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概率论与数理统计习题及答案

习题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.
（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.
（2） 掷二颗骰子，
 A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”
 B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.”
（3）将一枚硬币抛两次，
 A=“第一次出现正面.”
B=“至少有一次出现正面.”
C=“两次出现同一面.”
【解】

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1） A发生，B，C都不发生；
（2） A与B发生，C不发生；
（3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；
（5） A，B，C都不发生；
（6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有2个发生；
（8） A，B，C至少有2个发生.
【解】（1） A （2） AB （3） ABC
（4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=
(5) = (6)
(7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪
(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC

5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.
【解】 P（）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-[0.7-0.3]=0.6
7.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：
（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？
【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

9.对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
P（A1）==（）5 （亦可用独立性求解，下同）
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
P（A2）==()5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1-P(A1)=1-()5

10. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.
【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共种取法;从5个次品中取1个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为.

11.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：
（1） n件是同时取出的；
（2） n件是无放回逐件取出的；
（3） n件是有放回逐件取出的.
【解】（1） P（A）=
(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为种，故
P（A）=
由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成
P（A）=
可以看出，用第二种方法简便得多.
（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M种取法，共有（N-M）n-m种取法，故

此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为，则取得m件正品的概率为

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？
【解】设A={发生一个部件强度太弱}

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.
【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

故
14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1） 两粒都发芽的概率；
（2） 至少有一粒发芽的概率；
（3） 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）
(1)
(2)
(3)
15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
（1） 问正好在第6次停止的概率；
（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
【解】（1） (2)

18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.
【解】 设A={下雨}，B={下雪}.
（1）
（2）
19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.
【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.

22.从（0，1）中随机地取两个数，求：
（1） 两个数之和小于的概率；
（2） 两个数之积小于的概率.
【解】 设两数为x,y，则0<x,y<1.
（1） x+y<.

(2) xy=<.

23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪）
【解】

24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}
由全概率公式，有

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知
（1）

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2)

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B}
由贝叶斯公式，得

27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）
【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知

28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得

29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}
则由贝叶斯公式得

30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.

即为
故 n≥11
至少必须进行11次独立射击.
32.证明：若P（A｜B）=P(A｜)，则A，B相互独立.
【证】 即
亦即

因此
故A与B相互独立.
33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，，，求将此密码破译出的概率.
【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
【解】（1）
(2)
36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；
（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；
（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
（1） ，也可由6重贝努里模型：

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；②4人同时离开，有种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故

（4） D=.故

37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；
（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
【解】 （1）
(2)
(3)
38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率
【解】 设这三段长分别为x,y,a-x-y.则基本事件集为由
0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所构成的图形，有利事件集为由

构成的图形，即

如图阴影部分所示，故所求概率为.
39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与k无关.
【证】
40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.
【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
,
.
41.对任意的随机事件A，B，C，试证
P（AB）+P（AC）-P（BC）≤P(A).
【证】

42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.
【解】 设={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

因此
或
43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

故
44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）
（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5
(2) 当n为偶数时，由上题知

45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.
显然有
=（甲正≤乙正）=（n+1-甲反≤n-乙反）
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
因此P(甲正>乙正)=
46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

即有
同理由
得
故
47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则

其中i1,i2,…,in-1是1，2，…，n中的任n-1个.
显然n节车厢全空的概率是零，于是

故所求概率为

48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.
【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知

则由贝叶斯公式知

50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为

式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为

51.求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

以上两式相减得所求概率为

若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
.
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（∪）=A∪B
（∪B）∩（A∪）=AB∪
所求


故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=F，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由

故或,按题设P（A）<,故P（A）=.
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
【解】 ①
②
故
故 ③
由A,B的独立性，及①、③式有

故
故 或（舍去）
即P（A）=.
55.随机地向半圆0<y< (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？
【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为πa2.阴影部分面积为

故所求概率为

56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；
（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.
【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.
Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.
则

(1)
(2)
而

故
58. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)
【解】因为

所以 .

59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),求此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率.
【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为.

60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于的概率.
【解】设两个数分别为x、y，则0<x<1,0<y<1,｜x-y｜<，画出图形，由几何概型可得，所求概率为.