平行四边形的存在性问题.doc

平行四边形的存在性问题2019
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．
如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．
根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．
引例1, 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

引例2, 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

1,（2017•泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．

2.（2017•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

3．（2018•徐汇区二模）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；
（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．

4．（2018•杨浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP∥AO时，求∠PAC的正切值；
（3）∠当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标．

5．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

6．（2018•浦东新区二模）已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图象的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．

7.（2017•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

答案
1,（2017•泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
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【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，
则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．
∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，
设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，
整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．
综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．
2.（2017•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；
（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax2+bx+1中得，，
解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+1；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（0，1），D（3，），∴，∴，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
设P（t，0）， ∴M（t，t+1）， ∴PM=t+1，
∵CD⊥x轴， ∴PC=3﹣t，
∴S△PCM=PC•PM=（3﹣t）（t+1），
∴S△PCM=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+，
∴△PCM面积的最大值是；
（3）∵OP=t，
∴点M，N的横坐标为t，
设M（t，t+1），N（t，﹣t2+t+1），
∴|MN|=|﹣t2+t+1﹣t﹣1|=|﹣t2+t|，CD=，
如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即﹣t2+t=，整理得：3t2﹣9t+10=0，
∵△=﹣39， ∴方程﹣t2+t=无实数根，∴不存在t，
如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即t2﹣t=， ∴t=，（负值舍去），
∴当t=时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．

【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．
3.（2018•徐汇区二模）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；
（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．

【分析】（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；
（2）设M（m，﹣m+2），则N（m，﹣+2），则MN=（﹣+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，根据MN=OC=2列方程可得M的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；
（3）分两种情况：
①当D在x轴的下方：根据AC∥BD，直线解析式k相等可设直线BD的解析式为：y=2x+b，把B（4，0）代入得直线BD的解析式为：y=2x﹣8，联立方程可得D的坐标；
②当D在x轴的上方，根据对称可得M的坐标，利用待定系数法求直线BM的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=2，∴C（0，2），
当y=0时，﹣x+2=0，x=4，∴B（4，0），
把C（0，2）和B（4，0）代入抛物线y=﹣+bx+c中得：，
解得：，∴该抛物线的表达式：；
（2）如图1，∵C（0，2），∴OC=2，
设M（m，﹣m+2），则N（m，﹣+2），
∴MN=（﹣+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
∵MN∥y轴，当四边形OMNC是平行四边形时，MN=OC，
即﹣m2+2m=2，解得：m1=m2=2，∴S▱OCMN=OC×2=2×2=4；
（3）分两种情况：
当y=0时，﹣x+2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，∴A（﹣1，0），
易得直线AC的解析式为：y=2x+2，
①当D在x轴的下方时，如图2，AC∥BD，∴设直线BD的解析式为：y=2x+b，
把B（4，0）代入得：0=2×4+b，b=﹣8，∴直线BD的解析式为：y=2x﹣8，
则2x﹣8=﹣x+2，解得：x1=﹣5，x2=4（舍），∴D（﹣5，﹣18）；
②当D在x轴的上方时，如图3，作抛物线的对称轴交直线BD于M，将BE（图2中的点D）于N，
对称轴是：x=﹣=，
∵∠CAO=∠ABE=∠DAB，∴M与N关于x轴对称，直线BE的解析式：y=2x﹣8，
当x=时，y=﹣5，∴N（，﹣5），M（，5），
直线BM的解析式为：y=﹣2x+8，
﹣2x+8=﹣x+2，解得：x1=3，x2=4（舍），∴D（3，2），
综上所述，点D的坐标为：（﹣5，﹣18）或（3，2）．

【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，两直线平行的关系，对称性等知识，（3）题有难度，采用分类讨论的思想解决问题．
4．（2018•杨浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP∥AO时，求∠PAC的正切值；
（3）∠当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标．

【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，4），A（﹣4，0），然后根据待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=﹣1，再利用对称性得到P（﹣2，4），作PH⊥AC于H，如图1，证明△OAC和△PCH为等腰直角三角形得到AC=4，PH=CH=，则AH=3，然后根据正切的定义求解；
（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，利用平行四边形的性质得PQ∥OA，PQ=OA=4，设P（t，﹣t2﹣t+4），则Q（t+4，﹣t2﹣t+4），然后Q点坐标代入y=﹣x2﹣x+4得﹣（t+4）2﹣（t+4）+4=﹣t2﹣t+4，再解关于t的方程即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x+4=4，则C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0），
把A（﹣4，0），C（0，4）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；
（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
而PC∥OA，∴点P与点C关于直线x=﹣1对称，∴P（﹣2，4），PC=2，
作PH⊥AC于H，如图1，
∵OA=OC=4，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，AC=4，
∵PC∥OA，∴∠PCA=∠OAC=45°，∴△PCH为等腰直角三角形，
∴PH=CH=×2=，∴AH=AC﹣CH=4﹣=3，
在Rt△PAH中，tan∠PAH===，即∠PAC的正切值为；
（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，
∵四边形APQO为平行四边形，∴PQ∥OA，PQ=OA=4，
设P（t，﹣t2﹣t+4），则Q（t+4，﹣t2﹣t+4），
把（t+4，﹣t2﹣t+4）代入y=﹣x2﹣x+4得﹣（t+4）2﹣（t+4）+4=﹣t2﹣t+4，解得t=﹣3，∴此时P点坐标为（﹣3，）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．
5．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，﹣2），
AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，把E（，﹣）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣x﹣，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣），
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5），∵3=，∴x=，∴M2（，﹣），
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．（2018•浦东新区二模）已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图象的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出OA=2，OC=4，进而求出BC，再得出和，进而建立方程．即可得出结论；
（3）①当MC为菱形MCNP的边时，先求出．进而得出，即可得出结论；
②当MC为菱形MCPN的边时，不存在，
③当MC为菱形MNCP的对角线时，先判断出CM、NP互相垂直平分，进而得出NQ=QP=1．MQ=QC，即可得出QN=CQ=1，MQ=CQ=1，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴，解得，∴抛物线的解析式为，
（2）如图1，过点E作EH⊥BC于点H．
在Rt△ACO中，∵A（﹣2，0），∴OA=2，
，∴OC=4，
在Rt△COB中，∵∠COB=90°，OC=OB=4，∴．
∵EH⊥BC，∴CH=EH．∴在Rt△ACO中，，
∵∠CBE=∠ACO，在Rt△EBH中，．
设EH=k（k＞0），则BH=2k，CH=k，．
∴．∴，∴，∴，∴，
（3）∵A（1，0），B（5，0），∴抛物线的对称轴为直线x=1，
①当MC为菱形MCNP的边时，
∴CM∥PN，∴∠PNC=∠NCO=45°．
∵点P在二次函数的对称轴上，∴点P的横坐标为1，点N的横坐标为1．
∴．
∵四边形MCNP是菱形，∴，∴，∴，
②当MC为菱形MCPN的边时，不存在，
③如图2，当MC为菱形MNCP的对角线时，
设NP交CM于点Q，∴CM、NP互相垂直平分，∴NQ=QP=1．MQ=QC，
∵点N在直线BC上，∠NCM=∠OCB=45°．
在Rt△CQN中，∴∠NCQ=∠CNQ=45°，∴QN=CQ=1，∴MQ=CQ=1，∴CM=2，
∴OM=OC+CM=4+2=6，∴M（0，6），
∴综上所述或 M（0，6）．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，线段垂直平分线的判定和性质，特殊直角三角形的性质，用分类讨论的思想是解本题的关键．
7.（2017•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=﹣，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，
把A（﹣2，0）代入可得a=﹣，∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，
由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得2＜m＜2，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，
∴PF=FM，∠PFM=90°，
易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y=﹣x2+4上，
∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），
∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=﹣3或6．

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平行四边形的存在性问题