高中数学必修五第一章解三角形章末测试(人教A版必修5).doc
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高中数学必修五 第一章 解三角形章末测试 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC中,已知a=3,b=4,c=,则角C为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析: 根据余弦定理: cos C===, ∴C=60°. 答案: B 2.在△ABC中,a=,b=,A=30°,则c等于( ) A.2 B. C.2或 D.以上都不对 解析: 由于sin B==,故B=60°或120°. 当B=60°时,C=90°时,c=30°.c==2; 当B=120°时,C=30°,c=a=. 答案: C 3.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是( ) A. B. C. D. 解析: 设长为4,5的两边的夹角为θ, 由2x2+3x-2=0得:x=或x=-2(舍). ∴cos θ=, ∴第三边长为=. 答案: B 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b=,A=30° C.a=1,b=2,A=100° D.b=c=1,B=45° 解析: A:a+b=3=c,不能构成三角形; B:bsin A<a<b,故有两解. C:a<b,故A应为锐角,而已知A=100°,故不能构成三角形. D:b=c=1,故△ABC为等腰三角形, ∴C=B=45°,∴A=90°,故只有一解. 答案: D 5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+b2=c2+ab,则C=( ) A.60° B.120° C.45° D.30° 解析: 由余弦定理得 cos C=== 又∵C∈(0°,180°) ∴C=60°. 答案: A 6.在△ABC中,若a2+b2-c2<0,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都有可能 解析: 由余弦定理,得cos C=<0. 所以C为钝角.于是△ABC为钝角三角形. 答案: C 7.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则cos C的值为( ) A. B.- C.- D. 解析: 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4知,a∶b∶c=3∶2∶4,令a=3x,则b=2x,c=4x(x>0), 根据余弦定理得,cos C= ==-. 答案: C 8.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为( ) A. B.3 C. D.7 解析: 由S=AB×AC×sin A得AC=1 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos A =22+12-2×2×1×cos 60°=3 ∴BC=,故选A. 答案: A 9.锐角三角形ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对边,如果B=2A,则的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(0,2) C.(,) D.(,2) 解析: ∵===2cos A, 又∵△ABC是锐角三角形,∴, ∴30°<A<45°,则=2cos A∈(,). 答案: C 10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向航行,进行海面巡逻,当行驶半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若C船位于A处北偏东30°方向上,则缉私艇B与船C的距离是( ) A.5(+)km B.5(-)km C.10(+)km D.10(-)km 解析: 如图,由题意得∠BAC=30°,∠ACB=75°, ∴=, ∴BC==10(-)km. 答案: D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 11.在△ABC中,A,B,C是三个内角,C=30°,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C的值是________. 解析: sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C=(a2+b2-2abcos C) ==sin2C=. 答案: 12.在△ABC中,若S△ABC=(a2+b2-c2),那么角C=___________________________. 解析: 根据三角形面积公式得, S=absin C=(a2+b2-c2) ∴sin C=. 又由余弦定理:cos C=, ∴sin C=cos C,∴C=. 答案: 13.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为________. 解析: 由锐角三角形及余弦定理知: ⇔ 答案: <a<5 14.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船,追上时乙船已行驶了________海里. 解析: 如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,由题意及正弦定理,得sin θ==, ∴θ=30°.从而BC===a. 即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船,追上时,乙船已行驶了a海里. 答案: 北偏东30° a 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分12分)在△ABC中,已知sin C=,试判断三角形的形状. 解析: ∵sin C=, 由正弦定理得c(cos A+cos B)=a+b, 再由余弦定理得, c·+c·=a+b, ∴a3+a2b-ac2-bc2+b3+ab2=0, ∴(a+b)(c2-a2-b2)=0,∴c2=a2+b2, ∴△ABC为直角三角形. 16.(本小题满分12分)在△ABC中,已知c=,b=1,B=30°. (1)求角A; (2)求△ABC的面积. 解析: (1)由=得 sin C=sin B=×sin 30°=. ∵c>b,∴C>B,∴C=60°或C=120°. ∴A=90°或A=30°. (2)S△ABC=bcsin A =×1×sin 90°=. 或S△ABC=bcsin A=×1××sin 30°=. 即△ABC的面积为或. 17.(本小题满分12分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A. (1)确定角C的大小; (2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值. 解析: (1)由a=2csin A及正弦定理得, ==. ∵sin A≠0,∴sin C=. ∵△ABC是锐角三角形,∴C=. (2)∵c=,C=,由面积公式得 absin =,即ab=6.① 由余弦定理得a2+b2-2abcos =7, 即a2+b2-ab=7, ∴(a+b)2=7+3ab.② 由①②得(a+b)2=25,故a+b=5. 18.(本小题满分14分)在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B、C、D,B、C两市相距20 km,C、D相距34 km,C城在B、D两城之间.如图所示,某时刻C市感到地表震动,8秒后B市,20秒后D市先后感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km. 求:震中到B、C、D三市的距离. 解析: 在△ABC中,由题意AB-AC=1.5×8=12. 在△ACD中,由题意AD-AC=1.5×20=30. 设AC=x,则AB=12+x,AD=30+x. 在△ABC中, cos∠ACB===. 在△ACD中, cos∠ACD= ==. ∵B、C、D在一条直线上, ∴=-,即=. 解之得x=(km).∴AB=,AD=. 答:震中距B、C、D三市分别为 km, km, km. 第 7 页 共 7 页- 配套讲稿:
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