抛物线的性质归纳及证明.doc

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y22px（p0）焦点F的弦两端点为,倾斜角为,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A、B、C.1.求证：焦半径；焦半径;； 弦长| AB |x1x2p=；特别地，当x1=x2(=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；AOB的面积SOAB.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F图2证明：根据抛物线的定义，| AF | AD |x1，| BF | BC |x2， | AB | AF | BF |x1x2p如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2，则y1、y2异号，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .2. 求证：； .当ABx轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：方程（1）之二根为x1，x2，.3.求证：Rt.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3先证明：AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取AB的中点N，连结MN，则| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMCDBRAxyOF图41234MkAMkBM1BMAE，即AMBRt.【证法四】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).(x1，)，(x3，)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结FM，则FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如图412，同理34图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaabbb2318090AMBRt.接着证明：DFCRt【证法一】如图5，由于| AD | AF |，ADRF，故可设AFDADFDFRa，同理，设BFCBCFCFRb，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1而AFDDFRBFCCFR1802(ab)180，即ab90，故DFC90【证法二】取CD的中点M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90.【证法三】(p，y1)，(p，y2)，N1NMxyOF图7M1lp2y1y20，故DFC90.【证法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |，即，且DRFFRC90 DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90DFRRFC90DFC904. CA、CB是抛物线的切线CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D1【证法一】kAM，AM的直线方程为yy1(x)与抛物线方程y22px联立消去x得yy1()，整理得y22y1y0可见(2y1)240，故直线AM与抛物线y22px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y22px，两边对x求导，得2y2p，故抛物线y22px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切| yy1.又kAM，k切kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】过点A(x1，y1)的切线方程为y1yp(xx1)，把M(，)代入左边y1px1，右边p(x1)px1，左边右边，可见，过点A的切线经过点M，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图9即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.5. CA、CB分别是AAB和BBA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.6. AC、AF、y轴三线共点，BC、BF、y轴三线共点【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，由以上证明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG1也是DF边上的中线，G1是DF的中点.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图10GHD1设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，| DD1 | OF |，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |，则G2也是DF的中点.G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1(x)，令x0得AM与y轴交于点G1(0，)，又DF的直线方程为y(x)，令x0得DF与y轴交于点G2(0，)AM、DF与y轴的相交同一点G(0，)，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图117. A、O、B三点共线，B、O、A三点共线.【证法一】如图11，kOA，kOCkOAkOC，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | BF |，| RO | OF |，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O，RFBC，| OF |【见证】O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】(，y2)，(x1，y1)，y1x1 y2y1 y20，且都以O为端点A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y22px（p0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：xm的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图： 8. 若| AF |：| BF |m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角. 则cos q；【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BEAD于E，设| AF |mt，| AF |nt，则CDBRAxyOqEF图14l| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中，cosBAEcos qcosBAE.【例6】设经过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，且| AF |：| BF |3：1，则直线AB的倾斜角的大小为 .【答案】60或120.9. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切; AB为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15，设E是AF的中点，则E的坐标为(，)，则点E到y轴的距离为d| AF |故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN准线l于N，则| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |图16则圆心M到l的距离| MN | AB |，故以AB为直径的圆与准线相切. 10. MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(，y2)，D(，y1)，M(，)，N(，)，设MN的中点为Q，则Q (，) 点Q 在抛物线y22px上，即Q是MN的中点.10