正交极空间Q-+(7,q)...SU_3(q)-不变奇妙集_冯涛.pdf

中国科学:数学2023年第53卷第2期:249260SCIENTIA SINICA Mathematica论文英文引用格式:Feng T,Li W C,Tao R.PSU3(q)-invariant intriguing sets of orthogonal polar space Q+(7,q)(in Chinese).SciSin Math,2023,53:249260,doi:10.1360/SSM-2022-0071c 2022中国科学 杂志社正交极空间Q+(7,q)中的PSU3(q)-不变奇妙集献给朱烈教授80华诞冯涛1,李伟聪2,3,陶然4,51.浙江大学数学科学学院,杭州 310027;2.南方科技大学数学系,深圳 518055;3.南科大杰曼诺夫数学中心,深圳 518055;4.山东大学教育部密码技术与信息安全重点实验室,青岛 266237;5.山东大学网络空间安全学院,青岛 266237E-mail:,收稿日期:2022-04-27;接受日期:2022-08-29;网络出版日期:2022-09-26;*通信作者国家重点研发计划(批准号:2021YFA1001000)和国家自然科学基金(批准号:12171428)资助项目摘要设q 2(mod 3)为一个素数幂.借助于Kantor的Q+(7,q)模型,本文研究了正交极空间Q+(7,q)的点集在群PSU3(q)作用下的轨道结构,由此构造出新的自同构群为PSU3(q)的(q2+q)-和q3-卵形体(ovoid).在此模型下,本文确定Q+(7,q)的所有PSU3(q)-不变奇妙集,证明其一定是酉型卵形体、新构造的两类m-卵形体或它们的补集.关键词奇妙集卵形体正交极空间酉群MSC(2020)主题分类51A50,51E20,05B251引言假设S是一个秩为r的有限经典极空间,并用表示其上的极映射.S的点共线图(S)是一个强正则图,其顶点集为S中的点,两个顶点相邻当且仅当它们正交(参见文献4).用A表示(S)的邻接矩阵,并用1表示长为|S|的全1向量.给定极空间S中的一个非平凡集合M,用M表示其示性向量,即对于S中的点P,根据其是否在M中,相应地有M(P)=1或M(P)=0.如果M|M|S|1是矩阵A的特征向量,则称M为该极空间S中的奇妙集(intriguing set).邻接矩阵A有两个受限的(restricted)特征值,分别对应于两类奇妙集:i-紧集(tight set)和m-卵形体(ovoid),其中i和m为它们对应的参数.特别地,1-卵形体简称作卵形体.奇妙集的概念最早由Bamberg等2在经典广义四边形中给出,随后被Bamberg等1推广到了有限经典极空间.它统一了此前有限几何中的多个概念,并揭示了这些几何对象的代数意义.奇妙集冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集不但是重要的几何构型,而且与图论和编码理论有密切的联系,因此近些年来得到了广泛关注和研究,详情参见文献1,5.对于奇妙集的研究涉及较为深刻的群论和数论知识.对于满足特定的传递性假设的奇妙集,一般可以利用有限典型群的结构定理和深刻的表示论知识完全分类,例如,Bamberg和Penttila3对有限经典极空间中具有不可解自同构群的传递卵形体进行了分类.三维射影空间中的Cameron-Liebler线族等价于Q+(5,q)中的紧集,在文献11的构造中涉及极为复杂的指数和运算.在低秩极空间中,奇妙集的构造方面已经有大量工作,可参见文献1,614及其中所列的参考文献.当极空间的秩较大时,已知的奇妙集构造比较稀少.1982年,Kantor16利用群PGU3(q)的8维绝对不可约表示构造了双曲正交极空间Q+(7,q)中的一类卵形体,其中q 2(mod 3).这类卵形体称作酉型(unitary)卵形体.本文将采用相同的模型,研究特殊酉群PSU3(q)在Q+(7,q)点集上的轨道结构,从而得到Q+(7,q)上自同构群为PSU3(q)的(q2+q)-卵形体和q3-卵形体,并且对Q+(7,q)中的PSU3(q)-不变奇妙集进行完全分类.针对本文的研究内容,介绍下列定义与引理.定义1.11令q是一个素数幂,Q+(7,q)是双曲型正交极空间,其极映射用表示.给定极空间Q+(7,q)中的一个非平凡点集M,如果|M|=m(q3+1)并且|P M|=m(q2+1)q2,如果P M,m(q2+1),如果P Q+(7,q)M,(1.1)则称M为Q+(7,q)中一个m-卵形体.引理1.11令M1和M2分别为Q+(7,q)中的m1-卵形体和m2-卵形体.(1)如果M1是M2的子集,则M2 M1是Q+(7,q)的(m2 m1)-卵形体;(2)如果M1和M2不相交,则M1 M2是Q+(7,q)的(m1+m2)-卵形体.2Q+(7,q)的模型和 PSU3(q)的轨道结构2.1Q+(7,q)的模型令q=ph是一个素数幂,满足q 2(mod 3)且q 2;令Fq表示有q个元素的有限域.对于x Fq2,令x表示x的共轭,即x=xq;定义从Fq2到Fq上的迹函数为Tr(x)=x+x.令V是由如下矩阵构成的Fq上的8维向量空间:M=c a b ,(2.1)其中,Fq2,a,b,c Fq且+a+=0.定义V上的一个二次型Q(M)=2+2+Tr()+bc.(2.2)该二次型是非退化的,其极化型(polar form)如下:B(M,N)=Q(M+N)Q(M)Q(N)=tr(MN),(2.3)250中国科学:数学第 53 卷第 2 期其中tr(MN)表示矩阵MN的迹.相应的极映射为 v=x V:B(x,v)=0.由(2.2)所定义的Q是双曲二次型,其定义的正交极空间Q+(7,q)的点集为Q=Fq:M V,Q(M)=0,(2.4)其中Fq表示V中向量M的Fq射影点.下文将Fq简记为.令GL3(q2)表示Fq2上3阶可逆矩阵的全体构成的一般线性群,即GL3(q2)=A=(aij)33|det(A)=0,aij Fq2,1 6 i,j 6 3,其中det(A)表示矩阵A的行列式.对于A GL3(q2),定义其共轭A为将A中每个元素均取q次方所得的矩阵.记J=0 0 10 1 01 0 0,并定义G0=A:A GL3(q2)|J1AJ=(A)1,其中A表示矩阵A的共轭转置.由文献16可知G0同构于酉群GU3(q),且群G0按如下方式作用在向量空间V上:矩阵A G0将X V映到A1XA.容易验证G0中的数量矩阵在V上的作用是平凡的,故这诱导了PGU3(q)在V上的作用.令Q由(2.4)所定义,根据文献16,G0对应的射影群PGU3(q)在二次曲面Q上有3个轨道,分别对应于Q中秩为1、2和3的矩阵.2.2PSU3(q)的轨道结构令G=A:A G0|det(A)=1.(2.5)其在V上的作用诱导了射影特殊酉群PSU3(q)在Q上的作用.本小节分析PSU3(q)在Q上的轨道结构.由于q 2(mod 3),3整除q+1,故Fq2中有3阶元.我们有q+1=2+1=0.现取V中的5个向量如下:X1=0 0 10 0 00 0 0,X21=0 1 00 0 10 0 0,X22=0 00 0 20 0 0,(2.6)X23=0 200 0 0 0 0,X3=0 00 1 00 0.(2.7)容易验证它们是(2.2)的零点,故它们是Q+(7,q)中的点.251冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集对于Q中的一点,令O()表示以点为代表元的PSU3(q)-轨道.令Oi=O(),i=1,3,(2.8)O2j=O(),j=1,2,3.(2.9)定理2.1假设q 2(mod 3),q 2,并设二次曲面Q由(2.4)所定义.群PSU3(q)在Q上恰有5个轨道,即O1、O21、O22、O23和O3,其中Oi(i=1,3)和O2j(j=1,2,3)由(2.8)和(2.9)所定义.它们的长度分别为|O1|=q3+1,|O3|=q3(q3+1),(2.10)|O21|=|O22|=|O23|=(q2+q)(q3+1)3.(2.11)证明矩阵X1和X3的秩分别为1和3,矩阵X21、X22和X23的秩均为2.已知q 2(mod 3)且q 2,群PSU3(q)的阶为q3(q21)(q3+1)3.下面将计算点(i=1,3)和(j=1,2,3)在PSU3(q)中的稳定化子的大小,从而得到轨道的长度如(2.10)和(2.11)所示.通过比较大小即可知这5个轨道是Q的划分,从而是所有的PSU3(q)轨道.由于方法类似,此处只给出的稳定化子的计算过程.群SU3(q)中的元素A稳定当且仅当存在 Fq使得A1X1A=X1,这等价于X1A=AX1,AJA=J,det(A)=1.(2.12)记A=(aij)33,1 6 i,j 6 3.经展开计算可得,(2.12)中的3个等式成立等价于下列等式同时成立:a21=a31=a32=0,a33=a11,a22=1a211,=a(q+1)11,a23=1aq211aq12,Tr(a13aq11)=aq+112.从而,矩阵A由其分量a11 Fq2、a12 Fq2和a13 Fq2所唯一确定,且这3个分量满足Tr(a13aq11)=aq+112.容易验证在SU3(q)中的稳定化子包含3阶数量矩阵,从而有|StabPSU3(q)()|=(q21)q2q3.因此,|O()|=|O1|=|PSU3(q)|StabPSU3(q)()|=q3+1.证毕.注2.1令A0=diag(1,1),则A0 GU3(q)SU3(q),且X22=A10X21A0,X23=A20X21A20.特别地,A0的作用引起O21、O22和O23之间的传递置换,它们的并构成一个PGU3(q)-轨道O2:O2=O21 O22 O23.(2.13)由定理2.1可知,轨道O21、O22和O23构成了Q中所有秩为2的点,故对于i=1,2,3,集合Oi恰好是由Q中秩为i的点构成.3Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集本节采用第2节所引入的各种符号.特别地,O1、O2和O3分别为秩为1、2和3的奇异点集合.本节的目标是确定Q+(7,q)中所有PSU3(q)-不变的奇妙集.由文献16可知,O1是卵形体.第3.1小节将证明O2和O3分别构成m-卵形体.第3.2小节将证明除了O1、O2、O3以及它们的补以外没有别的PSU3(q)-不变奇妙集.252中国科学:数学第 53 卷第 2 期3.1Q+(7,q)中自同构群为PSU3(q)的m-卵形体Kantor16对轨道O1进行研究,证明了如下结论.定理3.116集合O1是正交极空间Q+(7,q)中的卵形体.该卵形体称作Q+(7,q)的酉型卵形体,也称作Kantor卵形体.接下来对剩下的PSU3(q)-轨道O21、O22、O23和O3展开研究.引理3.1令O2为由(2.13)所定义的集合,则O2=S1 S2 S3,其中S1=:Fq2,b Fq:Fq2,c Fq,(3.1)S2=:,Fq2,b Fq,Tr()=0,(3.2)S3=:1,2 Fq2,Fq2,b Fq,=1Tr(1+2b)+2,Tr(2)=q+11,q+1=bTr(1+2b).(3.3)证明可以直接验证S1、S2和S3中的元素均在O2中,即秩为2且是二次型Q的零点.现取O2中的一个元素,其中M表达式形如(2.1).下面分3种情形进行讨论.情形1矩阵M有全零行.如果M的第二行(,a,)=(0,0,0),则Tr()=0,由Q(M)=0可得2+bc=0.此时M的秩为1,与M O2矛盾.因此只能是M的第一行全为0或第三行全为0.此时,容易验证为S1中元素.情形2矩阵M没有全零行但有两行线性相关.首先考虑第一和二行线性相关的情形.此时存在 Fq2使得(,c)=(,a,),即=,a=Tr().由此可以推导出=Tr(),c=q+1Tr().直接计算Q(M)=0可得bTr()=q+1,利用这些关系可以推导出M的第二和三行线性相关,从而M的秩为1,与M O2矛盾.因此第一和二行线性无关.类似地,M的第二和三行线性无关.现在考虑第一和三行线性相关的情形.此时存在 Fq2使得(,c)=(b,),即=b,=,c=q+1b.从而M中的元素均可由b、和表示.由于M的秩为2,通过计算其二阶子式可得q+1=b2Tr().在此基础上,直接计算Q(M)=0可得Tr()=0.这时,落入集合S2.情形3矩阵M的任意两行线性无关.此时,存在1,2 Fq2使得(,c)=1(,a,)+2(b,),从而M中的元素均可以由1、2、和b表示.通过计算二阶子式的行列式可知(,a,)和(b,)线性无关等价于q+1=bTr(1+2b).直接计算可知Q(M)=(q+11 Tr(2)(bTr(1+2b)q+1)=0.253冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集故Tr(2)=q+11.从而,是S3中的元素.由上述讨论可知,集合O2=S1 S2 S3,且集合S1、S2和S3两两之间互不相交.因此,S1、S2和S3构成O2的一个划分.引理3.2令X21和O2分别由(2.6)和(2.13)所定义,则有|X21 O2|=q4+q3+q.证明现取O2中的元素,其表达式如(2.1)所示.根据(2.3)中的极化型B可知,M落在X21中当且仅当Tr()=0.由引理3.1及其证明过程可知,集合X21 O2的大小为|X21 O2|=|X21 S1|+|X21 S2|+|X21 S3|.(3.4)假设 X21 S1,则有M=0 0 0 0 0b 0,其中是Fq2中满足Tr()=0的非零元,b是Fq中的元素;或M=0 c0 0 0 0 0,是Fq2中的非零元,c是Fq中的元素.因此,|X21 S1|=1q 1#(b,):b Fq,Fq2,Tr()=0+1q 1#(c,):c Fq,Fq2=1q 1q(q 1)+1q 1q(q2 1)=q2+2q.(3.5)类似地,有|X21 S2|=1q 1#(,b):,Fq2,b Fq,Tr()=0,Tr()=0=(q 1)q.(3.6)假设 X21S3,则由(3.3)可知M中的元素可由Fq中元素b和Fq2中的元素1、2和表示,其中12=0,Tr(2)=q+11,q+1=bTr(1+2b).如前所述,M X21当且仅当Tr()=0.因此,|X21 S3|=1q 1#(1,2,b)Fq2 Fq2 Fq2 Fq:Tr(2)=q+11,Tr()=0,q+1=bTr(1+2b)=qq 1#(1,b)Fq2 Fq2 Fq:b(1 1+q+11b)2=0,Tr()=0=q(q2 1)q2q 1qq 1N0,(3.7)254中国科学:数学第 53 卷第 2 期其中N0=#(1,b)Fq2 Fq2 Fq:Tr()=0,b(1 1+q+11b)2=0.按照特征p为奇数和偶数两种情形分别计算N0的值.情形1特征p为奇数.此时,取Fq2中的一个非零元使得Tr()=0.则1和是Fq2在Fq上的一组基,且Fq是其中所有相对迹为0的元素.容易验证2是Fq中的非平方元,即(2)(q1)/2=1.记1=x1+x2和=r1,其中x1、x2和r1均为Fq中的元素.通过展开可知,N0是以下集合的大小:T0=(x1,x2,r1,b)F4q:x1,x2=0,(x21 2x22)b2+2x22r1b r212=0=#(x1,x2,r1,b)F4q:x1,x2=0,x21b2 2(x2b r1)2=0.(3.8)令L(x1,x2,r1,b)=x21b2 2(x2b r1)2.进一步细分为以下3种情形来计算T0的大小.情形1.1 b=0.此时,L(x1,x2,r1,b)=2r21.要使得L(x1,x2,r1,b)=0,则需要r1=0.从而T0中相应部分大小为N1=#(x1,x2)F2q:x1,x2=0=q2 1.情形1.2 b=0,r1=x2b.此时,L(x1,x2,r1,b)=x21b2.要使得L(x1,x2,r1,b)=0,则需要x1=0.从而T0中相应部分大小为N2=#(x2,b)F2q:x2=0,b=0=(q 1)2.情形1.3 b=0,r1=x2b.此时,由于2是Fq中的非平方元,则L(x1,x2,r1,b)=0无解.因此,在特征为奇数的情形下,得到N0=N1+N2=2q2 2q.情形2特征p为偶数.此时,取Fq2的元素使得Tr()=1.则1和是Fq2在Fq上的一组基.记1=x1+x2,其中x1,x2 Fq.在该种情形下,由q=可知 Fq.通过展开可知N0是以下集合的大小:T0=(x1,x2,b)F4q:x1,x2=0,(x21+x1x2+x22q+1)b2+x2b+2=0.进一步细分为以下两种情形来计算N0.情形2.1 x2=0.此时,T0中相应部分大小为N1=#(x1,b)F3q:x1=0,x21b2+2=0=(q 1)q.这里,用到以下事实:Fq上的映射x x2是加性的.情形2.2 x2=0.此时,T0中相应部分大小为N2=#(x1,x2,b)F4q:x2=0,(x21+x1x2+x22q+1)b2+x2b+2=0.令是Fq的基本加法特征,即(x)=Trq/p(x)p,其中Trq/p是从Fq到Fp的绝对迹函数,p是一个本原p次单位根.利用特征的性质,可进行如下计算:N2=1qFqx2Fqx1,bFq(x21+x1x2+x22q+1)b2+x2b+2)=(q 1)q3q+1q,x2Fqx1,bFq(x21+x1x2+x22q+1)b2)Fq(2+x2b)255冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集=q2(q 1)+1q,x2Fqx1,bFq(x21+x1x2+x22q+1)b2)q=x22b2=q2(q 1)+,x2Fqx1Fq(x22x21+x12x1+q+1)=q2(q 1),x2Fqx1Fq(0)=q(q 1).在第3个等式中,P表示Kronecker delta函数:若性质P成立,则该函数取值为1,否则取值为0.因此,在特征为偶数的情形下,同样有N0=N1+N2=2q2 2q.综合特征为奇数和偶数两种情形,有N0=2q2 2q.由(3.7)可得|X21 S3|=(q+1)q3qq 1N0=q4+q3 2q2.(3.9)结合(3.5)、(3.6)和(3.9),有|X21 O2|=q4+q3+q.(3.10)证毕.引理3.3令G1=PGU3(q)或G1=PSU3(q),并取Q+(7,q)的两个G1-轨道O和O.对于X O和Y O,有|O|X O|=|O|Y O|.证明由于O和O是G1-轨道,|YO|与Y O的选取无关.同样地,|XO|与X O的选取无关.对集合(X,Y):X O,Y O,B(X,Y)=0进行双重计数即可得引理中所述的等式.定理3.2令q 2(mod 3),q 2,则PSU3(q)-不变集O2是Q+(7,q)的一个(q2+q)-卵形体.证明根据文献16,O1、O2和O3是所有的PGU3(q)-轨道,且O1是Q+(7,q)的卵形体.根据定义1.1,|Y O1|=q2+1,其中Y是O2的任意元素.根据引理3.3,对于任意X O1,有|X O2|=|O2|O1|(q2+1)=(q2+q)(q2+1).(3.11)现任取Q+(7,q)中的元素Y,超平面Y和Q+(7,q)相交于一个二次锥体(quadratic cone),其顶点(vertex)为Y,基底(base)为Q+(5,q)(详情参见文献15,引理1.22).从而有|Y Q+(7,q)|=(q2+q+1)(q2+1)q+1.由于O2是一个PGU3(q)-轨道,由引理3.2知,对于任意Y O2,有|Y O2|=q4+q3+q,从而有|Y O3|=|Y Q+(7,q)|Y O1|Y O2|=(q2+1)q3.根据引理3.3,对于任意X O3,有|X O2|=|O2|O3|(q2+1)q3=(q2+q)(q2+1).(3.12)由(3.10)(3.12)和引理3.3,即可推导出O2是Q+(7,q)的一个(q2+q)-卵形体.证毕.256中国科学:数学第 53 卷第 2 期推论3.1令q 2(mod 3),q 2,则PSU3(q)-轨道O3是Q+(7,q)的一个q3-卵形体.证明由定理3.2可知,O2是Q+(7,q)的一个(q2+q)-卵形体.根据引理1.1,O3作为O1 O2在Q中的补,构成了Q+(7,q)的一个q3-卵形体.注3.1当q=2时,通过Magma软件直接验证可知,群PSU3(q)作用在Q+(7,q)上恰有5个轨道,其描述和q 2时相同;轨道O1和O3仍分别构成Q+(7,q)的1-和8-卵形体,其余3个轨道不是奇妙集,但它们的并O2是Q+(7,q)的6-卵形体.3.2Q+(7,q)中秩为2的PSU3(q)-轨道结构分析首先证明秩为2的PSU3(q)-轨道O21、O22和O23均不是奇妙集,这些集合由(2.8)和(2.9)定义.根据文献1,定理4,i-紧集和m-卵形体相交于m i个公共点.由于O1是1-卵形体且与O21,.,O23不相交,故如果后者是奇妙集,则其一定是m-卵形体.根据定义1.1知,参数m由其大小唯一确定.由于A0=diag(1,1)引起3个PSU3(q)-轨道O21、O22和O23的传递置换,故只需证明其中任何一个不是m-卵形体即可.这里,是Fq2中的3阶元.令X21、X22和X23如(2.6)所定义.根据定义,O22是X22在PSU3(q)的共轭作用下的像集.令S1、S2和S3分别是由(3.1)(3.3)所定义的集合,它们构成O2的一个划分.取O2中的一个元素,其表达式如(2.1)所示.根据(2.3)中B的表达式,B(X21,M)=Tr()=0.因此 X21当且仅当Tr()=0.定理3.3令q 2(mod 3),则轨道O22不是Q+(7,q)中的m-卵形体.证明对于q=2的情形,由注3.1可知,O22不是Q+(7,2)中的m-卵形体.现只需考虑q 2的情形.假设O22是Q+(7,q)中的m-卵形体.根据定义1.1和定理2.1,有m=q2+q3.接下来计算|X21 S1 O22|=(q+1)q3+q 9|(q+1),(3.13)|X21 S2 O22|=(q 1)q 9|(q+1),(3.14)|X21 S3 O22|=13q2(q2 1)+(q 1)q2 9|(q+1),(3.15)其中,P=1或P=0,取决于性质P是否成立.将它们相加,即可得到矛盾:|X21 O22|=13(q4+q)+q3 9|(q+1)=q2+q3(q2+1).由于证明方法类似,这里只给出最复杂的情形(3.15)的证明.现任取 X21 S3 O22.由本定理前的分析以及(3.3)可知M=1+2b 1 2q1+q+12btb1+2b,其中,t=Tr(1)+q+11b,=1Tr(1+2b)2,且4个参数(1,2,b)满足以下条件:1,2 Fq2,Fq2,b Fq且q+=0,Tr(2)=q+11,q+1+bt=0.257冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集该点落在O22中当且仅当存在A=(aij)33 SU3(q)和0 Fq使得A1X22A=0M成立.这等价于X22A=0AM,AJA=J,det(A)=1.通过比较X22A=0AM两端各个分量可知,其等价于a32=a311,a33=a312,a23=q2a21+q1a22,a31=0(a22+1a21)(1b)q,(3.16)a22=w20(a11 ta12 a13),a21=w20(1+2b)a11+a12+ba13).(3.17)利用上述表达式直接计算可得det(A)=a31(a22+a211)(a11q2+a12q1 a13)=1.(3.18)引入辅助变量=a22+1a21,s=a12+1a11.比较AJA=J两端各项,可知其等价于下列条件:(a12q1+a11q2 a13)aq31=1,(3.19)aq+122+q+11aq+121+Tr(1a21aq22)=1,(3.20)(a13+2a11)aq21+saq22=0,(3.21)aq+112+Tr(a13aq11)=0.(3.22)由(3.18)和(3.19)可得=aq131=0,故有q+1=1.代入(3.16)化简可得(1b)q1=3w.(3.23)以下运算较为复杂,我们使用符号计算软件Maple辅助计算.利用上面的等式将A中元素全部由a11、s、0以及M中的参数表示:将上面等式中的a12全部替换为s 1a11;将上面a21和a22的表达式代入=a22+1a21将a13解出,再依次代入其他aij的表达式即可.利用这些表达式以及q+1=1可以直接验证:(3.21)自动成立;(3.18)和(3.19)等价于(3.23)且必有q+1=1;(3.21)和(3.22)分别等价于xq+1=Tr(1b)a110w(2 bt),Tr(x)=b0(2 bt),(3.24)其中x=w11s.换言之,x和xq是方程Y2b0(2 bt)Y+Tr(1b)a110w(2 bt)=0(3.25)的两个解,且当x Fq时这两个解相同.由于该方程在Fq2中总有两个解,故只需保证当它在Fq中有解时两个解相同即可.综上所述,落在X21S3O22中当且仅当存在Fq2中元素a11、和0满足如下条件:q+1=1,0 Fq,(3.23)成立且(3.25)在Fq中要么无解要么有两个相同的解.考虑两种情形.情形1当b=0时,取a11=w2即可令(3.25)的两个解均为0,且(3.23)简化为q1=3w.由于+q=0,故q1=1,从而3=w.由于w的阶为3且q+1=1,所以存在这样的当且258中国科学:数学第 53 卷第 2 期仅当3整除q+13,即9|(q+1).如果q 1(mod 9),则没有这样的点.如果q 1(mod 9),则此时M的参数(1,2,)有(q2 1)q (q 1)种选择:对于给定1 Fq2,共有q个2满足Tr(2)=q+11,而有q 1种选择.总之,共有(q2 1)q 9|(q+1)个这样的射影点,其参数b=0.情形2当b=0时,由于考虑的是射影点,故不失一般性可设b=1.存在q+1阶元使得(3.23)成立当且仅当(1)(q21)/3=(w)(q+1)/3.假设1和满足该条件,并选定这样一个.取c为Fq中使得Y2Y+c在Fq上不可约的一个元素.令0=(2t)1,并取a11使得Tr(1b)a110w(2bt)=c,可知(3.25)在Fq上无解.因此,的参数(1,2,)需要满足的条件为(1)(q21)/3=(w)(q+1)/3,q+=0,Tr(2)=q+11,12=0.满足前两个条件的(,1)共有13(q2 1)q对.当(q21)/3=(w)(q+1)/3时,由q+=0可知q1=1,故w(q+1)/3=1,这只有在q 1(mod 9)时成立.因此满足前两个条件的(,1)对中有13(q2 1)q (q 1)9|(q+1)个满足1=0.对于每一个这种对,有q个2满足剩余两个条件.因此,该情形共有13q2(q2 1)(q 1)q 9|(q+1)个这样的点.综上可知,|X21 S3 O22|=13q2(q2 1)+(q 1)q2 9|(q+1).(3.26)证毕.推论3.2正交极空间Q+(7,q)中的PSU3(q)-不变奇妙集只有O1、O2、O3以及它们的补集.证明由上一小节内容可知,O1、O2和O3是m-卵形体,且构成Q+(7,q)中点集的划分.由定理3.3及其前面的分析可知,O21、O22和O23均不是m-卵形体.现由引理1.1即可推导出所需要的结论.4结论有限经典极空间中的m-卵形体是一类重要的几何构型,它与强正则图和二重量码有着密切的联系.在高维情形下,m-卵形体的构造极少,且由于维数较高一般很难利用计算机搜索得到新的例子.通过研究有限典型群的低维绝对不可约表示的轨道结构,有望得到新参数的奇妙集,在这方面尚没有系统的研究.本文借助于Kantor的Q+(7,q)模型,研究了PSU3(q)的8维绝对不可约表示所对应的正交极空间Q+(7,q)的轨道结构,由此构造出新的自同构群为PSU3(q)的(q2+q)-和q3-卵形体.在此基础上,本文进一步确定了Q+(7,q)的所有PSU3(q)-不变奇妙集.致谢感谢审稿人提出的宝贵意见和建议.参考文献1Bamberg J,Kelly S,Law M,et al.Tight sets and m-ovoids of finite polar spaces.J Combin Theory Ser A,2007,114:129313142Bamberg J,Law M,Penttila T.Tight sets and m-ovoids of generalised quadrangles.Combinatorica,2009,29:1173Bamberg J,Penttila T.Overgroups of cyclic Sylow subgroups of linear groups.Comm Algebra,2008,36:250325434Brouwe A E,Haemers W H.Spectra of Graphs.Universitext.New York:Springer,20125Calderbank R,Kantor W M.The geometry of two-weight codes.Bull Lond Math Soc,1986,18:971226Cossidente A,Culbert C,Ebert G L,et al.On 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