勾股定理全章练习题含答案.doc

勾股定理
课堂学习检测
一、填空题
1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．
2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；
(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；
(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；
(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．
3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．

4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．
5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
二、选择题
6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．
(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．

(A)4 (B)6 (C)8 (D)
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．

(A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2 (D)无法计算
三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

综合、运用、诊断
一、选择题
10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
二、填空题
11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．

12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．

三、解答题
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

拓展、探究、思考
14．如图，△ABC中，∠C＝90°．
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；

图①
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；

图②
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．

图③
测试2 勾股定理(二)
学习要求
掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
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一、填空题
1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．
3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．

3题图
4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

4题图
二、选择题
5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．

5题图
(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m
6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．

6题图
(A) (B)
(C) (D)
三、解答题
7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?

综合、运用、诊断
一、填空题
9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为____
__米．

10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(p取3)

二、解答题：
11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

拓展、探究、思考
13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

测试3 勾股定理(三)
学习要求
熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．
2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．
3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．
4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为______．
5．在△ABC中，若∠ACB＝120°，AC＝BC，AB边上的高CD＝3，则AC＝______，AB＝______，BC边上的高AE＝______．
二、选择题
6．已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是( )．
(A) (B) (C) (D)1
7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．
(A) (B)或 (C) (D)或
三、解答题
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝求AB的长．

9．在数轴上画出表示及的点．

综合、运用、诊断
10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．

拓展、探究、思考
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．

测试4 勾股定理的逆定理
学习要求
掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．
2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．
3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)
4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；
②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；
③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．
5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝____________；
6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．

7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．
8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．
二、选择题
9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．
(A)a＝6，b＝8，c＝10 (B)
(C) (D)
10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．
(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4
(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶169
11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．
(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形
(C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定
综合、运用、诊断
一、解答题
12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

13．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

14．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．

15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

拓展、探究、思考
16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．
参考答案
第十八章 勾股定理
测试1 勾股定理(一)
1．a2＋b2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，； (4)1，．
3．． 4．5，5． 5．132cm． 6．A． 7．B． 8．C．
9．(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；
(4)6； (5)12．
10．B． 11． 12．4． 13．
14．(1)S1＋S2＝S3；(2)S1＋S2＝S3；(3)S1＋S2＝S3．
测试2 勾股定理(二)
1．13或 2．5． 3．2． 4．10．
5．C． 6．A． 7．15米． 8．米．
9． 10．25． 11． 12．7米，420元．
13．10万元．提示：作A点关于CD的对称点A′，连结A′B，与CD交点为O．
测试3 勾股定理(三)
1． 2．16，19.2． 3．5，5． 4．
5．6，，． 6．C． 7．D
8． 提示：设BD＝DC＝m，CE＝EA＝k，则k2＋4m2＝40，4k2＋m2＝25．AB＝
9．图略．
10．BD＝5．提示：设BD＝x，则CD＝30－x．在Rt△ACD中根据勾股定理列出(30－x)2＝(x＋10)2＋202，解得x＝5．
11．BE＝5．提示：设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴32＋(9－x)2＝x2．解得x＝5．
12．EC＝3cm．提示：设EC＝x，则DE＝EF＝8－x，AF＝AD＝10，BF＝，CF＝4．在Rt△CEF中(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．
13．提示：延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．
14．提示：过A，C分别作l3的垂线，垂足分别为M，N，则易得△AMB≌△BNC，则
15．128，2n－1．
测试4 勾股定理的逆定理
1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)．
4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．
7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．
9．D． 10．C． 11．C．
12．CD＝9． 13．
14．提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．
15．南偏东30°．
16．直角三角形．提示：原式变为(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0．
17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．
18．352＋122＝372，[(n＋1)2－1]2＋[2(n＋1)]2＝[(n＋1)2＋1]2．(n≥1且n为整数)
第十八章 勾股定理全章测试
一、填空题
1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．
2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．
3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．

3题图
4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

4题图
5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．

5题图
6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

6题图
7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．
8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

8题图
二、选择题
9．下列三角形中，是直角三角形的是( )
(A)三角形的三边满足关系a＋b＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3
(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )．

10题图
(A)450a元 (B)225a元
(C)150a元 (D)300a元
11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )．

(A)2 (B)3
(C) (D)
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )．

(A)5 (B)
(C) (D)
三、解答题
13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．

15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．

16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?

18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．

图1 图2 图3
(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；
(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；
(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．

19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
参考答案
第十八章 勾股定理全章测试
1．8． 2． 3． 4．30． 5．2．
6．3．提示：设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，
CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．
7．或
8．6．提示：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．
9．D． 10．C 11．C． 12．B
13． 提示：作CE⊥AB于E可得由勾股定理得由三角形面积公式计算AD长．
14．150m2．提示：延长BC，AD交于E．
15．提示：过A作AH⊥BC于H
AP2＋PB·PC＝AH2＋PH2＋(BH－PH)(CH＋PH)
＝AH2＋PH2＋BH2－PH2
＝AH2＋BH2＝AB2＝16．
16．14或4．
17．10；
18．(1)略； (2)定值， 12；(3)不是定值，
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6
由勾股定理得：AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况．
①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6得△ABD的周长为32m．

图1
②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD＝4

图2
由勾股定理得：，得△ABD的周长为．
③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，

图3
由勾股定理得：，得△ABD的周长为

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