正规矩阵的方程构造_方静雯.pdf
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1、 收稿日期2 0 2 1-1 1-0 2;修改日期2 0 2 2-0 7-0 7 基金项目国家自然科学基金(1 9 4 1 2 6 7 7 2 1);2 0 2 1年扬州大学大学生科创基金项目(X 2 0 2 1 0 2 3 9);江苏高校品牌专业建设工程资助项目(数学与应用数学P P Z Y 2 0 1 5 B 1 0 9)作者简介方静雯(2 0 0 1-),女,本科在读,数学与应用数学专业.E-m a i l:1 6 5 3 4 8 5 8 5 3q q.c o m 通讯作者魏俊潮(1 9 6 8-),男,博士,教授,从事代数环论及环上广义逆研究.E-m a i l:j c w e i y
2、 z 1 2 6.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2正规矩阵的方程构造方静雯,徐陈炜,曾 立,魏俊潮(扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州2 2 5 0 0 2)摘 要通过对复数域上的群逆矩阵、M o o r e-P e n r o s e(简称MP)可逆矩阵和共轭转置矩阵的研究,给出矩阵r a n g e-H e r m i t i a n(简称E P)性的一些新刻画,借助于这些性质刻画,构造出相关的矩阵方程,研究所得方程在给定集合中解的存在性对矩阵E P性的
3、影响,从而给出正规矩阵的刻画.利用这些刻画再反过来构造矩阵方程,研究其一般解形式,通过变化其特解形式给出矩阵E P性的若干新性质.关键词群可逆矩阵;E P矩阵;正规矩阵;矩阵方程的一般解 中图分类号O 1 5 3 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-1 1 6-0 41 引 言本文中,nn表示复数域上全体n阶复方阵的集合.设Ann,则总存在唯一的矩阵Bnn,使得A=A B A,B=B A B,A B=(A B)H,B A=(B A)H,称B是A的M o o r eP e n r o s e逆矩阵,简称MP逆矩阵1.通常用A+表示A的M o o r eP
4、 e n r o s e逆矩阵.(A B)H表示A B共轭转置矩阵.矩阵A的群逆矩阵是指存在矩阵A#nn2,满足:A=A A#A,A#=A#A A#,A A#=A#A.由文献2 知当i n d(A)1,即r a n k(A)=r a n k(A2)时,A#是存在且唯一的.设Ann,若A是群可逆矩阵且A#=A+,则称A是r a n g e-H e r m i t i a n(简称E P)矩阵3.关于E P矩阵的研究,可参见文献3-7.设Ann,若AHA=A AH,则称A是正规矩阵4.由文献8 知,当A是群可逆矩阵时,A是正规矩阵当且仅当AHA#=A#AH.有关正规矩阵的研究,可参见文献9-1 2
5、,这些工作主要是给出正规矩阵的性质刻画.受此启发,本文通过构造相应的矩阵方程,研究在给定集合中这些矩阵方程有解及一般解的形式表示形式,借此刻画正规矩阵.2 主要结果当A为正规矩阵时,A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(A A#)H=A#A+.证 事实上注意到正规矩阵是E P矩阵,因此 A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(A#A)H=A#A+(A A#)H=A#A+(A A+)H=A#A+A A+=A#A+.受此启发,给出下面的引理.引理1 设Ann是群可逆矩阵,则A是正规矩阵当且仅当AHA#(A+)H=A+.证 必要性.假设A为正规矩阵,则A为E P
6、矩阵,且AHA#=A#AH.于是AHA#(A+)H=A#AH(A+)H=A#A+A=A+.充分性.若AHA#(A+)H=A+,右乘A A#,注意到(A+)HA A#=(A+)HA+A A A#=(A+)HA+A=(A+)H,故得A+=A+A A#,从而A为E P矩阵.因此A#AH=A+AH=AHA#(A+)HAH=AHA#A A+=AHA#,故A为正规矩阵.由引理1可诱导出下面的推论.推论1 设Ann是群可逆矩阵,则下列条件等价:(i)A是正规矩阵;(i i)AHA#(A+)#=A#;(i i i)AHA+(A+)H=A+;(i v)(A+)HA+AH=A+.注意到A+=A+(A+)HAH,于
7、是A是正规矩阵时,AHA+(A+)H=A+(A+)HAH.引理2 设Ann是群可逆矩阵,则(i)(A+)#=(A A#)HA(A A#)H;(i i)(A#)+=A+A3A+.可构造如下矩阵方程:x A+(A+)H=A+(A+)Hx.(1)定理1 设Ann是群可逆矩阵,则A是正规矩阵当且仅当方程(1)在PA=A,A#,A+,AH,(A+)H,(A#)H,(A#)+,(A+)#,中至少有一个解.证 必要性.若A是正规矩阵,则由推论1可知x=AH为一个解.充分性.若x=A为解,则A A+(A+)H=A+(A+)HA,即(A+)H=A+(A+)HA,取共轭转置得AHA+(A+)H=A+,由推论1知A
8、为正规矩阵;若x=A#为解,则A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,左乘A+A得A#A+(A+)H=A+A#(A+)H,右乘AHA3得A=A+A2,于是A为E P矩阵,故(A+)H=A A+(A+)H=A2A#A+(A+)H=A2A+(A+)HA#=A(A+)HA#=A(A+)HA+,从而A+=(A+)HA+AH,由推论1知A为正规矩阵;若x=A+为解,则A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,右乘A A+得A+A+(A+)H=A+A+(A+)HA A+,由5,L e mm a2.1 1 知A+(A+)H=A+(A+)HA A+.左乘A AHA得A=A2A+,于是A为E P矩阵,于是x=A+
9、=A#,由知,A为正规矩阵;若x=AH为解,则AHA+(A+)H=A+(A+)HAH=A+,由推论2知A为正规矩阵;若x=(A#)H为解,则(A#)HA+(A+)H=A+(A+)H(A#)H,取共轭转置得A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,由知A为正规矩阵;若x=(A+)H为解,则(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,取共轭转置得A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,由知A为正规矩阵;若x=(A+)#为解,则由引理2得711第6期 方静雯,等:正规矩阵的方程构造(A A#)HA(A A#)HA+(A+)H=A+(A+)H(A A#)HA(A A#)H,即(A A#)H(A+
10、)H=A+(A+)H(A A#)HA(A A#)H,右乘A A+得(A A#)H(A+)H=(A A#)H(A+)HA A+,左乘A AH得A=A2A+,于是A为E P矩阵,从而x=(A+)#=(A#)#=A,由知A为正规矩阵;若x=(A#)+为解,则由引理2知A+A3A+A+(A+)H=A+(A+)HA+A3A+=A+(A+)HA2A+,左乘A得A3A+A+(A+)H=(A+)HA2A+,右乘A A#得(A+)HA2A+=(A+)HA,左乘A#AH得A A+=A#A,于是A为E P矩阵,从而x=(A#)+=(A+)+=A,由知A为正规矩阵;现把方程(1)推广如下x A+(A+)H=A+(A+
11、)Hy.(2)定理2 设Ann是群可逆矩阵,则方程(2)的一般解由下式给出x=A+(A+)HP+U-U A+A,y=P A+(A+)H+V-A+A V.(3)其中P,U,Vnn.证 首先(A+(A+)HP+U-U A+A)A+(A+)H=A+(A+)HP A+(A+)H=A+(A+)H(P A+(A+)H+V-A+A V),故公式(3)为方程(2)的解.其次设x=x0,y=y0 为方程(2)的任一个解,则x0A+(A+)H=A+(A+)Hy0,注意到x0A+A=x0A+(A+)HAHA=A+(A+)Hy0AHA,取P=y0AHA,U=x0,则x0=A+(A+)HP+U-U A+A.由于A+A
12、y0=AH(A+)Hy0=AHA A+(A+)Hy0=AHA x0A+(A+)H=AHA x0A+(A+)HA+A=A+A y0A+A.取V=y0-P A+(A+)H,则A+A V=A+A y0-A+A P A+(A+)H=A+A y0A+A-A+A y0AHA A+(A+)H=A+A y0A+A-A+A y0A+A=O.于是y0=P A+(A+)H+V-A+A V,故方程(2)的每一个解具有公式(3)的形式,从而方程(2)的一般解由公式(3)给出.定理3 设Ann是群可逆矩阵,则A为正规矩阵当且仅当方程(2)的一般解由下列给出x=(A+)HA+P+U-U A+A,y=P A+(A+)H+V-
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