231双曲线定义与标准方程上课用.pptx
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1、问题问题1:椭圆的定义是什么椭圆的定义是什么?和和 等于等于常数常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的问题问题2:如果把上述定义中如果把上述定义中“距离的和距离的和”改为改为“距离的差距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变那么点的轨迹会发生怎样的变化?化?差差 等于等于常数常数的点的轨迹是什么呢?的点的轨迹是什么呢?即即:平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)(1)取一条拉链,拉开一部分取一条拉链,拉开一部分(2)在拉开的两边上各选择一点,固定在在拉开的两边上各选
2、择一点,固定在板上的两点板上的两点 F1、F2(3)把笔尖放在点把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉处,随着拉链逐渐拉开闭拢,画出一条曲线开闭拢,画出一条曲线如图如图(A),|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图如图(B),上面上面 两条合起来叫做两条合起来叫做双曲线双曲线由由可得:可得:|MF1|-|MF2|=2a (差的绝对值)差的绝对值)|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;记记|F1F2|=2c 焦距焦距.(1)2a0;双曲线定义双曲线定义|MF1|-|MF2|=2a(2a|F1F2|=2c,则轨迹是什么?则轨迹是什么?此时轨迹
3、为以此时轨迹为以F F1 1 1 1或或F F2 2 2 2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在若若2a=0,则图形是什么则图形是什么?生活中的双曲线F2 2F1 1MxOy求曲线方程的步骤:求曲线方程的步骤:1.1.建系建系:2.2.设点设点:设设M(x,y),则则F1(-c,0),F2(c,0)4.4.代入坐标代入坐标:|MF1|-|MF2|=2a5.5.化简化简:3.3.找限制条件找限制条件:(x,yx,y)在椭圆中在椭圆中在双曲线中在双曲线中F2 2F1 1MxOy得到焦点在得到焦点在x轴上轴上的双曲线标准方程的双曲线标准方程如果焦点在如果焦点在y轴上,则双曲轴
4、上,则双曲线的标准方程为:线的标准方程为:其焦点坐标为其焦点坐标为(0,-c),(0,c)表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线问题问题:对于一个具体的双曲线方程,怎么判对于一个具体的双曲线方程,怎么判断它的焦点在哪条轴上呢?断它的焦点在哪条轴上呢?哪个系数是正的,它对应的字母哪个系数是正的,它对应的字母(x或或y)就是焦点所在轴)就是焦点所在轴xyF1(0,-c)M(x,y)F2(0,c)O其中:其中:方程方程方程方程焦点焦点焦点焦点a.b.c a.b.c 的关系的关系的关系的关系图形图形图形图形定义定义定义定义|MF1|-|MF2|=2
5、a(2a0,b0,但,但a不一不一定大于定大于b,c2=a2+b2ab0,a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭椭椭 圆圆圆圆双曲线双曲线双曲线双曲线F(0,c)F(0,c)椭圆以大小论长短椭圆以大小论长短双曲线以正负定实虚双曲线以正负定实虚课本例课本例2 求适合下列条件的双曲线的求适合下列条件的双曲线的标准方程:标准方程:(1)a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上;轴上;(2)焦点为焦点为(0,-6),(0,6),且经过点,且经过点(2,-5)使使A、B两点在两点在x轴上,并轴上,并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解:由声速及在由声速及在A
6、A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m.因为因为|AB|680|AB|680m,所以所以爆炸点的爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上.例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例)已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地地晚晚2 2s,且且声速为声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示
7、,如图所示,建建立直角坐标系立直角坐标系xO Oy,设设爆炸爆炸点点P的坐标为的坐标为(x,y),则则即即 2a=680,a=340 xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为(x,y)如图如图,设点,的坐标分设点,的坐标分别为别为(-5,0),(5,0)直线直线AM,BM相交于点,且它们的斜率之积是相交于点,且它们的斜率之积是 ,求点的轨迹方程,求点的轨迹方程xyOABM解:设点的坐标为解:设点的坐标为(x,y),因为点的坐标为因为点的坐标为(-5,0),所以,直线所以,直线AM的斜率的斜率同理,直线同理,直线BM的斜率的斜率由已知有由已知有化简化简,得点得点M的轨迹方
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