整式的乘除知识点梳理.doc

整 式 的 乘 除
知识点归纳：
回顾：代数式

1、 单项式的概念
由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
次数如何判断？

如：的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
单独的数字或字母也称单项式

2、 多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
次数如何判断？

二次项、一次项……判断根据？

如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。
代数式分类总结

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：
如：
按的升幂排列：
按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则
什么是同底数幂？

同底数幂中的底数可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，但和不是同底数幂。

（都是正整数）解释
结论：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：

　1．填空：
　　（1）叫做的m次幂，其中a叫幂的________，m叫幂的________；
　　（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c，指数为3，这个数为________；
　　（3）表示________，表示________；
　　（4）根据乘方的意义，＝________，＝________，因此＝
　　2．计算：
　　（1） （2）
　　（3） （4）
　　（5） （6）
　　（7） （8）
　　3．计算：
　　（1） （2）
　　（3） （4）
　　（5） （6）
　　（7） （8）
　　（9） （10）
　　（11） （12）
　　4．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
　　（1）； （2）；
　　（3）； （4）；
　　（5）； （6）；
　　（7）； （8）；
　　（9）．
　　5．选择题：
　　（1）可以写成（　）．
　　A． B． C． D．
　　（2）下列式子正确的是（　）．
　　A． B． C． D．
　　（3）下列计算正确的是（　）．
A． B．
C． D．

6、幂的乘方法则
（都是正整数）解释

结论：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即
如： 已知：，，求的值；

7、积的乘方法则
（是正整数）解释

结论：
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=

8、同底数幂的除法法则
（都是正整数，且解释
结论：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

1. =________, =_________.
2. =_________,.
3..
4. =__________.
5. =__________.
6. =_________,=_____.
7.若,则=_______,=________.
8.若,则n=__________.
（二）、选择题
9.若a为有理数,则的值为( )
A.有理数 B.正数 C.零或负数 D.正数或零
10.若,则a与b的关系是( )
A.异号 B.同号 C.都不为零 D.关系不确定
11.计算的结果是( )
A.- B. C.- D.
12.= ( )
A. B. C. D.
13.下列命题中,正确的有( )
①,②m为正奇数时,一定有等式成立,
③等式,无论m为何值时都不成立
④三个等式:都不成立( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.已知│x│=1,│y│= ,则的值等于( )
A.- 或- B. 或 C. D.-
15. 已知,则a、b、c的大小关系是( )
A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.a<b<c
16.计算等于( )
A.- B. C.1 D.-1
（三）、解答题
17.计算
(1);

(2);

(3) (m为正整数).

18.已知,求(1)的值;(2)的值

19.比较与的大小

20.已知,求的值

21.若a=-3,b=25,则的末位数是多少?

9、零指数和负指数

任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数）
一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如：

10、科学记数法
如：0.00000721=7.21（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）

11、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：

12、单项式乘以多项式
单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]
如：

13、多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
如：

14、平方差公式

注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：（a+b－1）（a－b+1）= 。计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)

15、完全平方公式

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
如：⑴、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。
⑵、已知 求与的值.

16、三项式的完全平方公式

17、单项式的除法法则
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：

18、多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：

方法总结：①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式+余式
例如：已知一个多项式除以多项式所得的商式是，余式是，求这个多项式。

单项式与多项式的乘法复习题
1、 若的展开式中项的系数为-2，则的值为 。

2、 若化简后的结果中不含有的一次项，则的值为 。

3、 若、分别是关于的7次多项式与5次多项式，则（ ）。
A. 一定是12次多项式 B. 一定是35次多项式
C.一定是不高于11次的多项式 D.无法确定

4、 多项式能被整除，那么的值为 。

5、 若等式成立，则的值为 。

6、 已知，求的值。

7、 已知，求的值。

8、已知，求的值。

9、已知，求代数式的值。

10、若的乘积中不含和项，求和的值

怎样熟练运用公式：
（一）、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提，1如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．
（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。
（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．
5、项数变化 如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

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