222椭圆的简单几何性质.docx

2．2．2　椭圆的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．
◆ 过程与方法目标
〔1〕复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．
〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．
〔2〕新课讲授过程
〔i〕通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义从哪些方面来研究
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
〔ii〕椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率〔〕，； ．
〔iii〕例题讲解与引申、扩展
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．
扩展：椭圆的离心率为，求的值．
解法剖析：依题意，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在轴上，即时，有，∴，得；②当焦点在轴上，即时，有，∴．
例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一局部．过对对称的截口是椭圆的一局部，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原那么；②关于的近似值，原那么上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如下列图， “神舟〞截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面，远地点距地面，地球的半径．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．
例6如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：假设设点，那么，到直线：的距离，那么容易得点的轨迹方程．
引申：〔用 几何画板 探究〕假设点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，那么点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学气氛中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，鼓励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：几何图形建立直角坐标系的两个原那么，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原那么：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
练习
补充： 1.课题:椭圆的第二定义
学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.
复习回忆
问题推广
引出课题
典型例题
课堂练习
归纳小结

教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2了解离心率的几何意义；
3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，表达数学的美学价值.
教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.
教学过程
复习回忆
1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，〔准线方程为〕.
2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，那么的周长为 20 .
引入课题
【习题4〔教材P50例6〕】椭圆的方程为，M1，M2为椭圆上的点
① 求点M1〔4，2.4〕到焦点F〔3，0〕的距离2.6 .
② 假设点M2为〔4，y0〕不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F〔3，0〕的距离吗
解：且代入消去得
【推广】你能否将椭圆上任一点到焦点的距离表示成点M横坐标的函数吗
解：代入消去 得
问题1：你能将所得函数关系表达成命题吗〔用文字语言表述〕
椭圆上的点M到右焦点的距离与它到定直线的距离的比等于离心率
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗并判断真假〔逆命题中不能出现焦点与离心率〕
动点到定点的距离与它到定直线的距离的比等于常数的点的轨迹是椭圆．
【引出课题】椭圆的第二定义
当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为
典型例题
例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
解：由题意可知右焦点右准线；左焦点和左准线
变式：求椭圆方程的准线方程；
解：椭圆可化为标准方程为：，故其准线方程为
小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出
例2、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为.
变式：求到右焦点的距离为.
解：记椭圆的左右焦点分别为到左右准线的距离分别为由椭圆的第二定义可知：
又由椭的第一定义可知：
另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
例1、 点P与定点A〔2，0〕的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
解法一：设为所求轨迹上的任一点，那么由化简得，故所的轨迹是椭圆。
解法二：因为定点A〔2，0〕所以，定直线所以解得，又因为故所求的轨迹方程为
变式：点P与定点A〔2，0〕的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
分析：这道题目与刚刚的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢
解法一：设为所求轨迹上的任一点，那么由化简得配方得，故所的轨迹是椭圆，其中心在〔1，0〕
解法二：因为定点A〔2，0〕所以，定直线所以解得，故所求的轨迹方程为
问题1：求出椭圆方程和的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；
问题2：求出椭圆方程和长轴顶点、焦点、准线方程；
解：因为把椭圆向右平移一个单位即可以得到椭圆所以问题1中的所有问题均不变，均为
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；
反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为另一方面离心率就等于这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时〞最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否那么非标准方程，那么只能用解法一的思维来解。
例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线〔 〕
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
分析：如何判断直线与圆的位置关系呢
解：设AB的中点为M，那么M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为；
过点A、B、M分别作出准线的垂线，分别记为由梯形的中位线可知
又由椭圆的第二定义可知即
又且故直线与圆相离
例5、点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值
分析：应如何把表示出来
解：左准线：，作于点D，记
由第二定义可知：⇒⇒
故有
所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：
即的最小值是
变式1：的最小值；
解：
F1
A

M

D
变式2：的最小值；
解：
课堂练习
1．是椭圆上一点，假设到椭圆右准线的距离是，那么到左焦点的距离为_____________．
2．假设椭圆的离心率为，那么它的长半轴长是______________．
答案：1． 2．1或2
归纳小结：
1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；
课后作业
1.例题5的两个变式；
2. ，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．假设，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，那么，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．
思考：
1．方程表示什么曲线
解：；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数〔且该常数小于1〕方程表示椭圆
例Ⅱ、〔06四川高考15〕如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半局部于七个点，F是椭圆的一个焦点，那么=
解法一：，设的横坐标为，那么不妨设其焦点为左焦点
由得
解法二：由题意可知和关于轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知，同理可知，，
故
板书设计：
复习回忆
引入课题
问题：
推广：
椭圆第二定义
典型例题
1． 2． 3． 4． 5．
课堂练习：
课堂小结：
课后作业：
思考：
2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中那么。
性质二：椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，假设最大，那么点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，
在中，
=
性质三：椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中那么
证明：设那么在中，由余弦定理得：
命题得证。
〔2000年高考题〕椭圆的两焦点分别为假设椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,
于是得到的取值范围是
性质四：椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，那么椭圆的离心率。
由正弦定理得：
由等比定理得：
而，∴。
椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)假设点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．
解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．
(2)设∠F1PF2＝θ，那么∠PF2F1＝60°－θ
椭圆的离心率那么，
整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)
∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．