【6套合集】湖南郴州市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析.docx

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 2的算术平方根是（　　）
A. ±2 B. 2 C. -2 D. 2
2. 下列运算正确的是（　　）
A. a3⋅a3=2a6 B. a3+a3=2a6 C. (a3)2=a6 D. a6⋅a2=a3
3. 近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（　　）
A. 18×104 B. 1.8×104 C. 0.18×106 D. 1.8×105
4. 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（　　）

A. B. C. D.
5. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
6. 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）
A. 20% B. 25% C. 50% D. 62.5%
7. 如图，反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（　　）
A. -6
B. -5
C. -4
D. -3

8. 如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（　　）
A. 235 B. 55 C. 335 D. 255
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. -5的相反数是______．
10. 分解因式：4a2-4a+1=______．
11. 若x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
12. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．

13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．

14. 同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=95x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为______℃．
15. 如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．

16. 如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．

三、计算题（本大题共3小题，共20分）
17. 计算|-6|+（-2）3+（7）0

18. 化简：(1-3a)÷a-3a2

19. 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．
（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；
（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．

四、解答题（本大题共8小题，共82分）
20. 解不等式组4x+2<x+42x>1-x

21. 某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题
（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？

22. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．

23. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．
（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？

24. 如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．
（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；
（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：2=1.41，3=1.73）

25. 如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（6，0）与点B（0，-2），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，
①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；
②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

27. 正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；
③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；
（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=14S△OBG，连接GP，则当BO为何值时，四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？

答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：2的算术平方根是，
故选：B．
根据算术平方根的定义直接解答即可．
本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．
2.【答案】C
【解析】
解：A、a3•a3=a6，故此选项错误；
B、a3+a3=2a3，故此选项错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、a6•a2=a8，故此选项错误．
故选：C．
分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】
解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】
解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
故选：A．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
5.【答案】A
【解析】
解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2，
故选：A．
先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．
本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
6.【答案】C
【解析】
解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意舍去），
答：该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选：C．
设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．
7.【答案】D
【解析】
解：过点P作PE⊥y轴于点E

∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=-3
故选：D．
由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：连接AC、BD、OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM=CM，BM=DM，
∵⊙O与边AB、AD都相切，
∴点O在AC上，
设AM=x，BM=y，
∵∠BAD＜90°，
∴x＞y，
由勾股定理得，x2+y2=25，
∵菱形ABCD的面积为20，
∴xy=5，
，
解得，x=2，y=，
∵⊙O与边AB相切，
∴∠OEA=90°，
∵∠OEA=∠BMA，∠OAE=∠BAM，
∴△AOE∽△ABM，
∴=，即=，
解得，OE=，
故选：D．
连接AC、BD、OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出AM、BM，根据切线的性质得到∠OEA=90°，证明△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9.【答案】5
【解析】
解：-5的相反数是5．
故答案为：5．
根据相反数的定义直接求得结果．
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
10.【答案】（2a-1）2
【解析】
解：4a2-4a+1=（2a-1）2．
故答案为：（2a-1）2．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
11.【答案】x≥2
【解析】
解：由题意得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】30
【解析】
解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°．
故答案为：30．
根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．
13.【答案】12
【解析】
解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=3，
∴的长度==π，
∴圆锥底面圆的半径=，
故答案为：．
根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到的长度==π，于是得到结论．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】-40
【解析】
解：根据题意得x+32=x，
解得x=-40．
故答案是：-40．
根据题意得x+32=x，解方程即可求得x的值．
本题考查了函数的关系式，根据摄氏度数值与华氏度数值恰好相等转化为解方程问题是关键．
15.【答案】（2+23）
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵DP⊥BC，
∴∠BPD=90°，
∵PB=4cm，
∴BD=8cm，PD=4cm，
∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，
∴AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，
∴AB=（8+4）cm，
∴BC=（8+4）cm，
∴PC=BC-BP=（4+4）cm，
∵∠EPC=180°-90°-60°=30°，
∴∠PEC=90°，
∴CE=PC=（2+2）cm，
故答案为：2+2．
根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】
解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，
故答案为：．
延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=6-8+1=-1．
【解析】

直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1-3a)÷a-3a2
=a-3a⋅a2a-3
=a．
【解析】

根据分式的减法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
19.【答案】14
【解析】
解：（1）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，
所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=；
故答案为
（2）画树状图为：

共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，
所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=．
（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20.【答案】解：解不等式2x＞1-x，得：x＞13，
解不等式4x+2＜x+4，得：x＜23，
则不等式组的解集为13＜x＜23．
【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】200   12   36   108
【解析】
解：（1）∵44÷22%=200（名）
∴该调查的样本容量为200；
a=24÷200=12%，
b=72÷200=36%，
“常常”对应扇形的圆心角为：
360°×30%=108°．

（2）200×30%=60（名）
．

（3）∵3200×36%=1152（名）
∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．
故答案为：200、12、36、108．
（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．
（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．
（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．
由翻折的性质可知：∠EAB=12∠BAC，∠DCF=12∠DCA．
∴∠EAB=∠DCF．
在△ABE和△CDF中∠B=∠DAB=CD∠EAB=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴DF=BE．
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，
∵∠B=90°，
∴∠ACE=90°-30°=60°，
即∠CAE=∠ACE，
∴EA=EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】

（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；
（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．
本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
23.【答案】240
【解析】
解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．
故答案为240．

（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，
∴收费标准在BC段，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，
解得，
∴y=-6x+300，
由题意（-6x+300）x=3600，
解得x=20或30（舍弃）
答：参加这次旅游的人数是20人．
（1）观察图象即可解决问题；
（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】150°   5
【解析】
解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．
∵∠DCG=60°，
∴∠CDN=30°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），
∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．
在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=BC=5cm．
故答案是：150°；5；

（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=×10=5（cm）．
∵∠DCN=30°，
∴cos∠DCN=cos30°==，即=，
解得EF=32.4．
即箱子的宽EF是32.4cm．
（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；
（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．
本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
25.【答案】解：（1）∵点A（6，0）与点B（0，-2），
∴OA=6，OB=2，
∴AB=OA2+OB2=22，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴⊙M的半径为：2；

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；

（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=OBOA=26=33，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，
∴∠ABC=∠OBC=12∠ABO=30°，
∴OC=OB•tan30°=2×33=63，
∴AC=OA-OC=263，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=263，
∴AF=12AE=63，EF=32AE=2，
∴OF=OA-AF=263，
∴点E的坐标为：（263，2）．
【解析】

（1）由点A（，0）与点B（0，-），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；
（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；
（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．
此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），
∴a-b-3=04a+2b-3=0，得a=32b=-32，
∴y=32x2-32x-3=32(x-12)2-938，
∴二次函数的表达式是y=32x2-32x-3，顶点坐标是（12，-938）；
（2）①点M的坐标为（12，32），（12，-32）或（12，-536），
理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，
∵点A（-1，0），点B（0，-3），
∴OA=1，OB=3，
∴tan∠BAO=31=3，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAM1=30°，
∴tan∠OAM1=M1DAD=M1D32=33，
解得，DM1=32，
∴M1的坐标为（12，32）；
当BM3⊥AB时，
同理可得，3-DM312=33，解得，DM3=536，
∴M3的坐标为（12，-536）；
当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，
∵点A（-1，0），点B（0，-3），
∴线段AB中点的坐标为（-12，-32），线段AB的长度是2，
设点M2的坐标为（12，m），
则(-12-12)2+(-32-m)2=1，解得，m=-32，
即点M2的坐标为（12，-32）；
由上可得，点M的坐标为（12，32），（12，-32）或（12，-536）；
②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，
由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，
∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，
则∠AMB=∠AM′B=12∠AFB=60°，
∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，
∴∠FAO=30°，AF=233=FM=FM′，OF=33，
过点F作FG⊥MM′于点G，
∵FG=12，
∴MG=M′G=FM2-FG2=396，
又∵G（12，-33），
∴M（12，39-236），M′（12，-39-236），
∴-39-236≤t≤39-236．
【解析】

（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；
②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．
27.【答案】不可能
【解析】
解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，
∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，
∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，
∴ON不可能过D点，
故答案为：不可能；

②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，
∴四边形EFCH为矩形，
∵∠MON=90°，
∴∠EOF=90°-∠AOB，
在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，
∴∠EOF=∠BAO，
在△OFE和△ABO中，
，
∴△OFE≌△ABO（AAS），
∴EF=OB，OF=AB，
又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，
∴CF=EF，
∴四边形EFCH为正方形；

③结论：OA=OE．
理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．

∵AB=BC，BQ=BO，
∴AQ=QC，
∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，
∴△AQO≌△OCE（ASA），
∴AO=OE．

（2）

∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，
∴△PKO∽△OBG，
∵S△PKO=S△OBG，
∴=（）2=，
∴OP=1，
∴S△POG=OG•OP=×1×2=1，

设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=4，
∴b=，
∴S△OBG=ab=a==，
∴当a2=2时，△OBG有最大值1，此时S△PKO=S△OBG=，
∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．
∴当BO为时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为．
（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；
②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；
③结论：OA=OE．如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．证明△AQO≌△OCE（ASA）即可．
（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．
本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反
中学自主招生数学试卷

一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．C． D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
A．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+=2有解,则m的取值范围是（ ）
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
A．B．C．D．

7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°

8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．

9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．

10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．π-1 C． D．π
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+= .

12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .

13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .

14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)

15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .

三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简÷(x-),然后从-<x<的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值.

17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=,AB=,则DE的长为 .

19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.

21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表

甲
乙
进价(元/双)
m
m-20
售价(元/双)
240
160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.

22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E为AC中点,以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED.
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于