42常系数线性微分方程的解法.pptx

一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1、复值函数、复值函数复值函数的求导法则与实函数求导法则相同复值函数的求导法则与实函数求导法则相同一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1、复值函数及其性质、复值函数及其性质3）复值函数的）复值函数的求和、数乘、求导法则与求和、数乘、求导法则与实函数实函数相同相同2、复指数函数、复指数函数欧拉公式欧拉公式:性质性质:定义：定义：3、复值解、复值解1)定义：定义：2)定理定理8和的解.3)定理定理9：若方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程1、常系数齐线性方程的求解方法、常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法待定系数法)考虑方程称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）.有通解说明：一阶常系数齐线性方程有通解受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：把它代入方程(4.19)得 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.1)特征根是单根的情形易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：下面分开讨论特征根的不同情况：下面分开讨论特征根的不同情况：故解组(4.22)线性无关.（则因方程的系数是实常数,所以复根将成对共轭出现）则相应方程(4.19)有两个复值解：由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解.因此,对方程的一对共轭复根:可求得(4.19)的两个实值解为：例1：解：特征方程为特征根为基本解组为故原方程的通解为：例2：解：特征方程为特征根为基本解组为故原方程的通解为：2)特征根是重根的情形特征根是重根的情形从而，对应方程(4.19)变化为：于是，方程(4.19)化为其中，方程(4.23)相应特征方程为直接计算易得:因此,即就把问题转化为前面讨论过的情形(a).下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见见P140）对特征方程有复根的情况:如同单根时那样,我们也可以3)求方程(4.19)通解的步骤：第一步:第二步:计算方程(4.19)相应的解第三步:例3：解：特征方程为有特征根：基本解组为：故通解为：例4：解特征方程为特征根：故方程的通解为：方程的基本解组为：例5：解特征方程为特征根：故方程的通解为：基本解组：作业P164:2、（1）（3）2、欧拉、欧拉(Euler)方程方程形如的方程,称为欧拉方程.欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），瑞士数学家。18世纪 最优秀的数学家数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。他从19岁到76岁的半个多世纪共写下了856篇论文，专著32部，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。几乎每个数学领域都可看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。欧拉的兴趣十分广泛，他研究过天文学、物理学、航海学、建筑学、地质学、化学等等。*欧拉简介：欧拉简介：1)引进变换：由归纳法原理可知：将上述关系式代入(4.19)因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.得常系数齐线性方程.即2)从上述推演过程,我们知(4.30)因此可直接求欧拉方程的则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,注：例6：解解得特征根为：故方程的通解为:例7：解解得方程的特征根为：故方程的通解为:三、常系数非齐线性方程的解法三、常系数非齐线性方程的解法(一一)常规方法常规方法1、先求齐次方程的通解；2、常数变易法；3、通解+特解。(二二)比较系数法比较系数法特解的求法特解的求法1、类型I:则方程有特解形式：其中例8解（1）齐次方程为：所以，齐次方程的通解为：比较系数得则特征方程为：（2）求特解代入原方程得:因此原方程的通解为:例9解（1）齐次方程为：则特征方程为：所以，齐次方程的通解为：比较系数得（2）求特解代入原方程得:因此原方程的通解为:2、类型II:则方程（4.32）有特解形式：其中解（1）对应齐次方程的特征方程为：故可设特解为：例10：解得特征根为所以，齐次方程的通解为：（2）求特解