重点小学奥数--加法原理乘法原理.doc

加法原理与乘法原理
加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。
【题目1】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？
【解析】：
运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。
【题目2】：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
【解析】：
一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
①由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；
②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；
③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。
所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。
【题目3：提高题】：一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？
【解析】：
要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；……第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
所以，最多试验次数为：9+8+7……+2+1=45（次）。
【题目4】：某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？
【解析】：
运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：
第一步：选汤有2种方法。
第二步：选荤菜有4种方法。
每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8种不同的搭配方法。
第三步：选蔬菜有3种方法。
荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配方法，对应的都有3种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。如下图所示：
??????????
??? 所以，共有不同的买法：2×4×3=24（种）。
【题目5】：用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？
【解析】：
运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：
第一步：确定三位数百位上数字，有3种选法（最高位不能为0）。
第二步：确定十位上数字，有3种选法。
从上面四个数字中确定任意一个不为0的数字放在百位上，十位上都会剩下三个数字供选择。因此，对应百位上数字的每种选法，十位上数字都有3种不同的选择方法，两个数字共有3个3种，即9种不同的组成方法。
第三步：确定个位上数字，有2种选法。
从上面四个数字中去掉百位和十位上数字任意一种组成，个位上都会剩下2个不同的数字供选择。因此，对应百位和十位上数字的任意一种组成方法，个位上都有2种不同的选择方法，三个数字共有9个2种，即18中不同的组成方法。
所以，能组成的不重复的三位数的个数为:3×3×2=18(个)。
【题目6】：从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？
【解析】：
在三种不同类型的画里选择两种不同类型画有3种不同的选法，因此先把所有的选法分为三大类：
第一类：选1幅国画、1幅油画。
分两步完成，第一步选1幅国画有5种选法，第二步选油画有3种选法。对于前面国画的每一种选法，油画都有3种选法，共有选法：5×3=15（种）。
第二类：选1幅国画、1幅水彩画。
与第一类同理，共有选法：5×2=10（种）。
第三类：选1幅油画、1幅水彩画。
与第一类同理，共有选法：3×2=6（种）。
所以，共有不同的选法：15+10+6=31（种）。
【题目7】：有两个相同的正方体，每个正方体的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
【解析】：
假定这两个正方体分别为A正方体和B正方体。分两步确定向上的一面数字之和。
第一步，确定A正方体向上一面的数字，共有6种不同的情形：1，2，3，4，5，6；
第二步，确定B正方体向上一面的数字，有3种情形。因为B正方体面上有3个奇数，3个偶数，无论A正方体朝上的面上的数字是奇数还是偶数，对应的B正方体向上一面的数字都会有3种不同的情形，满足两面数字之和为偶数。
所以，向上的一面数字之和为偶数的情形有：6×3=18（种）。
【题目8-提高题】：
2003年12月6日0时起，南京市电话号码从7位升至8位。由于特殊需要，电信部门一直有这样的规定：普通市内电话号码的首位数字不使用0，1，9。升位前南京市普通电话号码的容量为多少门？升位后，南京市内电话号码的容量增加了多少门？
【解析】：
电话号码由0～9共10个数字组成，数字可以重复使用。
升位前的7位电话号码，首位数字不使用0，1，9，共有7种不同的选择，第二、三、四、五、六、七位数字都有10种不同选择。总容量为：
7×10×10×10×10×10×10=7000000（门）。
同理可算出，升位后8位电话号码总容量为：
7×10×10×10×10×10×10×
升位后，南京市内电话号码的容量增加了：
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