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成人高考高等数学模拟试题和答案解析

资料仅供参考
成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（一）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．当x→0时，x2是x-1n(1+x)的（　　）．
A．较高阶的无穷小量
B．等价无穷小量
C．同阶但不等价的无穷小量
D．较低阶的无穷小量
2．设函数ƒ(sinx)=sin2 x，则ƒˊ(x)等于（　　）．
A．2cos x
B．-2sin xcosx
C．％
D．2x
3．以下结论正确的是（　　）．
A．函数ƒ(x)的导数不存在的点，一定不是ƒ(x)的极值点
B．若x0为函数ƒ(x)的驻点，则x0必为ƒ(x)的极值点
C．若函数ƒ(x)在点x0处有极值，且ƒˊ(x0)存在，则必有ƒˊ(x0)=0
D．若函数ƒ(x)在点x0处连续，则ƒˊ(x0)一定存在
4．
A．
B．
C．exdx
D．exIn xdx
5．函数y=ex-x在区间(-1，1)内（　　）．
A．单调减少
B．单调增加
C．不增不减
D．有增有减
6．
A．F(x)
B．-F(x)
C．0
D．2F(x)
7．设y=ƒ(x)二阶可导，且ƒˊ(1)=0,ƒ″(1)>0，则必有（　　）．
A．ƒ(1)=0
B．ƒ(1)是极小值
C．ƒ(1)是极大值
D．点(1,ƒ(1))是拐点
8．
A．ƒ(3)- ƒ(1)
B．ƒ(9)- ƒ(3)
C．1[f(3)-f(1)
D．1/3[ƒ(9)- ƒ(3)]
9．
A．2x+1
B．2xy+1
C．x2+1
D．x2
10．设事件A，B的P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A | B)=（　　）．
A．O．1
B．0．2
C．0．8
D．0．9

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．

11．

12．当x→0时，1-cos戈与xk是同阶无穷小量，则k= __________．
13．设y=in(x+cosx)，则yˊ __________．
14．
15．
16．设ƒ(x)的导函数是sin 2x，则ƒ(x)的全体原函数是 __________．
17．
18．曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________．
19．
20．

三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．
22．23．
24．
25．(本题满分8分)一枚5分硬币，连续抛掷3次，求“至少有1次国徽向上”的概率．
26．(本题满分10分)在抛物线y2=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?
27．(本题满分10分)设z=z(x，y)由方程ez-x2+y2+x+z=0确定，求出．
28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S，并求
此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．

参考答案及解析

一、选择题
1．【答案】应选C．
【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．
比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：

由于其比的极限为常数2，因此选项C正确．
请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，因此本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论．
与本题类似的另一类考题(能够为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”．例如：当x→0时，x-In(1+x)是x的
A．1/2阶的无穷小量
B．等价无穷小量
C．2阶的无穷小量
D．3阶的无穷小量

要使上式的极限存在，则必须有k-2=0，即k=2．
因此，当x→0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选C．
2．【答案】应选D．
【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算．
本题的解法有两种：
解法1先用换元法求出ƒ(x)的表示式，再求导．
设sinx=u，则ƒ(x)=u2，因此ƒˊ(u)=2u，即ƒˊ(x)=2x，选D．
解法2将ƒ(sinx)作为ƒ(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成ƒˊ(x)的形式．
等式两边对x求导得
ƒˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，ƒˊ(sin x)=2sinx．
用x换sin x，得ƒˊ(x)=2x，因此选D．
请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：

( )设函数ƒ (cosx)=1+cos3x，求ƒˊ(x)．(答案为3x2)
3．【答案】应选C．
【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，
例如：
y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D．
y=x3，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，因此命题C是正确的．
4．【答案】应选A．
【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也能够直接求微分得到dy．

5．【答案】应选D．
【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．
因为yˊ=ex-1，令yˊ=0，得x=0．
又y″=ex>0，x∈(-1，1)，且y″|x=0=1>0，因此x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，因此应选D．
6．【答案】应选B．
【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项．

7．【答案】应选B．
【提示】根据极值的第二充分条件确定选项．
8．【答案】应选D．
【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题能够直接换元或用凑微分法．

9．【答案】应选B．
【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．

10．【答案】应选C．
【解析】利用条件概率公式计算即可．

二、填空题
11．【答案】应填e-2.
【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e-2．

12．【答案】应填2．
【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值．

13．

【解析】用复合函数求导公式计算．

14．【答案】应填6．

15．
【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导．
将等式两边对x求导(此时y=y(x))，得

16．
【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念．

17．

18．【答案】应填x+y-e=0．
【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．

19．【答案】 应填2π．
【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质．
20．
【提示】 将函数z写成z=ex2·ey，则很容易求得结果．
三、解答题
21．本题考查的是型不定式极限的概念及相关性质．
【解析】含变上限的型不定式极限直接用洛必达法则求解．

22．本题考查的知识点是复合函数的求导计算．
【解析】 利用复合函数的求导公式计算．

23．本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法．
【解析】 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分．
另外由于被积函数中含有根式，因此也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分．
解法1

解法2三角代换去根号．

24．本题考查的知识点是反常积分的计算．
【解析】 配方后用积分公式计算．

25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．

26．本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．
【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值．
解如图2-7-1所示，设A点坐标为(x0，y0)，则AD=2-x0，矩形面积

27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．

利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=ez-x2+y2+x+z，
然后将等式两边分别对x，y，z求导．考生一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量．
解法1直接求导法．
等式两边对x求导得

解法2公式法．

解法3微分法．
对等式两边求微分得

三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握．建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法．
28．本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法．
【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对x积分还是对)，积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x积分，则有

这显然要比对y积分麻烦．
在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．历年的试题均是绕x轴旋转，而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积．
旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是：

解 画出平面图形，如图2-7-2所示的阴影部分，则有阴影部分的面积