实际问题与一元一次方程(一)(提高).doc

让更多的孩子得到更好的教育实际问题与一元一次方程（一）（提高）知识讲解撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答 要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度时间 （2）基本类型有： 相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间 寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和4调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型一、和差倍分问题1旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x40% .解得：x=10. 答：油箱里原有汽油10公斤.【总结升华】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有x名学生，根据题意得： 3x+244x-26 解得：x50. 所以3x+24350+24174（张）. 答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票类型二、行程问题1.车过桥问题2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义【答案与解析】解：设火车车身长为xm，根据题意，得：，解得：x300， 所以答：火车的长度是300m，车速是30m/s【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)： (1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长车长由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度整个火车在桥上的速度 举一反三：【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】 解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：，解得：x3答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟2.相遇问题（相向问题） 3小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.【答案与解析】解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：解得：108答：A、B两地间的路程为108千米.【总结升华】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和时间可得方程举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.【答案】解：设A、B两站间的距离为x km，由题意得： 解得：x=122答： A、B两站间的距离为122km.3.追及问题（同向问题）4一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度【答案与解析】解：设卡车的速度为x千米/时，由题意得： 解得：x=24 答：卡车的速度为24千米/时【总结升华】采用“线示”分析法，画出示意图利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间4.航行问题（顺逆流问题）5(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游【答案与解析】解：设A、B两地间的距离为x千米 (1)当C地在A、B两地之间时，依题意得： 解这个方程得：x20 (2)当C地在A地上游时，依题意得： 解这个方程得： 答：A、B两地间的距离为20千米或千米【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题5.环形问题6环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度. 【答案与解析】解；设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为x千米/时， 由题意得:x-x=20 解得：x=10 答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.【总结升华】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米. 举一反三：【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按ABCDA方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?【答案】解：设乙追上甲用了x分钟，则有： 72x-65x390 (m) 答：乙第一次追上甲时走了2777 m，此时乙在AD边上类型三、工程问题7一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过x小时可把水注满由题意得：解得：答：打开丙管后小时可把水放满【总结升华】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1举一反三：【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积【答案】解：设这块水稻田的面积为x亩，由题意得： 解得：答：这块水稻田的面积为36亩类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：5x3(120-x) 解得x45 120-4575(人)答：应安排45人挖土，75人运土【总结升华】用同一未知数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得： 28x+20(100-x)=25100 解得：x=62.5. 当x=62.5时，100-x=37.5（千克）.答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.【巩固练习】一、选择题1.（甘肃兰州）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）A B C D2甲乙两地相距180千米，已知轮船在静水中的航速是a千米/小时，水流速度是10千米/小时，若轮船从甲地顺流航行3小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶1小时后离乙地的距离是（ ）.A40千米 B50千米 C60千米 D140千米3.一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是 （ ）A60秒 B30秒 C40秒 D50秒4. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：40m1043m1； ； ； 40m1043m1，其中正确的是（ ）A B C D5甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰比乙组人数的一半多2个，设乙组原有x人，则可列方程( ) A B C. D6某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)，超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是( ) A11 B8 C7 D5二、填空题7(江苏淮安)小明根据方程5x+26x-8编写了一道应用题请你把空缺的部分补充完整：某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；_ _请问手工小组有几人?(设手工小组有x人)89人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天内完成，则需增加的人数是_9. 轮船在静水中速度为每小时20km,水流速度为每小时4km,从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头,共用5小时(不计停留时间),求甲、乙两码头的距离.若设两码头间的距离为x km,可列方程 10王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位王会计查出这笔看错了的支出款实际是_元11某市开展“保护母亲河”植树造林活动，该市金桥村有1000亩荒山绿化率达80%，300亩良田视为已绿化，河坡地植树面积已达20%，目前金桥村所有土地的绿化率为60%，则河坡地有_亩12.（重庆市潼南）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a = 度.三、解答题13. 某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成，若把工效提高25%，到期将超额完成50个，问此工人原计划生产零件多少个?预定期限是多少天?14. 在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？15. 已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从A、C两处同时相向出发（如图），则：（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置.（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？（3）他们第100次相遇时，在哪一段跑道上？【答案与解析】一、选择题1【答案】A.【解析】每名学生送出张相片，则名学生共送出张相片.2【答案】A.【解析】顺流速度为：千米/时，逆流速度为：千米/时.3【答案】D.【解析】秒.4【答案】D.【解析】根据m,n的值不变，分别列方程即可.5【答案】D.6【答案】B.【解析】等量关系：（经过的路程-3）2.4+起步价7元=19 二、填空题7【答案】若每人做6个，就比原计划多8个8【答案】12.【解析】根据9人14天完成了一件工作的，可知每人每天完成一件工作的设需要增加的人数为x人，根据题意得：， 解得x=129【答案】.10.【答案】171. 【解析】设支出款为x元，则错看成元，列方程得11【答案】800. 【解析】设河坡地有x亩，根据题意，得：100080%+300+20%x(1000+300+x)60%，解得x80012.【答案】40.【解析】当时，不合题意；当时，.三、解答题13【解析】解法1：设原计划生产零件x个，则有方程：解得： （天）答：此工人原计划生产零件700个，预定期限是30天解法2：设预定期限为x天，则有方程：20x25%100+50，解得：x=30，3020+100=700答：此工人原计划生产零件700个，预定期限是30天14. 【解析】解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得： 答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾15.【解析】解：（1）设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程 解得： 甲跑的路程=米，答：10秒后两人首次相遇，此时他们在直道AB上，且离B点10米的位置.（2）设y秒后两人再次相遇， 依题意得到方程 解得： 答：20秒后两人再次相遇（3）第1次相遇，总用时10秒，第2次相遇，总用时10+201，即30秒第3次相遇，总用时10+202，即50秒第100次相遇，总用时10+2099，即1990秒则此时甲跑的圈数为19904200=39.82000.8=160米，此时甲在AD弯道上.此题解法较多，提供另解：甲乙速度比为23，所以甲的路程是两人总和的第1次相遇，甲跑的路程为，第2次相遇，甲跑的路程为，第3次相遇，甲跑的路程为，第100次相遇，甲跑的路程为， 因为7960200的余数为160此时甲在AD弯道上.地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：[phone] 传真：[phone] 第10页 共10页