专题20：动态几何之存在性问题探讨.doc

【2013年中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。一、等腰（边）三角形存在问题：典型例题：例1：（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a0）的顶点坐标为点A（2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）. （1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是x轴上任意一点，则当PAPB最大时，求点P的坐标.【答案】解：（1）抛物线的顶点坐标为A(2，3)，可设抛物线的解析式为。由题意得 ，解得。物线的解析式为，即。（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA=，PB=，AB=当PA=PB时，=，解得；当PA=PB时，=5，方程无实数解；当PB=AB时，=5，解得。x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。（3）PAPBAB，当A、B、P三点共线时，可得PAPB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为，则，解得。直线AB的解析式为，当=0时，解得。当PAPB最大时，点P的坐标是（4，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。（3）求得PAPB最大时的位置，即可求解。例2：（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1。 由RtABC知RtABORtCAO，即，解得OC=4。 点C的坐标为（4，0）。 （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为， 将A（0，2）代入，得，解得。 过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。 ，抛物线的对称轴为。 （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。 点P（m，n）在上， P。 ， ，。 。 ，当时，S最大。当时，。点P的坐标为（2，3）。（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由RtABORtCAO可得，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。由点P在和可得。，整理，得。要使PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的0，即，解得。将代入得，将代入得。当S最大时点P的坐标为（2，3）。（4）设点M（）， C（4，0）, P（2，3）, PC=,PM=, CM=。分三种情况讨论：当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。M1（）。当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。 M2（），M2（）。 当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。 M4（），M5（）。 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，MPC为等腰三角形。例3：（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90。AOB=120，BOC=60。又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=。点B的坐标为（2，）。（2）抛物线过原点O和点AB， 可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（2，）代入，得，解得。此抛物线的解析式为。（3）存在。如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=，当y=时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上。y=不符合题意，舍去。点P的坐标为（2，）。若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=。点P的坐标为（2，）。若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=。点P的坐标为（2，）。综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，）。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出OPB三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。例4：（2012内蒙古包头12分）已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且，求点M 的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=2；令x=0，得y =4。 A（2，0），D（0，4）。 将A（2，0），D（0，4）代入，得 ，解得。 这条抛物线的解析式为。 令，解得。B（4，0）。 （2）设M（m，2 m + 4），分两种情况： 当M在线段AD上时，由得，解得，。M1（）。当M在线段DA延长线上时，由得，解得。M2（）。综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。（3）存在。 点C（2，y）在上， 。C（2，4）。 设P，根据勾股定理，得 ， ，。 分三种情况：若PB=BC，则，解得，。点P在y 轴的正半轴上，P1（0，2）。若PB=PC，则，解得，。P2（0，）。若BC=PC，则，解得，。点P在y 轴的正半轴上，不符合要求。当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使BCP为等腰三角形。综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使BCP为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。（3）P，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。例5：（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又C（0，）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。练习题：1. (2012广西百色10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx6经过点A(3，0)和点B(2，0)直线yh（h为常数，且0h6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G（1）求抛物线的解析式；（2）连接BE，求h为何值时，BDE的面积最大；（3）已知一定点M（2，0）问：是否存在这样的直线yh，使OMF是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由y=h 2. （2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x24x+3与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于点C（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数k，使ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由3. （2012湖南衡阳10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状4. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由5. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60（1）点B的坐标是；CAO= 度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围二、直角三角形存在问题：典型例题：例1：（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (1，0) 如图所示，B点在抛物线yx2x2图象上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点横坐标为3（1）求证：BDCCOA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）证明：BCDACO90，ACOOAC90，BCDOAC。ABC为等腰直角三角形 ，BCAC。在BDC和COA中，BDCCOA90，BCDOAC，BCAC，BDCCOA（AAS）。 （2）C点坐标为 (1，0)，BDCO1。B点横坐标为3，B点坐标为 (3，1)。设BC所在直线的函数关系式为ykxb，解得。BC所在直线的函数关系式为y x 。（3）存在 。 yx2x2(x)2x，对称轴为直线x。若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1AC，BCAC，点P1为直线BC与对轴称直线x的交点。由题意可得： ， 解得，。P1（，）。若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2AC，则过点A作A P2BC，交对轴称直线x于点P2，CDOA，A（0，2）。设直线AP2的解析式为：yxm，把A（0，2）代入得m2。直线AP2的解析式为：yx2。 由题意可得：，解得，。P2（，）。P点坐标分别为P1（，）、P2（，）。【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。 （2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。 （3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。例2：（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=2，BC=6，AB=3E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连接BD，BM，DM，是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围【答案】解：（1）如图，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x。AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x。GFBE，AGFABC。，即。解得：x=2，即BE=2。（2）存在满足条件的t，理由如下：如图，过点D作DHBC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，EFAB，MECABC。，即。ME=2t。在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2=t22t+8。在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13。过点M作MNDH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2t，DN=DHNH=3（2t）=t+1。在RtDMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。（）若DBM=90，则DM2=BM2+BD2，即t2+t+1=（t22t+8）+（t24t+13），解得：t=。（）若BMD=90，则BD2=BM2+DM2，即t24t+13=（t22t+8）+（t2+t+1），解得：t1=3+，t2=3（舍去）。t=3+。（）若BDM=90，则BM2=BD2+DM2，即t22t+8=（t24t+13）+（t2+t+1），此方程无解。综上所述，当t=或3+时，BDM是直角三角形；（3）。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得AGFABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。（2）首先由MECABC与勾股定理，求得BM，DM与BD的平方，然后分别从若DBM、DBM和BDM分别是直角，列方程求解即可。（3）分别从， 和时去分析求解即可求得答案：如图，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，CE=。t=BB=BCBEEC=62。ME=2t，FM=t，当时，S=SFMN=tt=t2。如图，当G在AC上时，t=2，EK=ECtanDCB= ，FK=2EK=1。NL=，FL=t，当时，S=SFMNSFKL=t2（t）（1）=。如图，当G在CD上时，BC：CH=BG：DH，即BC：4=2：3，解得：BC=，EC=4t=BC2=。t=。BN=BC=（6t）=3t，GN=GBBN=t1。当时，S=S梯形GNMFSFKL=2（t1+t）（t）（1）=。如图，当时，BL=BC=（6t），EK=EC=（4t），BN=BC=（6t）EM=EC=（4t），S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=。综上所述：。例3：（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）在y=x2bx5中令x=0，得y=5，|OC|=5。 |OC|：|OA|=5：1，|OA|=1。A（1，0）。把A（1，0）代入y=x2bx5得（1）2+b5=0，解得b=4。抛物线的解析式为y=x24x5。（2）y=x24x5=（x2）29，抛物线的的对称轴为x=2。 点C与点F关于对称轴对称，C（0，5）F（4，5）。设直线AF的解析式为y=kx+b，把F（4，5），A（1，0），代入y=kx+b，得，解得。直线FA的解析式为y=x1。（3）存在。理由如下：当FCP=90时，点P与点E重合，点E是直线y=x1与y轴的交点，E（0，1）。P（0，1）。当CF是斜边时，过点C作CPAF于点P。设P（x1，x11），ECF=90，E（0，1），C（0，5），F（4，5），CE=CF。EP=PF。CP=PF。点P在抛物线的对称轴上。x1=2。把x1=2代入y=x1，得y=3。P（2，3）。综上所述，直线AF上存在点P（0，1）或（0，1）使CFP是直角三角形。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质。【分析】（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。（2）由y=x24x5=（x2）29可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。（3）分点P与点E重合和CF是斜边两种情况讨论即可。例4：（2012海南省13分）如图，顶点为P（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON（1）求该二次函数的关系式.（2）若点A的坐标是（6，3），求ANO的面积.（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：证明：ANM=ONMANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.【答案】解：（1）二次函数图象的顶点为P（4，4），设二次函数的关系式为。 又二次函数图象经过原点（0，0），解得。 二次函数的关系式为，即。 （2）设直线OA的解析式为，将A（6，3）代入得，解得。 直线OA的解析式为。 把代入得。M（4，2）。又点M、N关于点P对称，N（4，6），MN=4。 （3）证明：过点A作AH于点H，与x轴交于点D。则 设A（）,则直线OA的解析式为。则M（），N（），H（）。OD=4，ND=，HA=，NH=。ANM=ONM。能。理由如下：分三种情况讨论：情况1，若ONA是直角，由，得ANM=ONM=450，AHN是等腰直角三角形。HA=NH，即。整理，得，解得。此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使ONA是直角。情况2，若AON是直角，则。 ，。整理，得，解得，。舍去，（在左侧）。当时，。此时存在点A（），使AON是直角。情况3，若NAO是直角，则AMNDMODON，。OD=4，MD=，ND=，。整理，得，解得。此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使ONA是直角。练习题：1. （2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2：（2012湖南邵阳12分）如图所示，直线与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C.求点C的坐标；设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使BPM=BAC 求证：PBCMPA； 是否存在点P使PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。3. （2012云南省9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A抛物线的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由三、平行四边形存在问题：典型例题：例1：（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标【答案】解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3。 点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）。当x=0时，y=3。C点的坐标为（0，3）。设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得。直线AC的解析式为y=3x+3。y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）。（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）。综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3）。（3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求。过点B作BEx轴于点E。1和2都是3的余角，1=2。RtAOCRtAFB。由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4。，解得。BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，。BE=，BE=。OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）。设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），则，解得。直线BD的解析式为：。联立BD与AC的直线解析式可得：，解得。M点的坐标为（）。例2：（2012山东日照10分）如图，二次函数y=x2bxc的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（2，3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.【答案】解：（1）将A（3，0），D(2，3)的坐标代入y=x2bxc得，解得：。抛物线的解析式为y=x22x3 。由x22x3=0，得：x1=3，x2=1，B的坐标是（1，0）。设直线BD的解析式为y=kxb，则，解得：。直线BD的解析式为y=x1。 （2）直线BD的解析式是y=x1，且EFBD,直线EF的解析式为：y=xa。 若四边形BDFE是平行四边形，则DFx轴。D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为3。由得y2（2a1）ya22a3=0，解得：y= 。令=3，解得：a1=1，a2=3。当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意。存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。【分析】（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式。（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=3求得合适的a的值即可。例3：（2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A90，ABAC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）。（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）作CNx轴于点N。在RtCNA和RtAOB中，NCOA2，ACABRtCNARtAOB（HL）。ANBO1，NONAAO3，又点C在第二象限，d3。（2）设反比例函数为，点C和B在该比例函数图像上，设C（c，2），则B（c3，1）。把点C和的坐标分别代入，得k2 c；kc3。2 cc3，c3，则k6。反比例函数解析式为。得点C（3，2）；B（6，1）。设直线CB的解析式为yaxb，把C、B两点坐标代入得，解得。直线CB的解析式为。（3）设Q是G C的中点，由G（0，3），C（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为2。Q（，）。过点Q作直线l与x轴交于M点，与的图象交于P点，若四边形PG M C是平行四边形，则有PQQ M，易知点M的横坐标大于，点P的横坐标小于。作Px轴于点H，QKy轴于点K，PH与QK交于点E，作QFx轴于点F，则PEQQFM。设EQFMt，则点P的横坐标x为，点P的纵坐标y为，点M的坐标是（，0）。PE