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实用标准
概率论总结

目 录
一、 前五章总结
第一章 随机事件和概率 …………………………1
第二章 随机变量及其分布……………………….5
第三章 多维随机变量及其分布…………………10
第四章 随机变量的数字特征……………………13
第五章 极限定理………………………………...18
二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20

一、前五章总结
第一章 随机事件和概率
第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BÉA或AÌB。
若AÌB且AÉB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
定义：和事件
　“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。
定义：积事件
称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
定义：差事件
称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eÏB} 。
定义：互不相容事件或互斥事件
如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
定义6：逆事件/对立事件
称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā 。A与Ā满足：A∪Ā= S,且AĀ=Φ。
运算律：
设A，B，C为事件，则有
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
（4）德摩根律：

小结：
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系：包含、相等、对立、互不相容；
四种运算：和、积、差、逆；
四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：
1、 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：P(A)＝k/n＝A包含的样本点数/S中的样本点数。
2、 几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：
P（A）=μ（A）/μ（S） 假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.
概率的性质：
（1）P(f)=0,
（2）

（3）
（4） 若AÌB，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).
第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.
乘法公式： 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件, 则
贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且P(B)>0, 则

第五节 ：若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、B、C，若
P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则称事件 A、B、C相互独立.
第六节：定理 对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为
总结：
1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。
4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。
第二章：随机变量及其分布
1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设 X 是一个 r.v，x为一个任意实数，称函数
F(X)=P（X≤x）为 X 的分布函数。X 的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 （x≤X）。
3、 离散型随机变量及其分布
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式P(X=xk)=PK, 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中PK,≥0；ΣPk=1
分布律与分布函数的关系：
（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：
①设一离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk (k=1，2，…)
由概率的可列可加性可得X的分布函数为

②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：

一、 三种常用离散型随机变量的分布
. 1（0－1）分布：
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为
P{X=k}=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1)
则称X服从（0－1）分布,记为X~（0－1）分布。
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X 0 1
P 1-p p 易求得其分布函数为
2.二项分布（binomial distribution)：
定义：若离散型随机变量X的分布律为
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p).
4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作X~P(入).、
连续型随机变量
1概率密度f(x)的性质
（1）f(x)≥0
（2）
(3).X落在区间(x1，x2)的概率
几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1<X≤x2}等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积．
(4).若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x)。
．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系：
(1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x)，则它的分布函数为
(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x).
注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。
三种重要的连续型分布：
1．均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X具有概率密度
则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为X~U(a，b).
若X~U(a，b)，则容易计算出X的分布函数为

2. 指数分布入>0
则称 X 服从参数为 入的指数分布.
常简记为 X~E( 入)
指数分布的分布函数为
指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.
设随机变量X满足：对于任意的s>o，t>0,有
则称随机变量X具有无记忆性。
3. 正态分布
若r.v X的概率密度为
其中 μ和 都是常数， 任意，μ >0，
则称X服从参数为 μ 和 的正态分布. 记作
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
的正态分布称为标准正态分布.
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
随机变量函数的分布
设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X) （g连续）的概率密度。
1．一般方法——分布函数法
可先求出Y的分布函数FY(y)：
因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设ly={x|g(x)≤y}
则

再由FY(y)进一步求出Y的概率密度
2. 设连续型随机变量X的密度函数为jX(x), y=f(x)连续, 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种：
（1）分布函数法；
（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则
可用公式法；
（3）若y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单
调，其反函数分别为h1(y), h2(y), …,且h¢1(y), h ¢2(y),
…,均为连续函数，则Y= g(X)是连续型随机变量，
其密度函数为

对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.。
第三章 、多维随机变量

. 分布函数的性质

对于任意固定的y，
对于任意固定的x，

离散型随机变量的分布、

连续型随机变量及其概率密度
性质

边缘分布 1离散型随机变量的边缘分布律

连续型随机变量的边缘分布

随机变量的独立性：

两个随机变量函数的分布
一、 离散型随机变量函数的分布

二、 连续型随机变量函数的分布

第四章.、随机变量的数字特征
随机变量的数学期望

E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
2.连续型随机变量数学期望的定义

数学期望的本质 —— 定积分 它是一个数不再是随机变量
3.数学期望的性质
E (C ) = C
E (CX ) = CE (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )
若存在数 a 使 P(X ³ a) = 1, 则 E (X ) ³ a ；
若存在数 b 使 P(X £ b) = 1, 则 E (X ) £ b.
第二节：随机变量的方差
方差的定义

D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值
的平均偏离程度
5. 随机变量方差的计算
利用公式计算
方差的性质 1.D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X)
D(aX+b ) = a2D(X)

特别地，若X ,Y 相互独立，则
若Xi，Xj均相互独立，均为常数，则

2若X ,Y 相互独立可得
逆命题不成立；
3若X ,Y 相互独立可得
逆命题不成立。
4. 对任意常数C, D (X ) £ E(X – C)2 ,当且仅当C = E(X )时等号成立
5. D (X ) = 0 等价于P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)。
切比雪夫不等式
设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于
任给 >0,

第三节、协方差与相关系数

若则称x，y不相关。
注：（1）X和Y的相关系数又成为标准协方差，它是一个无量纲的量。
2、若随机变量X和Y相互独立

协方差的计算公式
1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
协方差的性质：

相关系数：

1、 二维正态分布密度函数中，参数p代表了与Y的相关系数。
2、 二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独立。
即 XY相互独立 等价于 XY不相关
不相关的充要条件

相关系数的性质：

第五章：极限定理
大数定理：设{Xn}为一随机变量序列,E(Xn)存在，记

则称{Xn}服从（弱）大数定律。
切比雪夫大数定律： 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …，则对任意的ε>0

马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出
只要 (△)， 则大数定理就能成立。
切比雪夫大数定律的特殊情况：设X1,X2, …是独立随机变量
序列，且E(Xi)= μ，D(Xi)= ， i=1,2,…,则对任给 >0,

辛钦大数定律：设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.
中心极限定理：
独立同分布下的中心极限定理：
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,…，则

注：参考资料
《概率论 数理统计 随机过程》 作者：胡细宝 孙洪祥 王丽霞
郭永江老师的教学课件

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