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Matlab笔记——层次分析法020

20. 层次分析法
一、概述
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHD）是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。
层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题，而决策是基于该方法计算出的权重，所以也常用来确定指标的权重。
层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。例如，选购一台笔记本电脑，假设有三种不同品牌款式的笔记本电脑A、B、C供选择。我们一般会根据价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。首先，会确定这些准则在自己心目中各占多大比重，不同的人这种比重会有很大差异（喜欢玩游戏的人看重硬件性能和散热、预算有限的人看重价格等）。其次，还会就每一个准则将A、B、C进行对比，比如A最便宜，B次之；C性能最好，B次之；C的品牌最知名等。最后，将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。

二、算法步骤
1. 将问题条理化、层次化，建立层次结构模型
1）最高层（目标层）——只有一个元素：决策目标；
2）中间层（准则层）——考虑的因素，决策的准则、子准则；
3）最底层（方案层）——决策时的备选方案、措施。
层次分析法要解决的问题是，求出最底层对最高层的相对权重，以此对最底层的方案、措施进行排序，选择最优方案。
注1：为了避免两两比较判断过于复杂，每层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，否则应划分为若干子层；
注2：层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用，认为同一层次的元素间相互独立，若考虑进来需要网络分析法（ANP）。
例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型，可以建立如下的层次结构：

2. 构造判断矩阵（成对比较矩阵）
构造好层次模型后，针对某一层来讲，在比较第i个元素与第j个元素相对于上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来表示，假设共有n个元素参与比较，则矩阵

称为判断矩阵（或成对比较矩阵）。
Saaty根据绝大多数人认知事物的心理习惯，建议用1~9及其倒数作为标度来确定aij的值。

其中，2, 4, 6, 8分别介于1, 3, 5, 7, 9对应的重要程度之间。显然，A中的元素满足：
i) aij> 0; ii) aji = 1/aij; iii) aii =1
称为正互反矩阵。
例如，选购笔记本电脑模型中，可以根据实际三台电脑的重量得到电脑对准则层B3的判断矩阵（aij可以取笔记本电脑j与i的重量之比，重量越轻越好）：

3. 层次单排序及判断矩阵的一致性检验
通常用特征根法从判断矩阵导出，单一准则下元素相对排序权重。
定义若n阶正互反矩阵 (aij)n×n满足aikakj = aij（对应aij=wi/wj, 故需要aikakj =(wi/wk)/(wk/wj) = aij），则称(aij)n×n为一致性矩阵。

特征根法的基本思想是，当正互反矩阵 (aij)n×n为一致性矩阵时，对应于判断矩阵的最大特征根λmax的特征向量，经归一化后（使向量中各元素之和等于1）即为排序权向量，记为w, w的元素为同一层次因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
能否进行层次单排序，就看判断矩阵是否为一致性矩阵，有如下定理：
定理n阶正互反矩阵A为一致性矩阵的充要条件是，A的最大特征值λmax = n.
在实际操作中，由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比较时的模糊性，很难构造出完全一致的判断矩阵。因此，Satty在构造层次分析法时，提出了一致性检验，所谓一致性检验是指判断矩阵允许有一定不一致的范围。
一致性检验步骤如下：
1）计算判断矩阵A的最大特征值λmax;
2）求出一致性指标（Consistencey Index）：

C.I.=0表示完全一致，C.I.越大越不一致；
3）用随机模拟取平均的方法，求相应的平均随机一致性指标R.I., 或者直接用Satty模拟1000次得到的R.I.表：

4）计算一致性比率：

5）判断，当C.R.<0.1时，认为判断矩阵A有满意的一致性；若C.R.≥0.1, 应考虑修正判断矩阵A.
4. 计算各元素对目标层的合成权重（层次总排序）
为了实现层次分析法的最终目的，需要从上而下逐层进行各层元素对目标合成权重的计算。
设已计算出第k-1层nk-1个元素相对于目标的合成权重为：

再设第k层的nk个元素关于第k-1层第j个元素（j=1,…,nk-1）的单一准则排序权重向量为：

上式对k层的nk个元素是完全的，若某些元素不受k-1层第j个元素支配，相应位置用0补充，于是得到nk×nk-1阶矩阵：

从而可以得到第k层的nk个元素关于目标层的合成权重向量：

按递归展开得

写成分量形式为

各层元素对目标层的合成排序权重向量是否可以满意接受，与单一准则下的排序问题一样，需要进行综合一致性检验：

当C.R.(k)< 0.1时，则认为层次结构在第k层以上的判断具有整体满意的一致性。
注：实际应用中，整体一致性检验常不予进行。主要原因是，整体考虑十分困难；其次若每个单一准则下的判断矩阵具有满意的一致性，而整体达不到满意的一致性时，调整起来非常困难。另外，整体一致性的背景也不如单一准则下的背景清晰，它的必要性有待进一步研究。

三、Matlab实现
实现层次分析法的Matlab函数：ahp.m
function [W,ahpResult] = ahp(C)
%层次分析法
%C为n×1的元胞数组,存储整个层次模型结构：第2层对第1层、第3层对第2层、...第n+1层对第n层
%假设第k层有m_k个元素，从左到右依次编号1,...,m_k
%C{k}也是元胞数组, k=1,...,n
%C{k}{1,j}存储受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵（j=1,2,...,m_k）
%C{k}{2,j}存储第k+1层各元素是否受第k层第j元素支配的（m_k+1）*1的逻辑数组,1表示支配,0表示不受支配
%W返回方案层对目标层的最终权重向量
%ahpResult为n×1的元胞数组, 存储层次分析过程各层的结果信息, ahpResult{k}也是元胞数组
%ahpResult{k}{1,j}返回第k+1层所有元素相对第k层j元素的权重向量, 第k+1层元素不受第k层j元素支配的权重为0
%ahpResult{k}{2,j}返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩阵的最大特征值
%ahpResult{k}{3,j}返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩阵的一致性比率C.R.
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; % 平均随机一致性指标
n = length(C); %得到C的长度n, 于是知道模型总层数为n+1
ahpResult = cell(n,1); % ´存储各层结果信息
for k = 1:n
m_k = size(C{k},2); % k层的元素个数
ahpResult{k} = cell(m_k,1);
forkk = 1:m_k
%求第k+1层各元素对第k层kk元素的成对比较矩阵的特征值和特征向量
[V,D] = eig(C{k}{1,kk});
[maxD,ind] = max(diag(D)); % 求最大特征值和其位置
%为存储第k+1层所有元素相对k层kk元素的权重预留出空间，长度应等于C{k}{2,kk}的长度
ahpResult{k}{1,kk} = zeros(length(C{k}{2,kk}),1);
%将相应正互反矩阵属于最大特征值的特征向量归一化后赋给ahpResult{k}{1,kk}中相应位置
%这些位置由逻辑数组C{k}{2,kk}决定
ahpResult{k}{1,kk}(C{k}{2,kk}) = V(:,ind)/sum(V(:,ind));
ahpResult{k}{2,kk} = maxD; % C{k}{1,kk}正互反矩阵的最大特征值
nn = size(C{k}{1,kk},1); % C{k}{1,kk}的阶数
ahpResult{k}{3,kk} = (maxD-nn)/(nn-1)/RI(nn); % 相应的一致性比率C.R.
end
end
W = ahpResult{1}{1,1};
for k = 2:n
% cat(2,ahpResult{k}{1,:})把k+1层所有元素相对k层各个元素的权重向量横向排在一起生成权重矩阵U^(k)
W = cat(2,ahpResult{k}{1,:})*W;
end
用该函数实现层次分析法的关键是，把整个层次结构存入嵌套元胞数组C中（见程序注释）：
C{k}——存储第k+1层与第k层的结构（k=1,…,n）；
设第k层有mk个元素，其中第j元素与第k+1层的结构关系存储到C{k}{…, j}中（j=1,…,mk），需要存储的信息有：
① 受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵
② 第k+1层各元素是否受第k层第j元素支配（即有没有连线）
所以需要两个位置，即C{k}{1, j}和C{k}{2, j}.

例1某工厂有一笔企业留成利润，需要决定如何分配使用。已经决定有三种用途：奖金、集体福利措施、引进技术设备。考察准则也有三个：是否能调动职工的积极性、是否有利于提高技术水平、考虑改善职工生活条件。建立如下层次模型：

经过工厂决策人员讨论，得到如下判断矩阵：
1. 第2层对第1层
三个元素C1, C2, C3都受A支配，判断矩阵C{1}{1,1}为

相应的逻辑数组C{1}{2,1}为[true truetrue].
2. 第3层对第2层
(1) 第3层对第2层第1个元素C1
受C1支配的只有两个元素P1和P2，判断矩阵C{2}{1,1}为

相应的逻辑数组C{2}{2,1}为[true truefalse].
(2) 第3层对第2层第2个元素C2
受C2支配的只有两个元素P2和P3，判断矩阵C{2}{1,2}为

相应的逻辑数组C{2}{2,2}为[false true true].
(3) 第3层对第2层第3个元素C3
受C3支配的只有两个元素P1和P2，判断矩阵C{2}{1,3}为

相应的逻辑数组C{2}{2,3}为[true truefalse].
3. 有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示C已经确定，调用函数ahp.m即可
C = cell(2,1);%共n+1=3层, 故n=2
C{1}{1,1} = [1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1];%第2层（C层）关于第1层（目标层A）的判断矩阵
C{1}{2,1} = [true truetrue];%相应的逻辑数组
C{2}{1,1} = [1 1/3;3 1];%第3层（P层）关于第2层第1元素C1的判断矩阵
C{2}{2,1} = [true truefalse];%相应的逻辑数组
C{2}{1,2} = [1 1/5;5 1];%第3层（P层）关于第2层第2元素C2的判断矩阵
C{2}{2,2} = [false true true];%相应的逻辑数组
C{2}{1,3} = [1 2;1/2 1];%第3层（P层）关于第2层第3元素C3的判断矩阵
C{2}{2,3} = [true truefalse];%相应的逻辑数组
[W,ahpResult]=ahp(C);%调用ahp求解
W %输出总排序的权重向量
运行结果：
W = 0.1984 0.2708 0.5308
W就是方案层各个方案所占的比重，可见引进技术设备所占比重最大，改善员工福利次之。体现在奖金分配上，即用全部留成利润的53.08%引进技术设备，27.08%改善员工福利，19.84%发奖金。

例2假设某人在制定食谱时有三类食品可选：肉、面包、蔬菜。这三类食品所含营养成分及单价如下表所示：

假设该人体重为55kg, 每天对各类营养的最小需求为
维生素A 7500IU
维生素B2 1.6338mg
热量Q 8548.5kJ
问题是：应如何制定食谱使得在保证营养的前提下支出最小？
单纯考虑问题条件，容易建立如下的线性规划模型：设选择肉x1, 面包x2, 蔬菜x3, 则有

用Matlab求解线性规划问题的函数linprog, 可以求出最优解：
f = [0.0275;0.006;0.007];
A = -[0.3527 0.0005 25;0.0021 0.0006 0.002;11.93 11.51 1.04];
b = -[7500;1.6338;8548.5];
options = optimset('LargeScale', 'off', 'Simplex', 'on');
[x,fval,flag] = linprog(f,A,b,[],[],[0;0;0],[infinfinf],[],options)
运行结果：
x = 0 687.5267 610.6420
fval= 8.3997
flag = 1 %表示算法成功
求解出的结果是，每天不吃肉，吃面包687.5267g, 蔬菜610.642g, 最低支出为8.40元。但实际考虑的话，这个方案是难以让人接受的，只考虑了营养够、价格低，没有考虑到营养均衡（需要吃一定量的肉）。
为此，我们先用层次分析法确定每天需要肉、面包、蔬菜的比重，再重新线性规划。建立如下的层次模型：

注意：由于第2层支出因素D2直接支配第4层，需要在第3层补上一个因素“补项B”（仍当作“支出”看待），它只受D2支配，并且支配D2的每个支配因素（第4层的肉Me, 面包Br, 蔬菜Ve）。
有了上面的层次结构，再根据偏好建立判断矩阵（当然偏好因人而异）：
1. 第2层对第1层
判断矩阵：

逻辑数组：C{1}{2,1}=[true true].
2. 第3层对第2层
(1) 第3层对第2层第1元素D1
判断矩阵：

逻辑数组：C{2}{2,1}=[true truetrue false].
(2) 第3层对第2层第2元素D2
判断矩阵：C{2}{1,2}=[1]
逻辑数组：C{2}{2,2}=[false falsefalseture].
3. 第4层对第3层
(1) 第4层对第3层第1元素A
判断矩阵（用数据直接做比得到）：

逻辑数组：C{3}{2,1}=[true true true].
(2) 第4层对第3层第2元素B2
判断矩阵（用数据直接做比得到）：

逻辑数组：C{3}{2,2}=[true true true].
(3) 第4层对第3层第3元素Q
判断矩阵（用数据直接做比得到）：

逻辑数组：C{3}{2,3}=[true true true].
(4) 第4层对第3层第4元素B
判断矩阵（用单价比的倒数，因为单价越高越不重要）：

逻辑数组：C{3}{2,4}=[true true true].
4. 有了上面的分析，层次模型的元胞数组表示C已经确定，调用函数ahp.m即可
C = cell(3,1);
C{1}{1,1} = [1 1/3;3 1];
C{1}{2,1} = true(2,1);
C{2}{1,1} = [1 1 2;1 1 2; 1/2 1/2 1];
C{2}{2,1}=[true truetrue false];
C{2}{1,2}=1;
C{2}{2,2} = [false,false,false,true];
C{3}{1,1} = [1,0.3527/0.0005,0.3527/25;0.0005/0.3527,1,0.0005/25;25/0.3527,25/0.0005,1 ];
C{3}{2,1}=true(3,1);
C{3}{1,2} = [1,0.0021/0.0006,0.0021/0.002;0.0006/0.0021,1,0.0006/0.002;0.002/0.0021,0.002/0.0006,1 ];
C{3}{2,2}=true(3,1);
C{3}{1,3} = [1,11.93/11.51,11.93/1.04;11.51/11.93,1,11.51/1.04;1.04/11.93,1.04/11.51,1 ];
C{3}{2,3}=true(3,1);
C{3}{1,4} = [1,0.006/0.0275,0.007/0.0275;0.0275/0.006,1,0.007/0.006;0.0275/0.007,0.006/0.007,1 ];
C{3}{2,4}=true(3,1);
[W,ahpResult]=ahp(C);
W
运行结果：
W = 0.2376 0.2293 0.5331
该结果表明，按这个人的情况，肉、面包、蔬菜的比例取0.2376, 0.2293, 0.5331比较合适。引入参变量k, 令x1=0.2376k, x2=0.2293k, x3=0.5331k, 将其代入前文的线性规划模型，得到

用linprog求解：
f = [0.0116];
A = -[13.4116;0.0017;6.0282];
b = -[7500;1.6338;8548.5];
W = [0.23760.22930.5331];
options = optimset('LargeScale', 'off', 'Simplex', 'on');
[k,fval,flag] = linprog(f,A,b,[],[],[0],[inf],[],options)
x = k*W
运行结果：
k = 1.4181e+03
fval = 16.4498
flag = 1
x = 336.9370 325.1669 755.9811
故k=1418.1, x1=336.94, x2=325.17, x3=755.98. 每天食品支出16.45元。
注：对于不同的人可以有不同的判断矩阵C{1}{1,1}, 即营养与支出的相对重要程度，例如，修改为[1 1/3; 3 1], 可以得到x1=188.88, x2=497.82, x3=567.04. 每天食品支出12.14元。

主要参考文献：吴鹏，《Matlab高效编程技巧与应用：25个案例分析》第11章。