抛物线的性质归纳及证明.doc

抛物线的常见性质及证明
概念
焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；
焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.
性质及证明
过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为,,倾斜角为,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.
1.求证：①焦半径；②焦半径;
③＋＝； ④弦长| AB |＝x1＋x2＋p=；特别地，当x1=x2(=90°)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝.
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
q
A1
B1
F
图2
证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋，| BF |＝| BC |＝x2＋，
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p
如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为
A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cosq，
∴| AF |＝＝
同理，| BF |＝＝
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝＋＝ .
S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝| OF || y1 |＋| OF || y1 |＝··(| y1 |＋| y1 |)
∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |
∴S△OAB＝| y1－y2 |＝＝＝＝ .
2. 求证：①；②；③ ＋＝.
当AB⊥x轴时，有
成立；
当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：
.化简得：
∵方程（1）之二根为x1，x2，∴.

.
3.求证：Rt∠.

C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F
E
N
M
图3
先证明：∠AMB＝Rt∠
【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则
△ADM≌△ECM，
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD |
∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD |
＝| BF |＋| AF |＝| AB |
∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠
【证法二】取AB的中点N，连结MN，则
| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |
∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.
【证法三】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).
∴kAM＝＝＝＝＝，同理kBM＝
C
D
B
R
A
x
y
O
F
图4
1
2
3
4
M
∴kAM·kBM＝·＝＝＝－1
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.
【证法四】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，).
∴＝(x1＋，)，＝(x3＋，)
∴·＝(x1＋)(x2＋)＋
＝x1x2＋(x1＋x2)＋－
＝＋(＋)＋－
＝＋＝＋＝0
∴⊥，故∠AMB＝Rt∠.
【证法五】由下面证得∠DFC＝90°，连结FM，则FM＝DM.
又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4
∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4
图5
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F( ，0)
a
a
a
b
b
b
∴∠2＋∠3＝×180°＝90°
∴∠AMB＝Rt∠.
接着证明：∠DFC＝Rt∠
【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF，
故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝a，
同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝b，
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F

M
图6
G
H
D1
而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180°
∴2(a＋b)＝180°，即a＋b＝90°，故∠DFC＝90°
【证法二】取CD的中点M，即M(－，)
由前知kAM＝，kCF＝＝＝
∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF
∴∠DFC＝∠AMB＝90°.
【证法三】∵＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，
N1
N
M
x
y
O
F

图7
M1
l
∴·＝p2＋y1y2＝0
∴⊥，故∠DFC＝90°.
【证法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即＝，且∠DRF＝∠FRC＝90°
∴ △DRF∽△FRC
∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90°
∴∠DFR＋∠RFC＝90°
∴∠DFC＝90°
4. C’A、C’B是抛物线的切线
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F

M
图8
D1
【证法一】∵kAM＝，AM的直线方程为y－y1＝(x－)
与抛物线方程y2＝2px联立消去x得
y－y1＝(－)，整理得y2－2y1y＋＝0
可见△＝(2y1)2－4＝0，
故直线AM与抛物线y2＝2px相切，
同理BM也是抛物线的切线，如图8.
【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，＝，
得2y·＝2p，＝，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝| y＝y1＝.
又kAM＝，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.
【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－，)代入
左边＝y1·＝＝＝px1－，
右边＝p(－＋x1)＝－＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F
E
N
M
图9
即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.
5. C’A、C’B分别是∠A’AB和∠B’BA的平分线.
【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，
则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，
∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，
即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.
【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角a是直线AM的倾斜角b的2倍即可，即a＝2b. 且M(－，)
∵tana＝kAB＝＝＝.
tanb＝kAM＝＝＝＝＝.
∴tan 2b＝＝＝＝＝＝tana
∴a＝2b，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.
6. AC’、A’F、y轴三线共点，BC’、B’F、y轴三线共点
【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，
由以上证明知| AD |＝| AF |，AM平分∠DAF，故AG1也是DF边上的中线，
∴G1是DF的中点.
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F

M
图10
G
H
D1
设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，
易知，| DD1 |＝| OF |，DD1∥OF，
故△DD1G2≌△FOG2
∴| DG2 |＝| FG2 |，则G2也是DF的中点.
∴G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，
同理BM、CF、y轴也三线共点.
【证法二】AM的直线方程为y－y1＝(x－)，
令x＝0得AM与y轴交于点G1(0，)，
又DF的直线方程为y＝－(x－)，令x＝0得DF与y轴交于点G2(0，)
∴AM、DF与y轴的相交同一点G(0，)，则AM、DF、y轴三线共点，
同理BM、CF、y轴也三线共点H．由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.
C
D
B(x2，y2)
R
A(x1，y1)
x
y
O
F
图11
7. A、O、B’三点共线，B、O、A’三点共线.
【证法一】如图11，kOA＝＝＝，
kOC＝＝－＝－＝－＝
∴kOA＝kOC，则A、O、C三点共线，
同理D、O、B三点也共线.
【证法二】设AC与x轴交于点O¢，∵AD∥RF∥BC
∴＝＝，＝，
又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴＝
∴| RO¢ |＝| O¢F |，则O¢与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.
【证法三】设AC与x轴交于点O¢，RF∥BC，＝，
∴| O¢F |＝＝＝＝【见⑵证】
∴O¢与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.
【证法四】∵＝(－，y2)，＝(x1，y1)，
∵－·y1－x1 y2＝－·y1－ y2＝－－＝－＋＝0
∴∥，且都以O为端点
∴A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.
【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：x＝－m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图：

8. 若| AF |：| BF |＝m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角. 则cos q＝；
【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BE⊥AD于E，设| AF |＝mt，| AF |＝nt，则
C
D
B
R
A
x
y
O
q
E
F
图14
l
| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m－n)t
∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝
∴cos q＝cos∠BAE＝.
【例6】设经过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，
且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB的倾斜角的大小为 .
【答案】60°或120°.
9. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切; A’B’为直径的圆与焦点弦AB相切.

【说明】如图15，设E是AF的中点，
则E的坐标为(，)，
则点E到y轴的距离为d＝＝| AF |
故以AF为直径的圆与y轴相切，
同理以BF为直径的圆与y轴相切.
【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN⊥准线l于N，则
| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |
图16

则圆心M到l的距离| MN |＝| AB |，
故以AB为直径的圆与准线相切.
10. MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.
【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(－，y2)，D(－，y1)，
M(－，)，N(，)，
设MN的中点为Q¢，则Q¢ (，)
∵ ＝＝＝
∴点Q¢ 在抛物线y2＝2px上，即Q是MN的中点.
10