方案设计型问题样本.doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除。
方案设计问题
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景, 给出若干信息, 提出解决问题的要求, 寻求恰当的解决方案, 有时还给出几个不同的解决方案, 要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题, 主要有以下几种类型:
(1)讨论材料, 合理猜想——设置一段讨论材料, 让考生进行科学的判断、 推理、 证明;
(2)画图设计, 动手操作——给出图形和若干信息, 让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案;
(3)设计方案, 比较择优——给出问题情境, 提出要求, 让考生寻求最佳解决方案．
操作型问题是指经过动手实验, 获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、 合理猜想和验证, 有助于实践能力和创新能力的培养, 更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有: (1)图形的分割与拼接; (2)图形的平移、 旋转与翻折; (3)立体图形与平面图形之间的相互转化．
三个解题策略
(1)方程或不等式解决方案设计问题: 首先要了解问题取材的生活背景; 其次要弄清题意, 根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型, 求出所求未知数的取值范围; 最后再结合实际问题确定方案设计的种数．
(2)择优型方案设计问题: 这类问题一般方案已经给出, 要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点: 一是要符合问题描述的要求, 二是要具有代表性．
(3)操作型问题: 大致可分为三类, 即图案设计类、 图形拼接类、 图形分割类等．对于图案设计类, 一般运用中心对称、 轴对称或旋转等几何知识去解决; 对于图形拼接类, 关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系, 然后逐一组合; 对于图形分割类, 一般遵循由特殊到一般、 由简单到复杂的动手操作过程．
1．( ·河北)如图是甲、 乙两张不同的矩形纸片, 将它们分别沿着虚线剪开后, 各自要拼一个与原来面积相等的正方形, 则( )
A．甲、 乙都能够 B．甲、 乙都不能够
C．甲不能够、 乙能够 D．甲能够、 乙不能够

2．( ·江西)如图, 贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩, 做好后发现上口太小了, 于是她把纸灯罩对齐压扁, 剪去上面一截后, 正好合适．以下裁剪示意图中, 正确的是( )

3．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉, 要求种植的四种花卉分别组成面积相等, 形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中能够满足园艺设计师要求的有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

4．小明家春天粉刷房间, 雇用了5个工人, 每人每天做8小时, 做了10天完成．用了某种涂料150升, 费用为4800元; 粉刷的面积是150 m2.最后结算工钱时, 有以下几种方案:
①按工算, 每个工60元(1个工人干1天是一个工); ②按涂料费用算, 涂料费用的60%作为工钱; ③按粉刷面积算, 每平方米付工钱24元; ④按每人每小时付工钱8元计算．
你认为付钱最划算的方案是( )
A．① B．② C．③ D．④
5．( ·黄冈)如图, 在一张长为8 cm, 宽为6 cm的矩形纸片上, 现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求: 等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合, 其余的两个顶点在矩形的边上)．则剪下的等腰三角形的面积为___________________ cm2.

利用方程(组)、 不等式、 函数进行方案设计
【例1】　( ·泸州)某小区为了绿化环境, 计划分两次购进A, B两种花草, 第一次分别购进A, B两种花草30棵和15棵, 共花费675元; 第二次分别购进A、 B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元(两次购进的A, B两种花草价格均分别相同)．
(1)A, B两种花草每棵的价格分别是多少元?
(2)若购买A, B两种花草共31棵, 且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍, 请你给出一种费用最省的方案, 并求出该方案所需费用．

[对应训练]
1．( ·临沂)新农村社区改造中, 有一部分楼盘要对外销售, 某楼盘共23层, 销售价格如下: 第八层楼房售价为4000元/米2, 从第八层起每上升一层, 每平方米的售价提高50元; 反之, 楼层每下降一层, 每平方米的售价降低30元, 已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款, 开发商有两种优惠方案:
方案一: 降价8%, 另外每套楼房赠送a元装修基金;
方案二: 降价10%, 没有其它赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23, x取整数)之间的函数关系式;
(2)老王要购买第十六层的一套楼房, 若她一次性付清购房款, 请帮她计算哪种优惠方案更加合算

图形类方案设计
【例2】　( ·义乌市)某校规划在一块长AD为18 m, 宽AB为13 m的长方形场地ABCD上, 设计分别与AD, AB平行的横向通道和纵向通道, 其余部分铺上草皮．
(1)如图①, 若设计三条通道, 一条横向, 两条纵向, 且它们的宽度相等, 其余六块草坪相同, 其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9, 问通道的宽是多少?
(2)为了建造花坛, 要修改(1)中的方案, 如图②, 将三条通道改为两条通道, 纵向的宽度改为横向宽度的2倍, 其余四块草坪相同, 且每一块草坪均有一边长为8 m, 这样能在这些草坪上建造花坛．如图③, 在草坪RPCQ中, 已知RE⊥PQ于点E, CF⊥PQ于点F, 求花坛RECF的面积．

图形的分割与拼接
【例3】　( ·广安)在校园文化建设活动中, 需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1, a(a＞1)的纸片, 先剪去一个菱形, 余下一个四边形, 在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形, 又余下一个四边形, …依此类推, 请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图, 并求出a的值．

3．( ·泉州)如图是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称, 并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点;
②如果沿BC, GH将展开图剪成三块, 恰好拼成一个矩形, 那么△BMC应满足什么条件? (不必说理)

图形的平移、 旋转与翻折
【例4】　( ·江西)如图①, 边长为4的正方形ABCD中, 点E在AB边上(不与点A, B重合), 点F在BC边上(不与点B, C重合)．
第一次操作: 将线段EF绕点F顺时针旋转, 当点E落在正方形上时, 记为点G;
第二次操作: 将线段FG绕点G顺时针旋转, 当点F落在正方形上时, 记为点H;
依此操作下去……

（1) 图②中的三角形EFD是经过两次操作后得到的, 其形状为__等边三角形__, 求此时线段EF的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH;
①请判断四边形EFGH的形状为_______________________, 此时AE与BF的数量关系是________________;
②以①中的结论为前提, 设AE的长为x, 四边形EFGH的面积为y, 求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

[对应训练]
4．( ·南昌)(1)如图①, 纸片▱ABCD中, AD＝5, S▱ABCD＝15, 过点A作AE⊥BC, 垂足为E, 沿AE剪下△ABE, 将它平移至△DCE′的位置, 拼成四边形AEE′D, 则四边形AEE′D的形状为_________
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图②, 在(1)中的四边形纸片AEE′D中, 在EE′上取一点F, 使EF＝4, 剪下△AEF, 将它平移至△DE′F′的位置, 拼成四边形AFF′D.
①求证: 四边形AFF′D是菱形．
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

立体图形与平面图形之间的相互转化
【例5】　( ·山西)综合与实践: 制作无盖盒子
任务一: 如图①, 有一块矩形纸板, 长是宽的2倍, 要将其四角各剪去一个正方形, 折成高为4 cm, 容积为616 cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计)．
(1)请在图①的矩形纸板中画出示意图, 用实线表示剪切线, 虚线表示折痕．
(2)请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二: 图②是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱), 图③是其底面, 在五边形ABCDE中, BC＝12 cm, AB＝DC＝6 cm, ∠ABC＝∠BCD＝120°, ∠EAB＝∠EDC＝90°.
(1)试判断图③中AE与DE的数量关系, 并加以证明．
(2)图②中的五棱柱盒子可按图④所示的示意图, 将矩形纸板剪切折合而成, 那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm? 请直接写出结果(图中实线表示剪切线, 虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)．

[对应训练]
5．( ·资阳)如图, 透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm, 底面周长为10 cm, 在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒, 此时一只蚂蚁正好在容器外壁, 且离容器上沿3 cm的点A处, 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( )
A．13 cm B．2 cm C.cm D．2 cm

方案设计与动手操作型问题
一、 选择题(每小题6分, 共30分)
1．( ·荆州)如图所示, 将正方形纸片三次对折后, 沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形, 展开铺平得到的图形是( )

,A) ,B) ,C) ,D)
2．( ·台湾)图为歌神KTV的两种计费方案说明．若晓莉和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱6小时, 经服务生试算后, 告知她们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜, 则她们至少有多少人在同一间包厢里欢唱? ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图, 水厂A和工厂B, C正好构成等边△ABC, 现由水厂A向B, C两厂供水, 要在A, B, C间铺设输水管道, 有如下四种设计方案(图中实线为铺设管道路线), 其中最合理的方案是( )

4．( ·黄石)把一副三角板如图甲放置, 其中∠ACB＝∠DEC＝90°, ∠A＝45°, ∠D＝30°, 斜边AB＝6, DC＝7, 把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙), 此时AB与CD1交于点O, 则线段AD1的长为( )

A．3 B．5 C．4 D.
5．( ·莆田)数学兴趣小组开展以下折纸活动:
(1)对折矩形ABCD, 使AD和BC重合, 得到折痕EF, 把纸片展平;
(2)再一次折叠纸片, 使点A落在EF上, 并使折痕经过点B, 得到折痕BM, 同时得到线段BN.观察, 探究能够得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
二、 填空题(每小题6分, 共18分)
6．某班级为筹备运动会, 准备用365元购买两种运动服, 其中甲种运动服20元/套, 乙种运动服35元/套, 在钱都用尽的条件下, 有__ __种购买方案．
7．动手折一折: 将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图④, 在AC边上取点D, 使AD＝AB, 沿虚线BD剪开, 展开△ABD所在部分得到一个多边形, 则这个多边形的一个内角的度数是__ __度．

8．( ·杭州)如图, 在四边形纸片ABCD中, AB＝BC, AD＝CD, ∠A＝∠C＝90°, ∠B＝150°.将纸片先沿直线BD对折, 再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪, 剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形, 则CD＝____．

三、 解答题(共52分)
9．(10分)( ·温州)如图, 在所给方格纸中, 每个小正方形边长都是1, 标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处), 请按要求将图甲, 图乙中的指定图形分割成三个三角形, 使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD;
(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.

10．(10分)( ·珠海)为庆祝商都正式营业, 商都推出了两种购物方案．方案一: 非会员购物所有商品价格可获九五折优惠, 方案二: 如交纳300元会费成为该商都会员, 则所有商品价格可获九折优惠．
(1)以x(元)表示商品价格, y(元)表示支出金额, 分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式;
(2)若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台, 请分析选择哪种方案更省钱?

11．(10分) ( ·龙岩)下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得, 该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．

(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长;
(2)如图甲, 把六边形ABCDEF沿EH, BG剪成①②③三部分, 请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形, 然后标出②③变动后的位置, 并指出②③属于旋转、 平移和轴对称中的哪一种变换;
(3)在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线, 并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．

12．(10分) ( ·甘孜州)一水果经销商购进了A, B两种水果各10箱, 分配给她的甲、 乙两个零售店(分别简称甲店、 乙店)销售, 预计每箱水果的盈利情况如下表:

A种水果/箱
B种水果/箱
甲店
11元
17元
乙店
9元
13元
(1)如果甲、 乙两店各配货10箱, 其中A种水果两店各5箱, B种水果两店各5箱, 请你计算出经销商能盈利多少元?
(2)在甲、 乙两店各配货10箱(按整箱配送), 且保证乙店盈利不小于100元的条件下, 请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案, 并求出最大盈利为多少?

13．(12分)小明听说”武黄城际列车”已经开通, 便设计了如下问题: 如图, 以往从黄石A坐客车到武昌客运站B, 现在能够在A坐城际列车到武汉青山站C, 再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km, BC＝20 km, ∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题:
(1)求A, C之间的距离; (参考数据＝4.6)
(2)若客车的平均速度是60 km/h, 市内的公共汽车的平均速度为40 km/h, 城际列车的平均速度为180 km/h, 为了最短时间到达武昌客运站, 小明应该选择哪种乘车方案? 请说明理由．(不计候车时间)