数值分析习题(含答案)...doc

数值分析习题参考解答 江世宏编
第一章 绪论
姓名 学号 班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
解：，
故具有3位有效数字。
2 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需
，，即
即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？（有效数字的计算）
解：，，而，

故至少具有2位有效数字。
故至少具有2位有效数字。
4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算）
解：已知，则误差为
则相对误差为
5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
解：
绝对误差限为
相对误差限为
6 设的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算）
解：，
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）
解：球体积为 ，
欲使，必须 。
8 设，求证：
（1）
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
解：

如果初始误差为，若是向前递推，有

可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推，其误差为

可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。
第二章 插值法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
解法一（待定系数法）：设，由插值条件，有

解得：。
故 。
解法二（基函数法）：由插值条件，有

2 已知，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）
解：由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为

的近似值为。
3 若为互异节点，且有

试证明。（拉格朗日插值基函数的性质）
解：考虑辅助函数，其中，，。
是次数不超过的多项式，在节点（）处，有

这表明，有n+1个互异实根。
故，从而对于任意的均成立。
4 已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）
解：由插值条件，其抛物线插值函数为

将代入，计算可得：。
其余项为： 其中，

故误差的上界为：
。
5 用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）
解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为

绝对误差为：
相对误差为：
余项为：
，其中，
其余项的上界为：

比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6 已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。（均差的计算）
解：采用列表法来计算各阶均差，有
x
y
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
6

1
10
4

3
46
18
14/3

4
82
36
6
1/3

6
212
65
29/3
11/15
1/15
从表中可查得：。
x
y
一阶均差
二阶均差
4
82

1
10
72/3

3
46
18
6
故。其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。
7 设求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）
解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有

而 ，故。
8 如下函数值表

0
1
2
4

1
9
23
3
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）
解：
先构造均差表
x
f(x)
一阶均差
二阶均差
三阶均差
0
1

1
9
8

2
23
14
3

4
3
-10
-8
-11/4
故 。
9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，。（插值多项式的构造）
解法一（待定系数法）：设，则
，由插值条件，有

解得：。
故
解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表
x
y
一阶差商
二阶差商
三阶差商
1
2

2
4
2

2
4
3
1

3
12
8
5
2
故
10 构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。
解：设，
利用插值条件，有

解得：。

11 设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
解：，，，，
设，

解得：，，，。
故 。
，其中，。
12 若，试证明：
（插值余项的应用）
解：以为插值条件，作线性插值多项式，有

其余项为

故 。
13 设求使；
又设 ，则估计余项的大小。（插值误差的估计）
解：由插值条件，有

解得：
从而
其余项为

第三章 函数逼近
姓名 学号 班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1 设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
解：
，，
，
法方程组为

解得：，
线性最佳平方逼近多项式为：。
2 令，且设,求使得为于 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）
解：
，，
，
法方程组为

解得：，
线性最佳平方逼近多项式为：。
3证明：切比雪夫多项式序列

在区间上带权正交。（正交多项式的证明）
解：对于，有

对于，有

故，序列在[-1，1]上带权正交。
4求矛盾方程组：的最小二乘解。（最小二乘法）
解法一：求与，使得

达到最小。于是，令

即：，其最小二乘解为：。
解法二：
，记作，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组
，即
解之，得。
5 已知一组试验数据

2
2.5
3
4
5
5.5

4
4.5
6
8
8.5
9
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）
解：作矩阵
，
法方程为

即

解得：，。
其直线拟合函数为。
6 用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合.

19
25
31
38
44

19
32.3
49
73.3
97.8
（最小二乘二次逼近）
解：等价于对数据表

361
625
961
1444
1936

19
32.3
49
73.3
97.8
作线性拟合。其法方程组为：

解得：，
故经验公式为 。
第四章 数值积分
姓名 学号 班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。
1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算）
解：分别取，使上述数值积分公式准确成立，有；

解得：。
故求积公式为。
再取，左边=，右边=
再取，左边=，右边=
此求积公式的最高代数精度为3。
2 求积公式，试确定系数,及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）
解：分别取，使求积公式准确成立，有

解得：。
求积公式为。
再取，左边=右边
故该求积公式的最高代数精度为2。
3数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）
解：令，
，
，
故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。
4如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。（梯形求积）
解：梯形求积公式

是由过点，的线性插值函数

在[a,b]上的定积分。
注意到：在区间[a,b]上，，而，有

从而。
其几何意义可作以下解释：
在区间[a,b]上，，故曲线下凹，直线位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积小于梯形面积。

5用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。（复化梯形求积）
解：，取求积节点为

因，则误差大约为：。
6设,则用复化辛甫生公式计算，若有常数使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复化辛甫生公式）
解：

7已知高斯求积公式 将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。（高斯公式）
解：
对于作变量换，有

对于作变量换，有

8 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
解：分别取，使上述数值积分公式准确成立，有；

整理得：

解得：。
数值求积公式为

再取，左边=，右边=
再取，左边=，右边=
可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了次，故它是高斯型的。
9设是[0,1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系
（1）求。
（2）构造如下的高斯型求积公式。（高斯求积）
解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权且在[0，1]上正交的多项式序列
取，设，且它与在[0，1]上带权正交，于是
，
故 。
设，且它与、在[0，1]上带权正交，于是
，
，

解（2）：的零点为：。
设
分别取，使上述求积公式准确成立，有
，即
解得：，。
高斯型求积公式为

第五章 非线性方程求根
姓名 学号 班级
习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05。（二分法）
解：，，，在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
（1）计算，故有根区间为[1，2]。
（2）计算，故有根区间为。
（3）计算，故有根区间为。
（4）计算，故有根区间为。
（5）计算，故有根区间为。
（6）计算，故有根区间为。
（7）计算，故有根区间为。
（8）若取中点作为取根的近似值，其误差小于
取近似根，可满足精度要求。
2说明方程 在区间[1，2]内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）
解：
，，，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。
取迭代函数
显然，且

故迭代 （）对任意初始值收敛。
对于初值，其迭代值分别为
，，，
由于，故作为近似值，已精确到了3位有效数字。
3设有解方程的迭代法 (1)证明均有（为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值。（和收敛性讨论）
解(1)：，（），故该迭代对任意初值均收敛于方程的根。
解(2)：由，故有。
，故该迭代的收敛速度是1阶的。
解(3):取，代入迭代式，可计算出以下结果：
，，，，
由于，取可满足精度要求。
4设，，试证明：由 ，得到的序列收敛于。（收敛性证明）
证明：由知，方程有根。

由，当时，有，即序列收敛于。
5 设方程在[0,1]内的根为，若采用迭代公式，试证明：均有为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）
解：迭代函数
，当
故迭代在区间上整体收敛。
设，则，且

故
故该迭代的收敛速度为1阶的。
6 方程在附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：
(1) ，对应迭代格式：
(2) ，对应迭代格式：
(3) ，对应迭代格式：
讨论这些迭代格式在时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）
解：，
，，，故方程在上有根。
，故方程在上有根。
，故方程在上有根。
对于迭代式（1）：，，
而，故该迭代局部收敛，且收敛速度为1阶的。
对于迭代式（2）：在上，，
，又，故该迭代在上整体收敛，且收敛速度为一阶的。
对于迭代式（3）：在[1，2]上的值域为，该迭代式不收敛。
取迭代式，进行计算，其结果如下：
，，，
，，，
，取为近似值具有4位有效数字。
7设
(1) 写出解 的牛顿迭代格式；
(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）
解：牛顿迭代式为 ，
方程的根为，，，
因，故迭代局部收敛。又因，故迭代收敛速度为1阶。
8 设计一个计算的牛顿迭代法，且不用除法（其中）。（牛顿迭代法）
解：考虑方程，，

而，该迭代局部收敛。
9 用牛顿法求的近似值，取或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）
解：考虑方程，，

取为初始值，计算其迭代值如下：
，，
取为初始值，计算其迭代值如下：
，，
10设是非线性方程的m重根，试证明：迭代法

具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明）
解：设是非线性方程的m重根，则
，且及，其牛顿迭代函数为
牛顿迭代式

故该迭代的收敛速度至少是2阶的。
11设是非线性方程的m重根，证明：用牛顿迭代法求只是线性收敛。（收敛速度证明）
解：设是非线性方程的m重根，则
，且及，其牛顿迭代函数为
牛顿迭代式

故收敛速度为1阶的。
12设，在附近有直到阶的连续导数，且，，试证：迭代法在附近是阶收敛的。  （收敛速度证明）
解：将在点附近作泰勒展式，有

，其中，在与之间。
于是：
，其中，在与之间。
由于，故，从而
。
因此，迭代的收敛速度为p。
第六章 常微分方程数值解
姓名 学号 班级
习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。
1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程

的数值解（取步长），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）
解：原方程可转化为 ，令，有
解此一阶线性微分方程，可得 。
利用以下公式

求在节点处的数值解，其中，初值为。
MATLAB程序如下：
x(1)=0;%初值节点
y(1)=1;%初值
fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',1,x(1),1,y(1),1,y(1));
for i=1:5
yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i));%预报值
yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值
y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值
x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值
yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解
fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1));
end
程序运行的结果如下：
x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000
x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216
x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641
x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240
x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452
x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.732051
2用四阶龙格－库塔法求解初值问题，取, 求时的数值解. 要求写出由直接计算的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）
解：四阶龙格-库塔经典公式为

由于，在各点的斜率预报值分别为：

四阶经典公式可改写成以下直接的形式：

在处，有

在处，有

注：这两个近似值与精确解在这两点的精确值十分接近。
3 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。
解：显然，是原初值问题的准确解。
求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为

对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为
，，
于是：

亦即：
注意到：，，令，有

从而
即：当时，收敛于原初值问题的准确解。
4对于初值问题，证明当时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论）
证明：显式的欧拉公式为
从而，由于，，
因此，显式欧拉公式绝对稳定。
隐式的欧拉公式为
，
由于，，
因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。
5证明：梯形公式无条件稳定。（梯形公式的稳定性讨论）
解：对于微分方程初值问题

其隐式的梯形公式的具体形式可表示为
，，
从而
由，可知，，故隐式的梯形公式无条件稳定。
6设有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）
解：假设，，利用泰勒展式，有

又
欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须
，，
从而 ，，
于是数值计算公式为 。
该数值计算公式的局部截断误差的主项为

7已知初值问题

取步长，利用阿当姆斯公式，求此微分方程在[0，10]上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）
解：假设，，利用泰勒展开，有
，，

而

该阿当姆斯两步公式具有2阶精度，其局部截断误差的主项为。
取步长，节点（），注意到，其计算公式可改写为

仅需取一个初值，可实现这一公式的实际计算。
其MATLAB下的程序如下：
x0=0;%初值节点
y0=0;%初值
for n=0:99
y1=y0+0.02*n+0.01;
x1=x0+0.1;
fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f\n',n+1,x1,n+1,y1);
x0=x1;
y0=y1;
end
运行结果如下：
x( 1)=0.10000000,y( 1)=0.01000000
x( 2)=0.20000000,y( 2)=0.04000000
x( 3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000
x( 4)=0.40000000,y( 4)=0.16000000
x( 5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000
x( 6)=0.60000000,y( 6)=0.36000000
x( 7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000
x( 8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000
x( 9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000
x( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000
x( 11)=1.10000000,y( 11)=1.21000000
x( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000
x( 13)=1.30000000,y( 13)=1.69000000
x( 14)=1.40000000,y( 14)=1.96000000
x( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000
x( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000
x( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000
x( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000
x( 19)=1.90000000,y( 19)=3.61000000
x( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000
x( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000
x( 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000
x( 23)=2.30000000,y( 23)=5.29000000
x( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000
x( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000
x( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000
x( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000
x( 28)=2.80000000,y( 28)=7.84000000
x( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000
x( 30)=3.00000000,y( 30)=9.00000000
x( 31)=3.10000000,y( 31)=9.61000000
x( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000
x( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000
x( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000
x( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000
x( 36)=3.60000000,y( 36)=12.96000000
x( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000
x( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000
x( 39)=3.90000000,y( 39)=15.21000000
x( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000
x( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000
x( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000
x( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000
x( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000
x( 45)=4.50000000,y( 45)=20.25000000
x( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000
x( 47)=4.70000000,y( 47)=22.09000000
x( 48)=4.80000000,y( 48)=23.04000000
x( 49)=4.90000000,y( 49)=24.01000000
x( 50)=5.00000000,y( 50)=25.00000000
x( 51)=5.10000000,y( 51)=26.01000000
x( 52)=5.20000000,y( 52)=27.04000000
x( 53)=5.30000000,y( 53)=28.09000000
x( 54)=5.40000000,y( 54)=29.16000000
x( 55)=5.50000000,y( 55)=30.25000000
x( 56)=5.60000000,y( 56)=31.36000000
x( 57)=5.70000000,y( 57)=32.49000000
x( 58)=5.80000000,y( 58)=33.64000000
x( 59)=5.90000000,y( 59)=34.81000000
x( 60)=6.00000000,y( 60)=36.00000000
x( 61)=6.10000000,y( 61)=37.21000000
x( 62)=6.20000000,y( 62)=38.44000000
x( 63)=6.30000000,y( 63)=39.69000000
x( 64)=6.40000000,y( 64)=40.96000000
x( 65)=6.50000000,y( 65)=42.25000000
x( 66)=6.60000000,y( 66)=43.56000000
x( 67)=6.70000000,y( 67)=44.89000000
x( 68)=6.80000000,y( 68)=46.24000000
x( 69)=6.90000000,y( 69)=47.61000000
x( 70)=7.00000000,y( 70)=49.00000000
x( 71)=7.10000000,y( 71)=50.41000000
x( 72)=7.20000000,y( 72)=51.84000000
x( 73)=7.30000000,y( 73)=53.29000000
x( 74)=7.40000000,y( 74)=54.76000000
x( 75)=7.50000000,y( 75)=56.25000000
x( 76)=7.60000000,y( 76)=57.76000000
x( 77)=7.70000000,y( 77)=59.29000000
x( 78)=7.80000000,y( 78)=60.84000000
x( 79)=7.90000000,y( 79)=62.41000000
x( 80)=8.00000000,y( 80)=64.00000000
x( 81)=8.10000000,y( 81)=65.61000000
x( 82)=8.20000000,y( 82)=67.24000000
x( 83)=8.30000000,y( 83)=68.89000000
x( 84)=8.40000000,y( 84)=70.56000000
x( 85)=8.50000000,y( 85)=72.25000000
x( 86)=8.60000000,y( 86)=73.96000000
x( 87)=8.70000000,y( 87)=75.69000000
x( 88)=8.80000000,y( 88)=77.44000000
x( 89)=8.90000000,y( 89)=79.21000000
x( 90)=9.00000000,y( 90)=81.00000000
x( 91)=9.10000000,y( 91)=82.81000000
x( 92)=9.20000000,y( 92)=84.64000000
x( 93)=9.30000000,y( 93)=86.49000000
x( 94)=9.40000000,y( 94)=88.36000000
x( 95)=9.50000000,y( 95)=90.25000000
x( 96)=9.60000000,y( 96)=92.16000000
x( 97)=9.70000000,y( 97)=94.09000000
x( 98)=9.80000000,y( 98)=96.04000000
x( 99)=9.90000000,y( 99)=98.01000000
x(100)=10.00000000,y(100)=100.00000000
第七章 线性方程组的迭代解法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。
1证明：迭代格式收敛，其中。（迭代法收敛性判断）
解：
因，故迭代收敛。
2若用雅可比迭代法求解方程组迭代收敛的充要条件是。（雅可比迭代法的收敛性）
解：原线性方程组的等价方程组为

其雅可比迭代式为

其收敛的充要条件是，即。
3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组

是否收敛？为什么？若将方程组改变成为

再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）
解：雅可比迭代式为

其，故雅可比迭代发散。
高斯-塞德尔迭代式为

其，故高斯-塞德尔迭代发散。
对于线性方程组，即，其雅可比迭代为
，
其，故雅可比迭代收敛。
，

其，故高斯-塞德尔迭代收敛。
4证明解线性方程组的雅可比迭代收敛，其中。（雅可比迭代收敛性判断）
解：雅可比迭代为
，
，
其，故雅可比迭代收敛。
5已知方程组，其中，
(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。
(2) 若有迭代公式，试确定的取值范围，使该迭代公式收敛。（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论）
解：雅可比迭代式为

其，故雅可比迭代收敛。
高斯-塞德尔迭代式为

其，故高斯-塞德尔迭代收敛。
对于以下迭代式

故的特征值为，。
当
，
同时满足，即
，
同时满足时，亦即，时，有

从而迭代收敛。
6给出矩阵，（为实数），试分别求出的取值范围：
(1) 使得用雅可比迭代法解方程组时收敛；
(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论）
解：雅可比迭代为

当时，，使雅可比迭代收敛。
高斯-塞德尔迭代为

仍然是当时，，使高斯-塞德尔迭代收敛。
7设，
(1) 设是由雅可比迭代求解方程组所产生的迭代向量，且，试写出计算的精确表达式。
(2) 设是的精确解，写出误差的精确表达式。
(3) 如构造如下的迭代公式解方程组，试确定的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）
解：原线性方程组等价于，其雅可比迭代为

将上述迭代式记作，从而

而，，若记，则，，…
于是，，，，，…
当为偶数时，
当为奇数时，
总之，。
的特征多项式为，故其特征值为1，3。
对于迭代

其迭代矩阵为，其特征值为，。当时，，该迭代收敛。
8对于给定的线性方程组
（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
（2）对收敛的方法，取初值，迭代两次，求出。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）
解：，
雅可比迭代式为：
，取
计算迭代阵的特征值

故，雅可比迭代收敛。
高斯-塞德尔迭代式

，取
计算迭代阵的特征值

故，高斯-塞德尔迭代发散。
对于雅可比迭代，取，可得
，，
进一步的计算可知，。
9 证明对称矩阵

当为正定矩阵，且只有当时，用雅可比迭代法求解方程组才收敛。（雅可比迭代法的收敛性）
解：矩阵A的各级顺序主子式分别为
，，
当时，上述各级顺序主子式均大于零，故A正定。
其雅可比迭代式为

其迭代矩阵的特征多项式为

迭代矩阵的特征值为和。当时，，雅可比迭代收敛。第八章 线性方程组的直接解法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。
1用高斯消去法解方程组。(高斯消去法的应用)
解：用，，，依次左乘方程组两边（采用高斯消去法），有

解得：，，。
2用LU分解法求解线性方程组。（LU分解法的应用）
解：原线性方程组的系数矩阵，右端列向量分别为
，
，其中，，
解，可得：，解，可得：。
3设，求A的LU分解。（LU分解法的应用）
解：，
4试用“追赶法”解方程组，其中：，（追赶法的应用）
解：追的过程：
由第1个方程，有
代入第2个方程，解出
再代入第3个方程，解出。
赶的过程：
将代入，得到。再将代入，得。
故原线性方程组的解为。
5设，求（条件数的计算）
解：

的特征值分别为2，7，故。
从而，故。
6求证：，（范数的性质）
证明：设和为n阶方阵，对于任意给定n维向量，有

故 。
由有：，从而 。
7求证：。（范数的性质）
证明：，设的最大特征值为，其特征向量为，且
从而。
，
故。
8对矩阵，求，，和。（范数，条件数的计算）
解：行范数，列范数，且为实对称矩阵。

其特征值分别为，。
的特值值分别为，。
故，。
9方程组，其中，是对称的且非奇异。设有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明：，其中和分别为的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）
证明：是对称的且非奇异，则，，
，于是，
所证明的不等式等价于，亦即
由，有 ，从而
，注意到，有
于是

10证明：若为严格对角占优矩阵，则非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）
解：据严格对角占优，有
用反证法，假设为奇异阵，则存在着非零向量，使得。
由于，不妨设，则，于是
，

这显然与条件相矛盾，故为非奇异阵。
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