完全平方公式的几何背景专题训练试题附答案概况.doc

完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
一．选择题（共6小题）
1．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（　　）

A．
（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn
B．
（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn
C．
（m﹣n）2+2mn=m2+n2
D．
（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2

2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A．
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
B．
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．
a（a+b）=a2+ab
D．
a（a﹣b）=a2﹣ab

3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（　　）

A．
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
B．
（a+b）2=a2+2ab+b2
C．
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
D．
a（a+b）=a2+ab

4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（　　）

A．
ab
B．
（a+b）2
C．
（a﹣b）2
D．
a2﹣b2

5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）

A．
a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）
B．
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．
（a+b）2=a2+2ab+b2
D．
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

6．如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（　　）

A．
8或﹣8
B．
8
C．
﹣8
D．
无法确定

二．填空题（共7小题）
7．（2014•玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为　_________　（用含a、b的代数式表示）

8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是　_________　．（用含m的代数式表示）

9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为　_________　．

10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式　_________　．

11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为　_________　平方米．

12．如图，请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　_________　．

13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a=　_________　，b=　_________　．

三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系　_________　．
（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．
①a2﹣4ab+4b2=　_________　 ②ab=　_________　．

15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：
如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD的面积．即：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣　_________　的面积，即：（2a﹣b）（a+b）=　_________　．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）=　_________　．仿照上述方法，画图并说明．

16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　_________　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．

17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．

18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．

19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　_________　；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n=　_________　；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为　_________　．

20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．

请你写出图（3）所表示的代数恒等式　_________　．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式　_________　．

22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于　_________　．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：　_________　；方法2：　_________　．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．　_________　
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2=　_________　．

23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？　_________　．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：　_________　；方法二：　_________　．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2；（m﹣n）2； mm
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．

完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）
1．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（　　）

A．
（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn
B．
（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn
C．
（m﹣n）2+2mn=m2+n2
D．
（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2

考点：
完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．
解答：
解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．
故选B．
点评：
本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．

2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A．
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
B．
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．
a（a+b）=a2+ab
D．
a（a﹣b）=a2﹣ab

考点：
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分析：
根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
解答：
解：大正方形的面积=（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故选B．
点评：
正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．

3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（　　）

A．
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
B．
（a+b）2=a2+2ab+b2
C．
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
D．
a（a+b）=a2+ab

考点：
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分析：
根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，即可得出选项．
解答：
解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，
即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
点评：
本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．

4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（　　）

A．
ab
B．
（a+b）2
C．
（a﹣b）2
D．
a2﹣b2

考点：
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分析：
先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
解答：
解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）2，
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2．
故选C．
点评：
此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．

5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）

A．
a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）
B．
（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．
（a+b）2=a2+2ab+b2
D．
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

考点：
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分析：
通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
解答：
解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选：C．
点评：
本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键．

6．如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（　　）

A．
8或﹣8
B．
8
C．
﹣8
D．
无法确定

考点：
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分析：
根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
解答：
解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，
∴﹣mx=±2×4•x，
解得m=±8．
故选A．
点评：
本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

二．填空题（共7小题）
7．（2014•玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为　（a+b）2　（用含a、b的代数式表示）

考点：
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分析：
求出大正方形的边长为a+b，再利用正方形的面积公式求解．
解答：
解；∵两个小矩形的长为a，宽为b，
∴正方形的边长为：a+b
∴它的面积为：（a+b）2
故答案为：（a+b）2
点评：
本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．

8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是　2m+2　．（用含m的代数式表示）

考点：
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专题：
几何图形问题．
分析：
由于边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
解答：
解：依题意得剩余部分为
（m+2）2﹣m2=m2+4m+4﹣m2=4m+4，
而拼成的矩形一边长为2，
∴另一边长是（4m+4）÷2=2m+2．
故答案为：2m+2．
点评：
本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．

9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为　13　．

考点：
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分析：
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
解答：
解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）=1即a2+b2﹣2ab=1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2=12，2ab=12，
所以a2+b2=13，
故答案为：13．
点评：
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．

10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式　（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab　．

考点：
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专题：
计算题．
分析：
表示阴影部分的面积有两种方法：①大长方形的面积=（a+b）（a+2b），②3个正方形的面积加上3个矩形的面积a2+ab+ab+ab+b2+b2，推出即可．
解答：
解：由图2可知：阴影部分的面积是：①（a+b）（a+2b），②a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2+3ab，
∴（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab，
故答案为：（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab．
点评：
本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表示图形中阴影部分的面积，题目具有一定的代表性，考查了学生的理解能力、观察图形的能力等

11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为　a2﹣4ab+4b2或（a﹣2b）2　平方米．

考点：
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专题：
几何图形问题．
分析：
根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积．
解答：
解：水池的边长是：a﹣2b，
所以，正方形水池的面积是（a﹣2b）（a﹣2b）=a2﹣4ab+4b2或（a﹣2b）（a﹣2b）=（a﹣2b）2．
故答案是：a2﹣4ab+4b2或（a﹣2b）2．
点评：
本题考查对完全平方公式几何意义的理解．解题时，主要围绕图形面积展开分析．

12．如图，请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　a+b）2=（a﹣b）2+4ab　．

考点：
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分析：
通过观察图形知：（a+b）2，（a﹣b）2，ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积．
解答：
解：由图可以看出，大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面积，
即：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．
点评：
此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．

13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a=　6　，b=　2　．

考点：
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分析：
先求出大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：a﹣b，再列出方程组求解．
解答：
解：大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：a﹣b
即：
解得
故答案为：6，2．
点评：
本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长．列出方程组．

三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系　（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab　．
（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．
①a2﹣4ab+4b2=　4　 ②ab=　60　．

考点：
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专题：
数形结合．
分析：
根据图形的面积公式来进行分析即可得到．
解答：
解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；
（2）①4 ②ab=60
点评：
该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析．

15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：
如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD的面积．即：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣　正方形MHFD　的面积，即：（2a﹣b）（a+b）=　2a2﹣ab﹣b2　．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）=　2a2+3ab+b2　．仿照上述方法，画图并说明．

考点：
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分析：
（1）利用长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD的面积计算．
（2）利用长方形ABCD的面积=正方形GBHF的面积+正方形FHQN的面积+长方形AGFE的面积+长方形EFNM的面积+长方形NQCO的面积+正方形MNOD的面积计算．
解答：
解：（1）长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD的面积，即：（2a﹣b）（a+b）=2a2﹣ab﹣b2．
故答案为：正方形MHFD，2a2﹣ab﹣b2．
（2）（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
如图，

故答案为：2a2﹣ab﹣b2．
点评：
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释．

16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．

考点：
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分析：
（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
解答：
解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
=112﹣2×38
=45．
（3）如图所示

点评：
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．

17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．

考点：
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分析：
（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积．
（3）通过观察图形知：（2a+b）2 （2a﹣b）2 8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积．
解答：
解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长=2a+b=7，∴大正方形的面积=（2a+b）2=49，
又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×2b=8ab=8×3=24，
∴小正方形的面积=（2a﹣b）2=49﹣24=25
（3）由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2=8ab．
点评：
此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形
找出各图形之间的关系．

18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．

考点：
完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；
（2）利用（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2可求解．
解答：
提出问题：
解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2

（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2
问题解决：
（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy
∵x+y=6，xy=3．
∴（x﹣y）2=36﹣9=25．
点评：
本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．

19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab　；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n=　±6　；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为　3　．

考点：
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分析：
（1）利用大正方形的面积减4个小长方形的面积等于小正方形的面积求解；
（2）利用公式（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn求解即可；
（3）由左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，得出﹣8b+4a=4，由小长方形的周长为8，得出2（a+b）=8，联立得出a，b的值即可求出小长方形的面积．
解答：
解：（1）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
故答案为：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
（2）∵m+n=8，mn=7，
∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=64﹣28=36，
∴m﹣n=±6
故答案为：±6．
（3）设长方形BC为m，CD为n，
右上角部分的阴影周长为：2（n﹣a+m﹣a）
左下角部分的阴影周长为：2（m﹣2b+n﹣2b）
∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，
∴﹣8b+4a=4，
又∵2（a+b）=8，
∴解得a=3，b=1，
∴每一个小长方形的面积为ab=3×1=3．
故答案为：3．
点评：
本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系解决问题．

20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

考点：
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分析：
（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．
解答：
（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．
点评：
本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．

21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．

请你写出图（3）所表示的代数恒等式　（x+y）2=x2+2xy+y2　．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式　（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2　．

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分析：
求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可．
解答：
解：图（3）所表示的代数恒等式是（x+y）（x+y）=（x+y）2=x2+2xy+y2，
图（4）所表示的代数恒等式是（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
故答案为：（x+y）2=x2+2xy+y2，（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．
点评：
本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．

22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于　x﹣y　．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：　（x﹣y）2 　；方法2：　（x+y）2﹣4xy　．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．　（x+y）2=（x﹣y）2+4xy　
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2=　4　．

考点：
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分析：
（1）图①分成了4个长为x，宽为y的长方形，图②中的阴影部分的小正方形的边长等于x﹣y，大正方形的边长等于x+y；
（2）直接利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的面积为（x﹣y）2；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积即②（x+y）2﹣4xy；
（3）利用面积之间的关系易得（x+y）2=（x﹣y）2+4xy．
解答：
解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长=x﹣y；
故答案为：（x﹣y）；

（2）方法①（x﹣y）2；方法②（x+y）2﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）2 ，（x+y）2﹣4xy；

（3）（x+y）2=（x﹣y）2+4xy；
故答案为：（x+y）2=（x﹣y）2+4xy；

（4）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=42﹣12=4
故答案为：4．
点评：
本题考查了列代数式：根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？　m﹣n　．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：　（m+n）2﹣4mn　；方法二：　（m﹣n）2　．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2；（m﹣n）2； mm
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．

考点：
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分析：
平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n．
（1）正方形的边长=小长方形的长﹣宽；
（2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积；
（3）利用（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2可求解；
（4）利用（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab可求解．
解答：
解：（1）m﹣n；

（2）（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；

（3）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；

（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
∵a+b=8，ab=5，
∴（a﹣b）2=64﹣20=44．
点评：
本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．

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