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测量不确定度评定与表示
一．思考题
1．什么是概率分布?
答：概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数，该函数称为概率密度函数。
2．试写出测量值X落在区间内的概率p与概率密度函数的函数关系式，并说明其物理意义。
答：
式中，为概率密度函数，数学上积分代表面积。
物理意义:

概率分布曲线
概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示，如图所示。
测量值X落在区间内的概率可用上式计算
由此可见，概率是概率分布曲线下在区间内包含的面积，又称包含概率或置信水平。当，表明测量值有90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%。在(一∞～+∞)区间内的概率为1，即随机变量在整个值集的概率为l。当1(即概率为1)表明测量值以100%的可能性落在该区间内，也就是可以相信测量值必定在此区间内。
3．表征概率分布的特征参数是哪些?
答：期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。
4．期望和标准偏差分别表征概率分布的哪些特性?
答:期望影响概率分布曲线的位置；标准偏差影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。
5．有限次测量时，期望和标准偏差的估计值分别是什么?
答：有限次测量时，算术平均值是概率分布的期望的估计值。即：
有限次测量时，实验标准偏差是标准偏差的估计值。即：

6．正态分布时，测量值落在区间内，2时的概率是多少?是如何得来的?
答：测量值落在区间内的概率为

式中，
已知：，2，令，设，

当时，置信概率为95.45%
7．有哪些常用的概率分布?它们的置信区间半宽度与置信因子分别有什么关系?
答：①均匀分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。
②三角分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。
③梯形分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。
④反正弦分布：置信区间半宽度等于倍的标准偏差。
8．什么叫相关性?表示相关性的参数是什么?
答：相关性审是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。参数是。
9．协方差与相关系数是什么关系?相关系数有什么特点?
答：协方差估计值与相关系数估计值的关系
相关系数是一个纯数字，在-1到+1之间，表示两个量的相关程度。相关系数为零，表示两个量不相关；相关系数为+1，表明X与Y全部相关（正强相关），即随着X增大Y也增大；相关系数为-1，表明X与Y负相关（负强相关），即随着X增大Y变小。
10．如何得到协方差与相关系数的估计值?协方差估计值及相关系数估计值分别用什么符号表示?
答：协方差的估计值是通过有限次测量的数据得到的，相关系数的估计值也是通过有限次测量的数据得到的。协方差估计值的符号为，相关系数估计值的符号为。
11．一般情况下评定测量不确定度有哪些步骤?
答：测量不确定度评定步骤：
(1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述；
(2)列出所有影响测量不确定度的影响量(即输入量)，并给出用以评定测量不确定度的数学模型；
(3)评定各输入量的标准不确定度，并通过灵敏系数进而给出与各输入量对应的
不确定度分量；
(4)计算合成标准不确定度，计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关
性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；
(5)列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息；
(6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的置信水平确定包含因子；
(7)在无法确定被测量的概率分布时，或该测量领域有规定时，也可以直接取包含因子；
(8)由合成标准不确定度和包含因子或，的乘积，分别得到扩展不确定度或；
(9)给出测量不确定度的最后陈述，其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。利用这些信息，至少应该使用户能从所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的合成标准不确定度。
12．测量不确定度的来源可以从哪些方面考虑?
答：①被测量的定义不完整
②复现被测量的测量方法不理想
③取样的代表性不够
④对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善
⑤对模拟式仪器的读数存在人为偏移
⑥测量仪器的计量性能的局限性
⑦测量标准或标准物质提供的量值的不准确
⑧引用的数据或其他参量值的不准确
⑨测量方法和测量程序的近似和假设
⑩在相同条件下被测量在重复观测中的变化
13．什么是测量的数学模型?建立数学模型时要注意什么?
答：测量的数学模型是指测量结果与其直接测量的量、引用的量以及影响量等有关量之间的数学函数关系。
建立数学模型时应注意问题：
(1)数学模型可以用已知的物理公式得到，也可以用实验方法确定，甚至只用数值方程给出。
(2)数学模型不是惟一的，对于同一个被测量采用不同的测量方法和不同的测量程序，就会有不同的数学模型。
(3)数学模型不一定是完善的，它与人们对规律的认识程度有关。为了能在数学模型中充分反映实际的影响量，尽可能采用长期积累的数据建立经验模型。
(4)有时被测量Y的输入量X1，X2，…,XN本身又取决于其他量，他们各自与其他量间有
函数关系，还可能包含对系统影响修正的修正值或修正因子，导致十分复杂的函数关系。这时候，数学模型可能是一系列关系式。
(5)如果数据表明数学模型中没有考虑某个具有明显影响的影响量时，应在模型中增加输入量，直至测量结果满足测量准确度的要求。
14．标准不确定度有哪几种评定方法?
答：①标准不确定度分量的A类评定方法
②标准不确定度分量的 B类评定方法
15．如何用A类评定方法评定标准不确定度分量?
答：①对被测量进行次独立观测，得到数据列：
②计算测量结果
③计算实验标准偏差
④计算A类标准不确定度
16．规范化常规测量时可以如何进行A类标准不确定度评定?
答：规范化常规测量是指已经明确规定了测量程序和测量条件下的测量，如日常按检定规程进行的大量同类被测件的检定，当可以认为对每个同类被测量的实验标准偏差相同时，通过累积的测量数据，计算出自由度充分大的合并样本标准偏差，以用于评定每次测量结果的A类标准不确定度。
在规范化的常规测量中，测量m个同类被测量，得到m组数据，每组测量n次，第j组的平 均值为xi，则合并样本标准偏差sp为

对每个量的测量结果的A类标准不确定度

自由度为。
若对每个被测件的测量次数不同，即各组的自由度不等，各组的实验标准偏差为，则

式中,。
对于常规的计量检定或校准，当无法满足n≥10时，为使得到的实验标准差更可靠，如果有可能，建议采用合并样本标准差作为由重复性引入的标准不确定度分量。
17．试述标准不确定度B类评定的步骤?
答：①确定区间半宽度d
②假设测量值在区间内的概率分布
③查表确定k
④计算B类标准不确定度
18．试述B类评定时可能的信息来源及如何确定可能值的区间半宽度?
答：利用的信息包括：
①以前的观测数据；
②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；
③生产部门提供的技术说明文件(制造厂的技术说明书)；
④校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等；
⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；
⑥规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据；
⑦其他有用信息。
确定可能值的区间半宽度
①制造厂的说明书给出测量仪器的最大允许误差为±△，并经计量部门检定合格，则可能
值的区间为(一△，△)，区间的半宽度为
△
②校准证书提供的校准值，给出了其扩展不确定度为，则区间的半宽度为

③由手册查出所用的参考数据，同时给出该数据的误差不超过±△，则区间的半宽度为
△
④由有关资料查得某参数X的最小可能值为和最大可能值为，区间半宽度可以用下式确定

⑤数字显示装置的分辨力为1个数字所代表的量值，则取

⑥当测量仪器或实物量具给出准确度等级时，可以按检定规程或有关规范所规定的该等
别或级别的最大允许误差或测量不确定度进行评定。
⑦根据过去的经验判断某值不会超出的范围来估计区间半宽度值。
⑧必要时，用实验方法来估计可能的区间。
19．B类评定时，如何假设可能值的概率分布和确定值?
答：①概率分布的假设
a．被测量受许多相互独立的随机影响量的影响，这些影响量变化的概率分布各不相同，但
各个变量的影响均很小时，被测量的随机变化服从正态分布。
b．如果有证书或报告给出的扩展不确定度是或,除非另有说明，可以按正态分布来评定B类标准不确定度。
c．一些情况下，只能估计被测量的可能值区间的上限和下限，测量值落在区间外的概率几
乎为零。若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同，则可假设为均匀分布。
d．若落在该区间中心的可能性最大，则假设为三角分布。
e．若落在该区间中心的可能性最小，而落在该区间上限和下限处的可能性最大，则假设为
反正弦分布。
f．对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时，一般假设为均匀分布。
实际工作中，可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。例如：无线电计量中失配引起的不确定度为反正弦分布；几何量计量中度盘偏心引起的测角不确定度为反正弦分布；测量仪器最大允许误差、分辨力、数据修约、度盘或齿轮回差等导致的不确定度按均匀分布考虑；两个量值之和或差的概率分布为三角分布；按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布为两点分布。
在JJF 1059—1999的附录B中给出了各种情况下概率分布的估计，包括正态分布、均匀分布、三角分布、反正弦分布、两点分布、投影分布的情况。
②值的确定
a．已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时，则该倍数(包含因子)就是值。
b．假设概率分布后，根据要求的置信概率查表得到置信因子值。
例如：
如果数字显示仪器的分辨力为，则区间半宽度，可假设为均匀分布，查表得，由分辨力引起的标准不确定度分量为
若某数字电压表的分辨力为1(即最低位的一个数字代表的量值)，则由分辨力引起的标准不确定度分量为：0.29×10.29。
被测仪器的分辨力会对测量结果的重复性测量有影响。在测量不确定度评定中，当重复性引入的标准不确定度分量大于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时，可以不考虑分辨力所引入的不确定度分量。但当重复性引人的不确定度分量小于被测仪器的分辨力所引入的不确定度分量时，应该用分辨力引人的不确定度分量代替重复性分量。若被测仪器的分辨力为，则分辨力引人的标准不确定度分量为0.29。

③常用的概率分布与置信因子的关系见表1和表2。
表1正态分布的置信因子值与概率的关系

O.50
O.90
O.95
O.99
0.9973

0.676
1.64
1.96
2.58
3
表2几种非正态分布概率分布的置信因子值
概率分布
均匀分布
反正弦分布
三角分布
梯形分布
两点分布
(-100％)

1
注：为梯形上底半宽度与下底半宽度之比。
④标准不确定度B类评定的实例
【案例1】 校准证书上给出标称值为1000g的不锈钢标准砝码质量的校准值为
1000．000325g，且校准不确定度为24(按三倍标准偏差计)，求砝码的标准不确定度。
【案例分析】 标准不确定度的评定：由于，则砝码的标准不确定度为。
【案例2】校准证书上说明标称值为lOΩ的标准电阻在23℃时的校准值为10.000074Ω，扩展不确定度为90,，置信水平为99％，求电阻的相对标准不确定度。
【案例分析】 标准不确定度的评定：由校准证书的信息可知

假设为正态分布，查表得到2.58；则电阻校准值的标准不确定度为

相对标准不确定度为：
【案例3】手册给出了纯铜在20℃时线热膨胀系数为为16.52×10-6℃-1，并说明
此值的误差不超过±O.40×10-6℃-1，求的标准不确定度。
【案例分析】标准不确定度的评定：根据手册，=±O.40×10-6℃-1，依据经验假设为等概率地落在区间内，即均匀分布，查表得，铜的线热膨胀系数的标准不确定度为
℃-1/=0.23×10-6℃-1
【案例4】由数字电压表的仪器说明书得知，该电压表的最大允许误差为±(14×10-6×
读数+2×10-6×量程)，用该电压表测量某产品的输出电压，在10V量程上测lV时，测量10次，其平均值作为测量结果，得=0.928571V，问测量结果的不确定度中数字电压表仪器引入的标准不确定度是多少?
【案例分析】标准不确定度的评定：电压表最大允许误差的模为区间的半宽度

设在区间内为均匀分布，查表得到，则测量结果中由数字电压表仪器引入的标准不确定度为：。
【案例5】某法定计量技术机构要评定被测量Y的测量结果y的合成标准不确定度(y)
时，y的输入量中，有碳元素C的相对原子质量，通过资料查出C的相对原子质量为(C)=
12.0107(8)。资料说明这是国际纯化学和应用化学联合会给出的值。如何评定由于C的相对
原子质量不准确引入的标准不确定度分量?
【案例分析】根据2005年国际纯化学和应用化学联合会给出的值，C的相对原子质量为
A(C)=12.0107(8)，括号内的数是标准不确定度，与相对原子质量的末位对齐。所以碳元素
C的相对原子质量为 (C)=12.0107，其标准不确定度为=0.0008。
(四)合成标准不确定度的计算
无论各标准不确定度分量是由A类评定还是B类评定得到，合成标准不确定度是由各标
准不确定度分量合成得到的。测量结果y的合成标准不确定度用符号“。(y)表示。
1．测量不确定度的传播律
当被测量的测量结果y的数学模型为线性函数y一厂(z，，zz，…，XN)时，测量结果y的合成
20．如何计算出B类标准不确定度的自由度?
答：B类标准不确定度的自由度可由下式估计

估计为，根据经验，按所依据的信息来源的不可信程度来判断的相对标准不确定度，然后按上式计算出自由度，列于下表。
表B类标准不确定度的自由度估计

O
O.10
O.20
O.25
O.30
O.40
O.50

∞
50
12
8
6
3
2
21．试写出测量不确定度的传播律，并说明公式中各项的含义。
答：（1）
式中：——输出量的估算值，即被测量的测量结果；
——输入量的估算值，；
——输入量的数量；
——偏导数，即灵敏系数，可表示为；
——输入量和的标准不确定度
——输入量和的相关系数估计值；
——输入量和的协方差估计值。
22．输入量间不相关时计算合成标准不确定度有哪些简化公式?
答：(1)当各输入量间不相关，即时=0时，公式(1)的简化形式为
（2）
若设城(Y)是测量结果y的标准不确定度分量
（3）
则由被测量y的标准不确定度分量合成时，可用式(4)评定
(4)
对于直接测量，可简单地写成
(5)
23．输入量间正强相关时计算合成标准不确定度有什么特点?
答：当所有输入量都相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度为

当所有输入量都相关，且相关系数为+1，灵敏系数为1时，合成标准不确定度为

特点：由此可见，当输入量都正强相关，且灵敏系数均为l时，合成标准不确定度是各输入量标准不确定度分量的代数和。也就是说，强相关时不再是方和根法合成。
【案例】某计量检定机构在评定某台计量仪器的重复性时，通过对某稳定的量Q重复
观测了n次，按贝赛尔公式，计算出任意观测值的实验标准偏差=0.5，然后，考虑该仪器读数分辨力=1.0，由分辨力导致的标准不确定度为
=0.29=O.29×1.0=0.29
将与合成，作为仪器示值的重复性不确定度
==0.58≈0.6
【案例分析】重复性条件下，示值的分散性既决定于仪器结构和原理上的随机效应的影
响，也决定于分辨力。依据JJF 1059—1999第6.11节指出：“同一种效应导致的不确定度已作为一个分量进入(y)时，它不应再包含在另外的分量中”。
该机构的这一评定方法，出现了对分辨力导致的不确定度分量的重复计算，因为在按贝塞尔方法进行的重复观测中的每一个示值，都无例外地已受到分辨力影响导致测量值q的分散，从而在中已包含了效应导致的结果，而不必再将与合成为。该机构采取将这二者合成作为是不对的。
有些情况下，有些仪器的分辨力很差，以致分辨不出示值的变化。在实验中会出现重复性很小，即：≤ 。特别是用非常稳定的信号源测量数字显示式测量仪器，在多次对同一量的测量中，示值不变或个别的变化甚小，反而不如大。在这一情况下，应考虑分辨力导致的测量不确定度分量，即在与两个中，取其中一个较大者，而不能同时纳入。
24．用什么方法可以获得协方差和相关系数的估计值?
答： (1)用同时观测两个量的方法确定协方差估计值
对两个输入量及进行同时重复观测，设、分别是输入量及的观测值。为测量次数(l，2，…，)。，己分别为第个输入量和第次输入量的次测量的算术平均值；与的协方差估计值可由下式计算

例如：一个振荡器的频率与环境温度可能有关，则可以把频率厂和环境温度作为两个输入量，即，，同时观测每个温度下的频率值，得到一组，数据，共观测组，，2，…，。计算算术平均值和，则由下式可以计算它们的协方差

如果协方差为零，说明频率与温度无关，如果协方差不为零，就显露出它们间的相关程度。
（2）用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值

式中，分别为和的实验标准差。
25．扩展不确定度和的区别?
答：当包含因子的值取2或3时，扩展不确定度用表示。
当被测量可能值的分布类型估计为正态时，扩展不确定度用表示。
26．用和表示测量结果的不确定度时分别有什么不同的物理概念?
答：合成标准不确定度：得到各标准不确定度分量后，需要将各分量合成以得到被测量的合成标准不确定度。合成前必须确保所有的不确定度分量均用标准不确定度表示，如果存在用其他形式表示的分量，则须将其换算为标准不确定度。
扩展不确定度：扩展不确定度等于合成标准不确定度乘以包含因子k后的值。对于合成标准不确定度而言，它是成倍地被扩大了的一个值。
27．用什么方法确定扩展不确定度?
答：选定包含因子k，一般k=2或3，由合成标准不确定度uc乘以包含因子k得到,给出U，指明k.
28．用什么方法确定扩展不确定度?
答：根据概率分布确定包含因子kp, 由合成标准不确定度uc乘以包含因子kp得到, ,给出Up，指明kp及分布。
29．常用的不确定度符号如何正确书写?
答：（1）标准不确定度的符号：
（2）标准不确定度分量的符号：
（3）相对标准不确定度的符号：
（4）合成标准不确定度的符号：
（5）扩展标准不确定度的符号：
（6）相对扩展标准不确定度的符号：
（7）明确规定包含概率为时的扩展标准不确定度的符号：
（8）包含因子的符号：
（9）明确规定包含概率为时的包含因子的符号：
（10）置信概率（置信水平）的符号：
（11）自由度的符号：
（12）合成标准不确定度的有效自由度的符号：
30．,和几种表示形式分别表示什么?
答：合成标准不确定度表示无论各标准不确定度分量是由A类评定还是B类评定得到，合成标准不确定度是由各标准不确定度分量合成得到的。
扩展不确定度表示由合成标准不确定度乘以包含因子得到的。
扩展不确定度表示当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率时，扩展不确定度用符号表示。
二、选择题(单选)
1．在相同条件下对被测量X进行有限次独立重复测量的算术平均值是（B）。
A．被测量的期望值 B．被测量的最佳估计值
C．被测量的真值 D．被测量的近似值
2．均匀分布的标准偏差是其区间半宽度的（C）倍。
A． B． C． D．
3．借助于一切可利用的有关信息进行科学判断，得到估计的标准偏差为（B）标准不确定度。
A．A类 B．B类 C．合成 D．扩展
4．如果有证书或报告给出的扩展不确定度是或,除非另有说明，可以按分布(A)来评定B类标准不确定度。
A．正态 B．均匀 C．反正弦 D．三角
5．当被测量的函数形式为，各输入量间不相关时，合成标准不确定度可用（B）式计算。
A． B．
C． D．
6．为了使所有给出的测量结果之间能够方便地相互比较，在确定扩展不确定度时，大多数情况下取包含因子为（D）。
A．3 B．2.58 C．1.73 D．2
7．扩展不确定度的符号是（C）。
A． B． C． D．
三、选择题(多选)
1．下列表示中（AB）的表示形式是正确的。
A． B．
C．0.5％ D．

2．可以用以下几种形式中的(CD)定量表示测量结果的测量不确定度。
A．标准不确定度分量 B．A类标准不确定度
c．合成标准不确定度。 D．扩展不确定度
3．某个计量标准中采用了标称值为1的标准电阻，校准证书上说明该标准电阻在23℃
时的校准值为1.000074，扩展不确定度为90(k=2)，在该计量标准中标准电阻引入的标准不确定度分量为(BD)。/90/2=45=4.5×10-5
A．90 B．45 C．4.5×10-6 D．4.5×10-5
4．数字显示仪器的分辨力为1，可假设在区间内的概率分布为均匀分布，则由分辨力引起的标准不确定度分量为（CD）。分辨率半宽度，包含因子,,所以==0.29
A． B． C． D．0.29
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