 关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。
如： ①已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
②在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是
③设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数= 。
④ O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
（四）向量与解析几何
在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：
（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得（）；
（2）的重心G的坐标公式为．
（3）直线的方向向量是什么？ 给定两点：，那么，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：，也就是说：直线的方向向量是，直线的法向量是．
例如：已知为坐标原点，点的坐标分别为,点运动时，满足，
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）设、是轨迹上的两点，若，求直线的方程
体验练习题一：
一、选择题
1．已知平面向量a= ，b=， 则向量( )
A平行于轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
2．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )
A． 6 B． 2 C． D．
3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）
A． B． C． D．
4．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A． B． C． D．
5．已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6． 8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
7． 3．已知平面向量，，且//，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
8． 5．已知平面向量，，与垂直，则是( )
A． 1 B． 1 C． 2 D． 2
9． 4．若向量满足，与的夹角为，则( )
A． B． C． D．2
10．已知平面向量，则向量( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是( )
（A） （B）
（C） （D）
12．已知向量，若与垂直，则( )
A． B． C． D．4
二、填空题
1．若平面向量，满足，平行于轴，，则 ．
2．已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=
3．已知向量和的夹角为，，则 ．
4．已知向量，，且，则= ．
5．设O、A、B、C为平面上四个点，＝，＝，＝，且，，则＝_______．
6．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则______．（用表示）
7. 设向量（1）若与垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求证：∥.
8．已知向量和，且求的值.
体验练习题二：
一、选择题：
1．若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（ ）
A B C D
2．在平面直角坐标系中作矩形,已知,则·的值为（ ）
A 0 B 7 C 25 D
3．向量,的夹角为120°，││＝││＝2，则·（－）等于（ ）
A B 2 C D 6
4．已知向量≠，||＝1，对任意实数t，恒有|－t||－|，则（ ）
A．⊥ B．⊥(－) C．⊥(－) D．(＋)⊥(－)
5．已知，向量与垂直，则实数的值为（）
（A） （B） （C） （D）
6．已知向量，如果，那么( )
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
7．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ）
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
二．填空题：
8．已知向量．若向量，则实数的值是 ；
9．设O为坐标原点，向量 ． 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为____________．
10．设集合平面向量，定义在上的映射，满足对任意x，均有(x) =x（R且）．若︱a︱= ︱b︱ 且a、b不共线，则〔( a) (b)〕（a+b）=________；若，且，则_______．
11．若把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则向量的坐标为 ．
12．设向量则的最大值为 _________．
13．已知向量，如果，那么( )
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
14．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ）
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
三、解答题：
15．四边形中，
（1）若，试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。
16． 在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，．．．，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.
解析：因为==（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以
则四边形ABCD的面积为
解法一：
===由已知,得又 ，∴，
∴，∴，∴。
解法二：
由已知，得。
∵
[解]（1）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为
A1关于点P2的对称点A2的坐标为，所以，
（2）[解法一]的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移
4个单位得到.
因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当
[解法二]设
若
当
（3）
由于，