数列经典例题集锦.pdf
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1、1数列题目精选精编数列题目精选精编【典型例题典型例题】(一)研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题 1.已知数列na满足1111,3(2)nnnaaan.(1)求32,aa;(2)证明:312nna.解:解:(1)21231,3 14,3413aaa Q.(2)证明:由已知113nnnaa,故)()()(12211aaaaaaannnnnL12131333 12nnna L,所以证得312nna.例题 2.数列 na的前n项和记为11,1,21(1)nnnS aaSn()求 na的通项公式;()等差数列 nb的各项为正,其前n项和为nT,且315T,又112233,ab ab ab成
2、等比数列,求nT.解:解:()由121nnaS可得121(2)nnaSn,两式相减得:112,3(2)nnnnnaaa aa n,又21213aS 213aa 故 na是首项为 1,公比为 3 的等比数列 13nna()设 nb的公比为d,由315T 得,可得12315bbb,可得25b 故可设135,5bd bd,又1231,3,9aaa,由题意可得2(51)(59)(53)dd,解得122,10dd等差数列 nb的各项为正,0d 2d 2(1)3222nn nTnnn例题 3.已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同,且212322.aaa128nnan对任意的*Nn都成立,数列
3、nnbb1是等差数列.求数列 na与 nb的通项公式;是否存在Nk,使得(0,1)kkba,请说明理由.点拨:点拨:(1)2112322.28nnaaaan左边相当于是数列12nna前 n 项和的形式,可以联想到已知nS求na的方法,当2n 时,1nnnSSa.(2)把kkab 看作一个函数,利用函数的思想方法来研究kkab 的取值情况.2解:解:(1)已知212322aaa12nna8n(n*N)2n 时,212322aaa2128(1)nnan(n*N)得,128nna,求得42nna,在中令1n,可得得4 1182a,所以42nna(nN*).由题意18b,24b,32b,所以214bb
4、,322bb,数列1nnbb的公差为2)4(2,1nnbb2)1(4n26n,121321()()()nnnbbbbbbbbL(4)(2)(28)n L2714nn(n*N).(2)kkba2714kk42k,当4k 时,277()()24f kk42k单调递增,且(4)1f,所以4k 时,2()714f kkk421k,又(1)(2)(3)0fff,所以,不存在k*N,使得(0,1)kkba.例题 4.设各项均为正数的数列an和bn满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且 a1=1,b1=2,a2=3,求通项 an,bn 头 头头 头 头 头 头 头头 头
5、 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 解:解:依题意得:2bn+1=an+1+an+2 a2n+1=bnbn+1 an、bn为正数,由得21211,nnnnnnbbabba,代入并同除以1nb得:212nnnbbb,nb为等差数列头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 b1=2,a2=3,29,22122bbba则,2)1(),1(22)229)(1(22nbnnbnn,当 n2 时,2)1(1nnbbannn,又 a1=1,当 n=1 时成立,2)1(nnan头 头头 头
6、头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2.研究前 n 项和的性质例题 5.已知等比数列na的前n项和为2nnSab,且13a.(1)求a、b的值及数列na的通项公式;3(2)设nnnba,求数列nb的前n项和nT.解:解:(1)2n时,aSSannnn112.而na为等比数列,得aaa1112,又31a,得3a,从而123nna.又123,3aabb Q.(2)13 2nnnnnba,21123(1)3222nnnTL 23111 1231(23 22222nnnnnTL),得2111111(1)232222nnnnTL,111(1
7、)2412(1)13232212nnnnnnnT.例题 6.数列na是首项为 1000,公比为110的等比数列,数列b n满足121(lglglg)kkbaaakL *()Nk,(1)求数列b n的前n项和的最大值;(2)求数列|b|n的前n项和nS.解:解:(1)由题意:410nna,lg4nan,数列lgna是首项为 3,公差为1的等差数列,12(1)lglglg32kk kaaakL,1(1)7322nn nnbnn由100nnbb,得67n,数列b n的前n项和的最大值为67212SS.(2)由(1)当7n 时,0nb,当7n 时,0nb,当7n 时,212731132()244nnn
8、Sbbbnnn L当7n 时,12789nnSbbbbbbLL27121132()2144nSbbbnnL22113(7)4411321(7)44nnnnSnnn.例题 7.已知递增的等比数列na满足23428aaa,且32a 是2a,4a的等差中项.(1)求na的通项公式na;(2)若12lognnnbaa,12nnSbbbL求使1230nnSn成立的n的最小值.4解:解:(1)设等比数列的公比为 q(q1),由 a1q+a1q2+a1q3=28,a1q+a1q3=2(a1q2+2),得:a1=2,q=2 或 a1=32,q=12(舍)an=22(n1)=2n(2)12log2nnnnbaa
9、n ,Sn=(12+222+323+n2n)2Sn=(122+223+n2n+1),Sn=2+22+23+2nn2n+1=(n1)2n+12,若 Sn+n 2n+130 成立,则 2n+132,故 n4,n 的最小值为 5.例题 8.已知数列na的前 n 项和为 Sn,且11,nnSa成等差数列,*1,1Nna.函数3()logf xx.(I)求数列na的通项公式;(II)设数列 nb满足1(3)()2nnbnf a,记数列 nb的前 n 项和为 Tn,试比较52512312nnT与的大小.解:解:(I)11,nnSaQ成等差数列,121nnSa 当2n 时,121nnSa.得:112()nn
10、nnSSaa,13nnaa,13.nnaa当 n=1 时,由得112221Saa,又11,a 2213,3,aaana是以 1 为首项 3 为公比的等比数列,13.nna(II)xlogxf3,133()loglog 31nnnf aan,11111()(3)()2(1)(3)213nnbnf annnn,1 111111111111()2 24354657213nTnnnnL1 1111()2 2323nn525,122(2)(3)nnn比较52512312nnT与的大小,只需比较2(2)(3)nn与 312 的大小即可.222(2)(3)3122(56 156)2(5150)nnnnnn与
11、2(15)(10)nn*,Nn当*19Nnn与时,5252(2)(3)312,;12312nnnnT与当10n 时,5252(2)(3)312,;12312nnnnT与当*10Nnn与时,5252(2)(3)312,12312nnnnT与.3.研究生成数列的性质例题 9.(I)已知数列 nc,其中nnnc32,且数列nnpcc1为等比数列,求常数p;5(II)设 na、nb是公比不相等的两个等比数列,nnnbac,证明数列 nc不是等比数列.解:解:()因为cn+1pcn是等比数列,故有(cn+1pcn)2=(cn+2pcn+1)(cnpcn1),将 cn=2n3n代入上式,得2n1+3n1p
12、(2n3n)2=2n2+3n2p(2n+13n+1)2n+3np(2n13n1),即(2p)2n+(3p)3n2=(2p)2n+1+(3p)3n+1(2p)2n1+(3p)3n1,整理得61(2p)(3p)2n3n=0,解得 p=2 或 p=3.()设an、bn的公比分别为 p、q,pq,cn=an+bn.为证cn不是等比数列只需证22cc1c3.事实上,22c=(a1pb1q)2=21ap221bq22a1b1pq,c1c3=(a1b1)(a1 p2b1q2)=21ap221bq2a1b1(p2q2).由于 pq,p2q22pq,又 a1、b1不为零,因此22cc1c3,故cn不是等比数列.
13、例题 10.n2(n4)个正数排成 n 行 n 列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头已知 a24=1,163,814342aa头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头求 S=a11+a22+a33+ann 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头解:解:设数列1ka的公差为 d,数列ika(i=1,2,3
14、,n)的公比为 q头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头则1ka=a11+(k1)d,akk=a11+(k1)dqk1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头依题意得:163)2(81)(1)3(31143311421124qdaaqdaaqdaa,解得:a11=d=q=21头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头又 n2个数都是正数,a11=d=q=21,akk=kk2头
15、 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头nnS212132122132L,1432212132122121nnSL,两式相减得:nnnS22121头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头6例题 11.已知函数3()log()f xaxb的图象经过点)1,2(A和)2,5(B,记()*3,.f nnanN(1)求数列na的通项公式;(2)设nnnnnbbbTabL21,2,若)(ZmmTn,求m的最小值;(3)求使不等式12)11()11)(11(21
16、npaaanL对一切*Nn均成立的最大实数p.解:解:(1)由题意得2)5(log1)2(log33baba,解得12ba,)12(log)(3xxf *)12(log,1233Nnnann (2)由(1)得nnnb212,nnnnnT2122322523211321L 1132212232252232121nnnnnnnTL 得)21212121(2121n22222222221T211n2n2111nn1n321nLL1n1n1n21n2212321n2.nn2nn23n2321n2213T,设*,232)(Nnnnfn,则由1512132121)32(252232252)()1(1nnn
17、nnnfnfnn得*,232)(Nnnnfn随n的增大而减小n当时,3nT又)(ZmmTn恒成立,3minm (3)由题意得*21)11()11)(11(121Nnaaanpn对L恒成立 记)11()11)(11(121)(21naaannFL,则11n21n2)1n()1n(4)1n(2)3n2)(1n2(2n2)a11()a11)(a11(1n21)a11)(a11()a11)(a11(3n21)n(F)1n(F2n211nn21LL)(),()1(,0)(nFnFnFnF即Q是随n的增大而增大 7)(nF的最小值为332)1(F,332 p,即332maxp.(二)证明等差与等比数列1.
18、转化为等差等比数列.例题 12.数列na中,2,841aa且满足nnnaaa122,*Nn.求数列na的通项公式;设|21nnaaaSL,求nS;设nb=1(12)nna*12(),()NNnnnTbbb nL,是否存在最大的整数m,使得对任意*Nn,均有nT32m成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解:解:(1)由题意,nnnnaaaa112,na为等差数列,设公差为d,由题意得2832dd,82(1)102nann.(2)若50210nn则,|,521nnaaaSnL时21281029,2nnaaannnL6n 时,nnaaaaaaSLL765212555()2940nnSSS
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