六年级奥数和倍、差倍、和差问题.doc

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第二十三讲 和倍问题
【知识概述】：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。要想顺利解决和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确的列式计算。解答和倍应用题的关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和。解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）＝小数； 小数×倍数＝大数（几倍数）或者：两数和－小数＝大数
如果遇到三个或三个以上的数的倍数关系，也可用这个公式。（首先找最小的一个数，再找出另几个数是最小数的倍数即可）
【经典例题】：例1.幼儿园的老师和小朋友共有81人在做游戏，小朋友们总是跟着自己的老师转，每位老师身边都有8个小朋友，问：小朋友有多少个？老师有多少人？
练习1：
1、学校有科技书和故事书共480本科技书的本数是故事书的3倍，两种书各多少本？

2、一个养鸡场有675只鸡，其中母鸡是公鸡的4倍，这个养鸡场有公鸡、母鸡各多少只？

3、学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得的本书比二年级的2倍还多60本，二、三年级各得图书多少本？

4、爸爸要把140张邮票分给弟弟和妹妹，已知弟弟分得的邮票张数比妹妹的4倍少10张，弟弟和妹妹各分得邮票多少张？

例2、甲、乙、丙3数和是183,乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？
解析：乙数加上4就是丙数的2倍，甲数减少7就是丙数的3倍。而总数也就应该加上4，再减去7。丙数1倍数，乙是2倍数。甲是3倍数，先求丙。丙数=（183+4-7）÷（1+2+3）=30，乙数=30×2-4=56，甲数=30×3+7=97。
练习2、
1、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗．第三堆糖果有多少颗？

2. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食．其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍．问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？

5.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵．桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？（☆☆☆）

6.某驻军有三个坦克连，共有115辆坦克，一连坦克数量比二连的2倍多2，而二连的坦克数量比三连的3倍多1．请问：一连比三连多几辆坦克？（★★★）

【重难点例题】：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍，甲组原来有图书多少本？
解析：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3=18（本），则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18+6就正好对应着后来乙组的（5-3）倍。因此，后来乙组有图书（18+6）÷（5-3）=12（本），乙组原来有12+6=18（本），甲组原来有18×3=54（本）。

练习1.小明原来的画片是小红的3倍，后来二人各买了5张，这样，小明的画片就是小红的2倍。二人原来各有多少张画片？

2.幼儿园买来的苹果个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，剩下苹果正好是梨的5倍。原来买来的苹果和梨共有多少个？

3.一个书架上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？

【同步精炼】：

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1、小明有圆珠笔芯30支，小青有圆珠笔芯15支，问小青把多少支笔芯给小明后，小明的圆珠笔芯支数是小青的8倍？

2、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶的油是乙桶的5倍？

3、甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？

4、甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班级图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本书是乙书架的2倍？

5、某专业户养鸡、鸭、鹅共有960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。这个专业户养鸡、鸭、鹅各多少只？

6、甲、乙、丙三个数之和是400，又知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求这三个数。

7、三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各是多少千克？

8、甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的米数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？

9、甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙 两数各是多少？

10、被除数和除数的和是120，商是7，被除数和除数各是多少？
11、被除数、除数与商的和是79，已知商是4。被除数和除数各是多少？

12、两数相除商是5，没有余数，已知被除数、除数与商的和是59。被除数和除数各是多少？

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差倍问题
【知识概述:】已知两数之差及它们的倍数关系，求这两个数是多少的应用题就叫做差倍问题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用：小数（1倍数）＝两数差÷(倍数－1)。式子中1即“1倍”数代表小数。
大数（几倍数）＝小数＋差，或 大数＝小数×倍数。解题关键就是抓住倍数差与对应两数差。学会使用线段图解题

例1、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？
解析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。
解：徒弟一天生产零件： 128÷(3－1)＝64(个)，
师傅一天生产零件： 128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。

【小试牛刀】1、 两根电线的长相差30米，长的那根是短的那根的4倍。这两根电线各长多少米？

2、某小学购买组足球的个数是排球的3倍，足球比排球多18只，购买足球和排球各有多少只？

【例2】 甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各有多少人？
分析与解答：“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、乙两队人数之差仍是56－34＝22(人)。由差倍公式得调动后乙队有：(56－34)÷(3－1)＝11(人)。调动后甲队有： 11×3＝33(人)或11＋(56－34)＝33(人)。

【小试牛刀】1、养鸡场有公鸡和母鸡，母鸡的只数是公鸡的3倍，把母鸡运走850只，把公鸡运走50只以后，公鸡与母鸡所剩下的只数相等，公鸡和母鸡原来各有多少只？
2、参加少年宫科技小组的人数，今年比去年多41人，并且今年的人数比去年的3倍少35人，今年有多少人参加？

【例3】甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？
分析与解答：当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”数是甲桶里剩下的油，差是26＋14＝40(千克)。由差倍公式知，“1倍”数＝(26＋14)÷(3－1)＝20(千克)。
故甲、乙桶原来各有油： 20＋26＝46(千克)，或 20×3－14＝46(千克)

【小试牛刀】1、小娟和洋洋扎纸花，小娟扎的朵数是洋洋的4倍。如果小娟送给洋洋36朵，那么两人扎的朵数相等，小娟和洋洋原来各扎多少朵花？

2、某车间原来有男职工数比女职工数多48人，如果调走2名女职工，男职工数就是女职工的3倍，求这个车间原有男、女职工各多少人？

【同步精练】

1、哥哥的图书本数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，哥哥和弟弟各图书多少本？

2、菜场运来的西红柿是黄瓜的3倍，卖出西红柿950千克，黄瓜120千克后，剩下的两种蔬菜重量相等，菜场运来西红柿和黄瓜各多少千克？

3、两袋盐的重量相等，甲袋取出24千克，乙袋装入28千克，这时乙袋的重量是甲袋的3倍 ，甲乙两袋原来各有盐多少千克？

4、甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？

5、甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。

6、有甲、乙两辆车，载客人数相同，在同一站点上，甲车有2人上车，乙车有9人上车，两车都没人下车，这时乙车载客人数是甲车的2倍，原来两车各有多少人

7、小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分？

8、三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？

9、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐是乙筐的5倍，两筐所剩的梨各有多少个?

10、小明和小惠都是集邮爱好者，小明的邮票张数是小惠的4倍，如果小明送给小惠36张，那么两人的张数相等，小明和小惠原来各有多少张邮票？

11、甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍，求甲厂原来有多少人？

课后巩固练习：
1、一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？

2、商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？

3、甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？
4、学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？

5、城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个？

6、在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的新增加了1980，这个数是多少？

7、食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？

8、甲乙两人各有若干本书，若甲给乙45本，则两人的书相等，若乙给甲45本，则甲的本数是乙的2倍，甲乙原来各有书多少本？

9、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？

和差问题
【知识概述】：已知几个数的和与差，求这几个数的应用题，叫和差问题。通常采用假设的方法，就是假设那个较小的数和较大的数相等或者假设那个较大的数和那个较小的数相等，这样就会引起总数（和）的变化（增加或减少），求出新的和，平均分就可得其中的一个数。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
基本公式：
① （和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数
②（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数

【经典例题】：1、两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？
解析：读题，找出条件和问题。根据条件和问题画出线段图

假设把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？
列式：第一筐：（千克） 第二筐：（千克）
假设把第一筐少的10千克补上，看成两个第二筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？
列式：第二筐：（千克） 第一筐：（千克）

【小试牛刀】：1、甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？

2、果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

3、有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？

4、沿长宽相差30米的游泳池跑了5圈，做下水前得准备活动，已知跑了700米距离，问游泳池的长和宽各是多少？

5、两数的和是40，甲数比乙数大8，求甲、乙两数各是多少？

6、买一套衣服，共需360元，裤子比上衣便宜136元，那么买一件上衣和一条裤子各需多少元钱？

7、甲、乙两箱共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱水果一样重，求两箱水果原来各有多少千克？

8、被减数，减数，差之和是900，减数比差少50，求减数是多少？

9、甲、乙、丙三个零件平均重31千克，甲零件比乙、丙两个零件重量和少1千克，乙零件是丙零件重量的2倍还多2千克。三个零件各重多少千克？

10、一套书有上、中、下三册，上册比中册贵3元，中册比下册贵6元，四套这样的书共300元，求上、中、下每册各多少元？

11、两箱水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

和倍、差倍、和差问题综合练习

1、学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本？

2、用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克？

3、果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
4、李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？

5、有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？

6、甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。

7、少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

8、被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？

9、三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米？

10、三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵？

11、有两袋大米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的大米吃掉4千克，这时大袋的大米重量是小袋的4倍，求两袋大米原来各重多少千克？

12、有40个连续的自然数，最大的那个数是最小的那个数的4倍，那么这列自然数中最大数与最小数的和是多少？

13、学校体育室近期用148元购买了2只足球和4只排球。每只足球比每只排球贵5元，足球和排球的单价各是多少元？

14、把100米长的绳子剪成三段，其中第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？
15、兄弟两共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票后，还比弟弟多2张，兄弟两原来各有邮票多少张？

16、一个两位数，十位数字与个位数字的和为9，十位数字比个位数字多5，求这个两位数？

17、小明有钱56元，小华有钱34元，两人花去同样多的钱后小明剩下的钱数正好是小华剩下钱数的3倍。问两人各花了多少钱？

18.商店运来一批水果，其中桔子的筐数是苹果的4倍，苹果比桔子少30筐。这批水果中苹果和桔子各有多少筐
？