231直线与平面垂直的判定人教A版必修.pptx

普通高中课程标准实验教科书人教社普通高中课程标准实验教科书人教社A版版必修必修2、2.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定复习：直线与平面的位置关系有哪几种？复习：直线与平面的位置关系有哪几种？线线 面面位置关系位置关系 线在面内线在面内 线面平行线面平行线面相交线面相交斜交斜交 垂直垂直 实例引入实例引入旗杆与底面垂直旗杆与底面垂直大桥的桥柱与水面垂直大桥的桥柱与水面垂直实例引入实例引入万丈高楼平地起线面垂直最重要实例引入实例引入 请同学们指出几个生活中请同学们指出几个生活中直线与平面垂直的例子直线与平面垂直的例子ABABABABABABABABABCC1B1AB旗杆旗杆ABAB所在直线所在直线与地面内任意一条过点与地面内任意一条过点B B的直线垂直的直线垂直 与地面内任意一条不过点与地面内任意一条不过点B B的直线的直线B B1 1C C1 1也垂直也垂直 直线垂直于平面内的直线垂直于平面内的任意一条直线任意一条直线 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们说我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直，记作记作 平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足直线与平面垂直直线与平面垂直线面垂直线面垂直的定义常这样使用的定义常这样使用简记：线面垂直，则简记：线面垂直，则线线垂直线线垂直l aBAC 如果一条直线垂直于一个如果一条直线垂直于一个平面内的平面内的无数条无数条直线，那么这直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？条直线是否与这个平面垂直？BAC 如果一条直线垂直于一个如果一条直线垂直于一个平面内的平面内的无数条无数条直线，那么这直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？条直线是否与这个平面垂直？不一定不一定如果直线如果直线l与平面与平面内的两条直线垂直，能保内的两条直线垂直，能保证证l吗？吗？如果直线如果直线l与平面与平面内的一条直线垂直，能保内的一条直线垂直，能保证证l吗？吗？lb 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过过 的顶点的顶点A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕AD，将翻，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）于桌面接触）（1）折痕）折痕AD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面与桌面所在平面 垂直垂直直线与平面垂直直线与平面垂直BDAC 一条直线与一个平面内的两条一条直线与一个平面内的两条相交直线相交直线都都垂直，则该直线与此平面垂直。垂直，则该直线与此平面垂直。即即：m n m n=B l m l nl A AmnB简记：简记：线线垂直，则线面垂直线线垂直，则线面垂直关键：线不在多，关键：线不在多，相交相交则行则行5个条件个条件线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理巩固练习巩固练习 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确,正确的在正确的在()内打内打“”错错的打的打“”（4）若一条直线与一个平面不垂直）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。没有与这条直线垂直的直线。()（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。则这条直线垂直于三角形所在的平面。()（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（）（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（这条直线垂直于梯形所在的平面。（）ab两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面 垂直，则另一条也与这个平面垂直。垂直，则另一条也与这个平面垂直。已知：已知：a/b，a 求证：求证：b 定理应用mn例例1:例例2：一旗杆高一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）如果这两点与旗点（与旗杆脚不在同一条直线上）如果这两点与旗杆脚距杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直为什么？，那么旗杆就与地面垂直为什么？BAPO解：如图，旗杆解：如图，旗杆PO=8 m，两绳长，两绳长PA=PB=10 m，OA=OB=6 m.因为因为 A，O，B 三点不共线，三点不共线，所以所以 A，O，B 三点确定平面三点确定平面 又因为又因为所以所以 又因为又因为:所以所以:因此，旗杆因此，旗杆OP与地面垂直与地面垂直定理应用定理应用线面垂直判定定理的应用例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，ABAC，DBDC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC平面 AED.图 1证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点，AEBC，DEBC.又AE 与DE 交于E，BC平面AED.1、如图，在三棱锥、如图，在三棱锥VABC中，中，VA=VC，AB=BC，求证：，求证：VBAC。VABCo.巩固练习2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中巩固练习(1).求证:C1D1A1B1ABCD(3).在三棱锥在三棱锥C C1 1-BDC-BDC中有几中有几个直角三角形？个直角三角形？(4).在四面体中能否存在在四面体中能否存在四个直角三角形四个直角三角形?(2).求证:答：四个全部都是关键：发现并证明BC 平面PAC 练习练习练习练习4 4 4 4:已知 平面 ，是 的直径，是 上的任一点，求证：一条直线和一个平一条直线和一个平面面相交相交，但，但不和这个平不和这个平面面垂直垂直，这条直线叫做，这条直线叫做这个平面的这个平面的斜线斜线，斜线，斜线和平面的交点叫做和平面的交点叫做斜足斜足。BC 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上斜线在这个平面上的射影的射影；直线与平面所成的角直线与平面所成的角斜线斜线C垂线垂线垂足垂足斜足斜足A 平面的一条斜线和平面的一条斜线和它在平面上的射影所成它在平面上的射影所成的锐角，叫做的锐角，叫做这条直线这条直线这条直线这条直线和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角。一条直线垂直与平面，它们一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是0 0 的角的角的角的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90。AlBODl是平面是平面 的斜线，的斜线，A是是l上任意一点，上任意一点，AB是平面是平面 的垂线，的垂线，B是垂足，是垂足，OB是斜线是斜线l的射影，的射影，是斜线是斜线l与与平面平面 所成的角所成的角.AOD是不是直线与平面所成的角是不是直线与平面所成的角？例1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中例题讲解(1).求C1D1A1B1ABCD与面ABCD所成角的正弦值。求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：作作出或找到斜线与射影所成的角；证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形的方法求角；结论说明斜线和平面所成的角值A1B1C1D1ABCDO例例2 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线中，求直线A1B和和平面平面A1B1CD所成所成的角的角.分析：找出直线分析：找出直线A1B在平面在平面A1B1CD内的射影，内的射影，就可以求出就可以求出A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角关键就是如何作出平关键就是如何作出平面面A1B1CD的垂线的垂线解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O，设正方体的棱长为a，A1B1B1C1，A1B1B1B，A1B1 平面BCC1B1 A1B1BC1又 BC1B1C，BC1平面A1B1CD A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，B A1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.一作一作二证二证三计三计算算OABCDA1C1D1B1在RtA1BO中，A1B=a BO=a所以 BO=A1BBAO=30因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30图 521.如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为()（1 1）利用定义；）利用定义；（2 2）利用判定定理）利用判定定理2 2数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题知识小结知识小结1 1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线垂直与平面内任意一条直线3 3直线与平面所成的角的定义及其求解方法直线与平面所成的角的定义及其求解方法如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边 形ABCD满足什么条件时，A1CB1D1？A1B1C1D1P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的射影(1)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；(2)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；(3)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则O 是ABC 的_；(4)若 PA、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_外心垂心内心垂心解析：(1)如图 1，PO平面 ABC，PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC.又PA PBPC，OAOBOC.O 是 ABC 的外心图 1图 2(2)如图 2，PO平面 ABC，PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.BCPA，BCOA.同理可证 ACOB，O是 ABC 的垂心故填垂心(3)如图 3，图 3P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF，则 PDPEPF.PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影分别是 OD、OE、OF.ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC.O是 ABC 的内心，故填内心PO平面 ABC，OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影又PA PB，PA PC，PA 平面 PBC.又BC平面 PBC，PA BC.OABC.同理可证 OBAC.O是 ABC 的垂心故填垂心(4)如图 4，图 4